QCM : Dérivation et règles de calcul (14 questions)

Question 1

1. Lorsque $x$ se rapproche de $0$ , quelle condition signifie que $f(x)$ tend vers $L$ ?

On peut rendre

x

aussi proche que l’on veut de

L

en prenant

f(x)

assez proche de

0

.

La valeur de

f(0)

est nécessairement égale à

L

dès que

x

est proche de

0

.

On peut rendre

f(x)

aussi proche que l’on veut de

L

en prenant

x

assez proche de

0

.

Les valeurs de

f(x)

sont exactement égales à

L

pour tout

x

assez proche de

0

.

Explication

La limite décrit la proximité arbitrairement grande de $f(x)$ avec $L$ lorsque $x$ est suffisamment proche de zéro; elle n’impose pas que $f(0)=L$ . L’égalité avec $f(0)$ confond limite et valeur, l’égalité exacte renforce à tort la condition, et l’inversion échange les rôles de la variable et de son image.

Answer

On peut rendre $$f(x)$$ aussi proche que l’on veut de $$L$$ en prenant $$x$$ assez proche de $$0$$.

Question 2

2. Pour calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $a=2$ et $a+h=2,5$ , avec $f(2)=4$ et $f(2,5)=7$ , quelle expression et quelle valeur faut-il utiliser ?

\frac{7-4}{(0,5)^2}=12

\frac{7-4}{2}=1,5

\frac{7-4}{0,5}=6

\frac{4-7}{0,5}=-6

Explication

Le taux d’accroissement est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , ici $\frac{7-4}{0,5}=6$ . Diviser par $a$ confond l’abscisse de départ avec l’incrément, inverser les images change le signe, et mettre l’incrément au carré ne correspond pas à la formule.

Answer

$$\frac{7-4}{0,5}=6$$

Question 3

3. Pour une fonction dont le taux d’accroissement en $a=3$ tend vers $-2$ lorsque $h$ tend vers $0$ , quelle conclusion définit son nombre dérivé en $3$ ?

f'(3)=0

f'(3)=f(3)

f'(3)=-2

f'(3)=2

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux d’accroissement lorsque $h$ tend vers zéro; la limite donnée vaut donc $f'(3)=-2$ . Prendre le taux pour $h=0$ ignore que le quotient n’y est pas défini, identifier la dérivée à $f(3)$ confond deux notions, et changer le signe prend l’opposé de la limite.

Answer

$$f'(3)=-2$$

Question 4

4. Une fonction est dérivable au point d’abscisse $a$ et son nombre dérivé vaut $5$ . Quelle droite est la tangente à sa courbe en $A$ ?

La droite passant par

A

et d’ordonnée à l’origine

5

.

La droite passant par

A

et de coefficient directeur

5

.

La droite reliant

A

à un autre point quelconque de la courbe.

La droite passant par

A

et de coefficient directeur

-\frac{1}{5}

.

Explication

La tangente en $A$ passe par ce point et son coefficient directeur est le nombre dérivé, ici $5$ . L’ordonnée à l’origine n’est pas la pente, $-\frac{1}{5}$ correspond à la pente d’une perpendiculaire, et une droite reliant deux points de la courbe est une sécante.

Answer

La droite passant par $$A$$ et de coefficient directeur $$5$$.

Question 5

5. Une courbe passe par $A(2;3)$ et a pour tangente en $A$ une droite de coefficient directeur $4$ . Quelle est l’équation de cette tangente ?

y=4(x-2)+3

y=4x+3

y=3(x-2)+4

y=4(x-3)+2

Explication

L’équation est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; avec $a=2$ , $f(a)=3$ et $f'(a)=4$ , on obtient $y=4(x-2)+3$ . $y=4x+3$ omet le décalage qui assure le passage par $A$ , la troisième expression échange pente et ordonnée, et la dernière inverse les coordonnées du point.

Answer

$$y=4(x-2)+3$$

Question 6

6. Sur un intervalle où une fonction $f$ est dérivable, que désigne sa fonction dérivée $f'$ ?

La fonction qui associe à chaque

x

le nombre dérivé

f'(x)

en ce point

La fonction qui associe à chaque

x

la valeur initiale

f(x)

La pente de la tangente à la courbe en un point fixé

Le nombre dérivé de

f

en un point fixé de l’intervalle

Explication

La fonction dérivée associe à chaque abscisse de l’intervalle le nombre dérivé de $f$ en cette abscisse. Le nombre dérivé en un point fixé est une valeur, tandis que $f(x)$ désigne la fonction initiale.

Answer

La fonction qui associe à chaque $$x$$ le nombre dérivé $$f'(x)$$ en ce point

Question 7

7. Pour $x<0$ , on considère $f(x)=x^{-3}$ . Quelle expression donne $f'(x)$ ?

-3x^{-4}

-3x^{-2}

3x^{-4}

-4x^{-3}

Explication

La règle donne $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$ : avec $n=-3$ , on obtient $-3x^{-4}$ . $-3x^{-2}$ ne diminue pas l’exposant correctement, et les autres expressions modifient le signe ou le coefficient.

Answer

$$-3x^{-4}$$

Question 8

8. Une fonction affine est définie par $g(x)=-4x+7$ . Quelle est sa dérivée ?

7

-4

-8x

4

Explication

La dérivée d’une fonction affine $ax+b$ vaut son coefficient directeur $a$ ; ici, elle vaut donc $-4$ . $7$ est l’ordonnée à l’origine, et $-8x$ correspondrait à une règle liée au carré.

Answer

$$3u'(x)-2v'(x)$$

Answer

$$3x^2+2x$$

Answer

$$2x(3x-2)+3(x^2+1)$$

Answer

$$\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

Answer

$$-\frac{2x}{(x^2+3)^2}$$

Answer

$$\frac{2x(x+2)-(x^2+1)}{(x+2)^2}$$

Question 9

9. Sur un intervalle $I$ , $u$ et $v$ sont dérivables et $F(x)=3u(x)-2v(x)$ . Quelle expression donne $F'(x)$ ?

3u'(x)-2v(x)

u'(x)v(x)-2v'(x)

3u'(x)+2v'(x)

3u'(x)-2v'(x)

Explication

La dérivée d’une somme ou d’une différence s’obtient en combinant les dérivées terme à terme, et un facteur constant reste en facteur : $F'=3u'-2v'$ . L’expression avec $u'v$ applique la règle du produit, tandis que les autres omettent un facteur ou changent le signe.

Question 10

10. Une fonction est définie par $f(x)=x^3+x^2+5$ . Quelle expression donne $f'(x)$ ?

4x^3

x^2+2x

3x^2+2x

3x^2+2x+5

Explication

On dérive les termes séparément : $x^3$ donne $3x^2$ , $x^2$ donne $2x$ , et la constante $5$ donne zéro. Garder le terme constant, perdre le coefficient de $x^3$ ou combiner les puissances incorrectement conduit aux autres résultats.

Question 11

11. Sur un intervalle où les fonctions sont dérivables, on pose $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$ . Quelle expression donne $f'(x)$ en appliquant la règle du produit ?

2x(3x-2)+3(x^2+1)

2x(3x-2)

2x\times 3

3(x^2+1)

Explication

La dérivée d’un produit est $u'v+uv'$ : les deux contributions doivent être additionnées. Les autres expressions omettent un terme ou multiplient les dérivées au lieu d’appliquer cette règle.

Question 12

12. Pour $x>0$ , une fonction est définie par $f(x)=x\sqrt{x}$ . Quelle est sa dérivée ?

\frac{3}{2}x

\frac{3}{2}\sqrt{x}

\frac{1}{2}\sqrt{x}

\sqrt{x}

Explication

En dérivant le produit, on obtient $f'(x)=\sqrt{x}+x\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ . La réponse $\frac{1}{2}\sqrt{x}$ oublie la dérivée du facteur $x$ , tandis que les autres confondent les puissances obtenues.

Question 13

13. Sur un intervalle où $v(x)=x^2+3$ ne s’annule pas, quelle expression donne la dérivée de $f(x)=\frac{1}{v(x)}$ ?

\frac{2(x^2+3)-2x}{(x^2+3)^2}

-\frac{2x}{x^2+3}

-\frac{2x}{(x^2+3)^2}

\frac{2x}{(x^2+3)^2}

Explication

La dérivée d’un inverse est $-\frac{v'}{v^2}$ ; ici $v'=2x$ , d’où $-\frac{2x}{(x^2+3)^2}$ . Le signe positif, le dénominateur non élevé au carré et la formule du quotient correspondent à des erreurs distinctes.

Question 14

14. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , où $v(x)\ne0$ , quelle expression donne la dérivée de $\frac{u(x)}{v(x)}$ ?

\frac{2x(x+2)+(x^2+1)}{(x+2)^2}

\frac{(x^2+1)-2x(x+2)}{(x+2)^2}

\frac{2x(x+2)-(x^2+1)}{x+2}

\frac{2x(x+2)-(x^2+1)}{(x+2)^2}

Explication

La règle du quotient donne $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ ; avec $u'=2x$ et $v'=1$ , on obtient l’expression indiquée. L’inversion des termes, leur addition et l’absence du carré du dénominateur sont des erreurs d’application de cette règle.

QCM : Dérivation et règles de calcul (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsque $x$ se rapproche de $0$ , quelle condition signifie que $f(x)$ tend vers $L$ ?

2. Pour calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $a=2$ et $a+h=2,5$ , avec $f(2)=4$ et $f(2,5)=7$ , quelle expression et quelle valeur faut-il utiliser ?

3. Pour une fonction dont le taux d’accroissement en $a=3$ tend vers $-2$ lorsque $h$ tend vers $0$ , quelle conclusion définit son nombre dérivé en $3$ ?

4. Une fonction est dérivable au point d’abscisse $a$ et son nombre dérivé vaut $5$ . Quelle droite est la tangente à sa courbe en $A$ ?

5. Une courbe passe par $A(2;3)$ et a pour tangente en $A$ une droite de coefficient directeur $4$ . Quelle est l’équation de cette tangente ?

6. Sur un intervalle où une fonction $f$ est dérivable, que désigne sa fonction dérivée $f'$ ?

7. Pour $x<0$ , on considère $f(x)=x^{-3}$ . Quelle expression donne $f'(x)$ ?

8. Une fonction affine est définie par $g(x)=-4x+7$ . Quelle est sa dérivée ?

9. Sur un intervalle $I$ , $u$ et $v$ sont dérivables et $F(x)=3u(x)-2v(x)$ . Quelle expression donne $F'(x)$ ?

10. Une fonction est définie par $f(x)=x^3+x^2+5$ . Quelle expression donne $f'(x)$ ?

11. Sur un intervalle où les fonctions sont dérivables, on pose $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$ . Quelle expression donne $f'(x)$ en appliquant la règle du produit ?

12. Pour $x>0$ , une fonction est définie par $f(x)=x\sqrt{x}$ . Quelle est sa dérivée ?

13. Sur un intervalle où $v(x)=x^2+3$ ne s’annule pas, quelle expression donne la dérivée de $f(x)=\frac{1}{v(x)}$ ?

14. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , où $v(x)\ne0$ , quelle expression donne la dérivée de $\frac{u(x)}{v(x)}$ ?

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QCM : Dérivation et règles de calcul (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsque xxx se rapproche de 000, quelle condition signifie que f(x)f(x)f(x) tend vers LLL ?

2. Pour calculer le taux d’accroissement de fff entre a=2a=2a=2 et a+h=2,5a+h=2,5a+h=2,5, avec f(2)=4f(2)=4f(2)=4 et f(2,5)=7f(2,5)=7f(2,5)=7, quelle expression et quelle valeur faut-il utiliser ?

3. Pour une fonction dont le taux d’accroissement en a=3a=3a=3 tend vers −2-2−2 lorsque hhh tend vers 000, quelle conclusion définit son nombre dérivé en 333 ?

4. Une fonction est dérivable au point d’abscisse aaa et son nombre dérivé vaut 555. Quelle droite est la tangente à sa courbe en AAA ?

5. Une courbe passe par A(2;3)A(2;3)A(2;3) et a pour tangente en AAA une droite de coefficient directeur 444. Quelle est l’équation de cette tangente ?

6. Sur un intervalle où une fonction fff est dérivable, que désigne sa fonction dérivée f′f'f′ ?

7. Pour x<0x<0x<0, on considère f(x)=x−3f(x)=x^{-3}f(x)=x−3. Quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) ?

8. Une fonction affine est définie par g(x)=−4x+7g(x)=-4x+7g(x)=−4x+7. Quelle est sa dérivée ?

9. Sur un intervalle III, uuu et vvv sont dérivables et F(x)=3u(x)−2v(x)F(x)=3u(x)-2v(x)F(x)=3u(x)−2v(x). Quelle expression donne F′(x)F'(x)F′(x) ?

10. Une fonction est définie par f(x)=x3+x2+5f(x)=x^3+x^2+5f(x)=x3+x2+5. Quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) ?

11. Sur un intervalle où les fonctions sont dérivables, on pose f(x)=(x2+1)(3x−2)f(x)=(x^2+1)(3x-2)f(x)=(x2+1)(3x−2). Quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) en appliquant la règle du produit ?

12. Pour x>0x>0x>0, une fonction est définie par f(x)=xxf(x)=x\sqrt{x}f(x)=xx​. Quelle est sa dérivée ?

13. Sur un intervalle où v(x)=x2+3v(x)=x^2+3v(x)=x2+3 ne s’annule pas, quelle expression donne la dérivée de f(x)=1v(x)f(x)=\frac{1}{v(x)}f(x)=v(x)1​ ?

14. Pour u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1 et v(x)=x+2v(x)=x+2v(x)=x+2, où v(x)≠0v(x)\ne0v(x)=0, quelle expression donne la dérivée de u(x)v(x)\frac{u(x)}{v(x)}v(x)u(x)​ ?

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1. Lorsque $x$ se rapproche de $0$ , quelle condition signifie que $f(x)$ tend vers $L$ ?

2. Pour calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $a=2$ et $a+h=2,5$ , avec $f(2)=4$ et $f(2,5)=7$ , quelle expression et quelle valeur faut-il utiliser ?

3. Pour une fonction dont le taux d’accroissement en $a=3$ tend vers $-2$ lorsque $h$ tend vers $0$ , quelle conclusion définit son nombre dérivé en $3$ ?

4. Une fonction est dérivable au point d’abscisse $a$ et son nombre dérivé vaut $5$ . Quelle droite est la tangente à sa courbe en $A$ ?

5. Une courbe passe par $A(2;3)$ et a pour tangente en $A$ une droite de coefficient directeur $4$ . Quelle est l’équation de cette tangente ?

6. Sur un intervalle où une fonction $f$ est dérivable, que désigne sa fonction dérivée $f'$ ?

7. Pour $x<0$ , on considère $f(x)=x^{-3}$ . Quelle expression donne $f'(x)$ ?

8. Une fonction affine est définie par $g(x)=-4x+7$ . Quelle est sa dérivée ?

9. Sur un intervalle $I$ , $u$ et $v$ sont dérivables et $F(x)=3u(x)-2v(x)$ . Quelle expression donne $F'(x)$ ?

10. Une fonction est définie par $f(x)=x^3+x^2+5$ . Quelle expression donne $f'(x)$ ?

11. Sur un intervalle où les fonctions sont dérivables, on pose $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$ . Quelle expression donne $f'(x)$ en appliquant la règle du produit ?

12. Pour $x>0$ , une fonction est définie par $f(x)=x\sqrt{x}$ . Quelle est sa dérivée ?

13. Sur un intervalle où $v(x)=x^2+3$ ne s’annule pas, quelle expression donne la dérivée de $f(x)=\frac{1}{v(x)}$ ?

14. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , où $v(x)\ne0$ , quelle expression donne la dérivée de $\frac{u(x)}{v(x)}$ ?