QCM : Tenseur des contraintes et contraintes principales (33 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle étude distingue la mécanique des milieux continus de la mécanique du point et de celle du solide indéformable ?

Le mouvement global d’un solide supposé indéformable
Le mouvement d’un point matériel sans étudier les déformations
Les déformations et les contraintes à l’intérieur d’un solide déformable
Les forces extérieures sans étudier l’état intérieur du solide

Les déformations et les contraintes à l’intérieur d’un solide déformable

Explication

La mécanique des milieux continus étudie les déformations et les contraintes internes d’un solide déformable. L’étude du mouvement d’un point, le mouvement d’un solide indéformable et l’analyse limitée aux forces extérieures correspondent à d’autres approches.

2. Une équipe veut analyser la fatigue d’une structure ferroviaire soumise à des sollicitations répétées. Laquelle de ces études relève d’une application de la mécanique des milieux continus ?

Modéliser le pont de Tancarville
Modéliser la tour Montparnasse
Analyser les pieux du pont de Bizerte
Analyser la fatigue d’un train

Analyser la fatigue d’un train

Explication

L’analyse de la fatigue d’un train est une application de la mécanique des milieux continus. La modélisation du pont de Tancarville, celle de la tour Montparnasse et l’analyse des pieux du pont de Bizerte sont également des applications, mais elles ne répondent pas au cas ferroviaire décrit.

3. Dans la base canonique, comment exprimer le vecteur de coordonnées axa_x, aya_y et aza_z à l’aide des vecteurs de base ?

a=ax+ay+aza=a_x+a_y+a_z
a=axey+ayez+azexa=a_xe_y+a_ye_z+a_ze_x
a=ex+ey+eza=e_x+e_y+e_z
a=axex+ayey+azeza=a_xe_x+a_ye_y+a_ze_z

$$a=a_xe_x+a_ye_y+a_ze_z$$

Explication

Dans la base canonique, chaque coordonnée multiplie le vecteur de base correspondant, d’où a=axex+ayey+azeza=a_xe_x+a_ye_y+a_ze_z. L’expression sans vecteurs de base les omet, la permutation associe mal coordonnées et directions, et la dernière expression ignore les coordonnées du vecteur.

4. Après avoir choisi une base, quelle représentation peut-on donner d’un tenseur d’ordre 2 ?

Un scalaire unique
Une liste des vecteurs de la base
Une matrice
Un vecteur à trois coordonnées

Une matrice

Explication

Une fois une base choisie, un tenseur d’ordre 2 peut être représenté par une matrice. Un vecteur à trois coordonnées relève de la représentation vectorielle, tandis qu’une liste de base ou un scalaire ne constitue pas la représentation indiquée pour ce tenseur.

5. Dans un milieu matériel, que désigne la contrainte exercée sur un élément de matière ?

La force par unité de volume exercée par l’élément sur le milieu
La force par unité de surface appliquée par le reste du milieu ou l’extérieur
La force totale appliquée à l’élément, quelle que soit sa surface
La déformation de l’élément produite par les efforts extérieurs

La force par unité de surface appliquée par le reste du milieu ou l’extérieur

Explication

La contrainte caractérise une force rapportée à une unité de surface et appliquée à l’élément par le milieu environnant ou l’extérieur. La force totale omet le rapport à la surface, la déformation est une autre grandeur et la force par unité de volume ne correspond pas à cette définition.

6. Pour une facette dont la normale sortante est ene_n, quelle notation désigne le vecteur contrainte associé ?

σ(en)\sigma(e_n)
σn\sigma_n
en(σ)e_n(\sigma)
ene_n

$$\sigma(e_n)$$

Explication

Le vecteur contrainte associé à la normale sortante ene_n se note σ(en)\sigma(e_n). σn\sigma_n désigne plutôt une contrainte normale scalaire, tandis que les deux autres notations ne désignent pas le vecteur contrainte défini ici.

7. Sur une facette, un ingénieur décompose le vecteur contrainte en une composante perpendiculaire à la surface et une composante située dans la surface. Comment nomme-t-il ces deux composantes, dans cet ordre ?

Contrainte tangente, puis contrainte normale
Normale sortante, puis contrainte tangente
Contrainte normale, puis normale sortante
Contrainte normale, puis contrainte tangente

Contrainte normale, puis contrainte tangente

Explication

La projection du vecteur contrainte sur la normale à la facette est la contrainte normale, et sa projection dans la facette est la contrainte tangente. Inverser les projections confond ces deux contraintes; la normale sortante est une direction géométrique, pas le nom d’une projection.

8. Avec la convention de la mécanique des milieux continus, une facette porte une contrainte normale négative. Quel état cela indique-t-il ?

Une contrainte tangente
Une contrainte normale nulle
Une traction
Une compression

Une compression

Explication

Selon la convention indiquée, une contrainte normale négative correspond à la compression, tandis qu’une contrainte normale positive correspond à la traction. La contrainte tangente est une projection différente, et une contrainte nulle n’est pas négative.

9. On connaît les vecteurs contraintes sur trois faces perpendiculaires d’un élément matériel. Quelle conclusion peut-on tirer au sujet d’une facette d’orientation différente ?

Seules les composantes normales sur cette facette peuvent être déterminées
Seules les contraintes des facettes parallèles peuvent être déterminées
L’état des contraintes sur cette facette peut être déterminé
L’état des contraintes sur cette facette reste indéterminé

L’état des contraintes sur cette facette peut être déterminé

Explication

Les vecteurs contraintes sur trois faces perpendiculaires suffisent à déterminer l’état des contraintes sur toute facette. L’orientation différente n’empêche donc pas la détermination, et l’information connue ne se limite pas aux facettes parallèles ni aux seules composantes normales.

10. Une facette a pour normale unitaire en=(12,12,12)e_n=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}) et les vecteurs contraintes connus sont Cx,Cy,CzC_x,C_y,C_z. Quelle expression donne CnC_n ?

Cn=12Cx+12Cy+12CzC_n=\frac{1}{2}C_x+\frac{1}{2}C_y+\frac{1}{\sqrt{2}}C_z
Cn=12Cx+12Cy+12CzC_n=\frac{1}{\sqrt{2}}C_x+\frac{1}{2}C_y+\frac{1}{2}C_z
Cn=Cx+Cy+CzC_n=C_x+C_y+C_z
Cn=2Cx+2Cy+2CzC_n=2C_x+2C_y+\sqrt{2}C_z

$$C_n=\frac{1}{2}C_x+\frac{1}{2}C_y+\frac{1}{\sqrt{2}}C_z$$

Explication

Le vecteur contrainte sur cette facette est la combinaison linéaire des vecteurs connus, pondérée par les composantes de ene_n : Cn=αCx+βCy+γCzC_n=\alpha C_x+\beta C_y+\gamma C_z. L’addition directe omet ces coefficients, et les deux autres expressions les permutent ou les remplacent par leurs inverses.

11. Dans une base donnée, un tenseur des contraintes σ\sigma agit sur le vecteur de base eye_y. Quel vecteur contrainte correspond à cette action ?

Cy=σeyC_y=\sigma e_y
Cy=eyσC_y=e_y\sigma
Cx=σeyC_x=\sigma e_y
Cz=σeyC_z=\sigma e_y

$$C_y=\sigma e_y$$

Explication

Le tenseur associe à chaque vecteur de base le vecteur contrainte de la face correspondante; ainsi, Cy=σeyC_y=\sigma e_y. Les expressions avec CxC_x ou CzC_z attribuent l’image à la mauvaise face, tandis que la dernière inverse l’ordre de l’action tensorielle.

12. Pour calculer le vecteur contrainte sur une facette de normale unitaire ene_n à partir du tenseur des contraintes connu, quelle opération faut-il effectuer ?

Calculer Cn=σexC_n=\sigma e_x quelle que soit la facette
Calculer Cn=σ−1enC_n=\sigma^{-1}e_n
Calculer Cn=σenC_n=\sigma e_n
Calculer Cn=σ⋅enC_n=\sigma\cdot e_n comme un scalaire

Calculer $$C_n=\sigma e_n$$

Explication

Le vecteur contrainte sur une facette de normale unitaire ene_n s’obtient par l’action du tenseur : Cn=σenC_n=\sigma e_n. Le produit scalaire donnerait un scalaire, l’inverse du tenseur n’est pas la relation prescrite et exe_x ne représente pas une normale arbitraire.

13. Dans un petit élément soumis à des contraintes, deux facettes perpendiculaires portent des contraintes de cisaillement ; quelle relation le théorème de Cauchy impose-t-il entre leurs valeurs ?

Elles ont des directions identiques.
Elles ont la même valeur.
Elles ont des valeurs opposées.
Elles ont la même valeur que les contraintes normales.

Elles ont la même valeur.

Explication

Le théorème de Cauchy établit que les contraintes de cisaillement sur deux plans perpendiculaires ont la même valeur. L’égalité des directions confond valeur et orientation, l’égalité avec les contraintes normales mélange deux types de contraintes, et des valeurs opposées contredisent cette relation.

14. Quelle propriété du tenseur des contraintes découle des relations entre ses composantes de cisaillement sur des plans perpendiculaires ?

Il est antisymétrique.
Il est symétrique.
Il est diagonal.
Toutes ses composantes sont égales.

Il est symétrique.

Explication

L’égalité des composantes de cisaillement associées aux plans perpendiculaires rend le tenseur des contraintes symétrique. Un tenseur diagonal annulerait les cisaillements, des composantes toutes égales ne sont pas requises, et l’antisymétrie correspondrait à des composantes opposées.

15. Dans un pont mixte acier-béton, un chargement vertical entraîne un cisaillement vertical ; que prévoit le théorème de Cauchy à l’interface entre les deux matériaux ?

Une contrainte normale entre le béton et l’acier.
Un cisaillement vertical entre le béton et l’acier.
Un cisaillement horizontal entre le béton et l’acier.
Un cisaillement horizontal entre les fondations et le sol.

Un cisaillement horizontal entre le béton et l’acier.

Explication

Dans un pont mixte, le cisaillement vertical dû au chargement s’accompagne, par le théorème de Cauchy, d’un cisaillement horizontal à l’interface béton-acier. Une contrainte normale confond traction ou compression et cisaillement, tandis que les réponses verticale et à l’interface sol-fondation ne correspondent pas à l’application décrite.

16. Une dalle en béton d’un pont mixte risque de glisser par rapport à la structure en acier ; quel dispositif est prévu pour limiter ce glissement ?

Des voiles raidissant le noyau de la structure.
Des goujons reliant la dalle à la structure.
Des armatures renforçant les linteaux du pont.
Un chargement vertical accru sur la dalle.

Des goujons reliant la dalle à la structure.

Explication

Les goujons sont placés dans les ponts mixtes pour éviter le glissement de la dalle en béton. Les armatures de linteaux concernent le renforcement de linteaux, les voiles appartiennent au noyau d’un bâtiment, et accroître le chargement ne constitue pas un dispositif de liaison.

17. Un tenseur des contraintes est représenté par une matrice réelle symétrique. Quelle propriété garantit le théorème spectral pour cette matrice ?

Elle est diagonalisable seulement si ses valeurs propres sont distinctes.
Elle est déjà diagonale dans la base initiale.
Elle est diagonalisable dans une base orthonormée.
Elle est diagonalisable dans une base non orthonormée.

Elle est diagonalisable dans une base orthonormée.

Explication

Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée, sans qu’elle soit déjà diagonale dans la base initiale ni que ses valeurs propres soient distinctes. La diagonalité initiale et la base non orthonormée confondent les conditions de représentation.

18. Un ingénieur choisit une base orthonormée dans laquelle le tenseur des contraintes n’a que des termes diagonaux. Comment nomme-t-on cette base ?

Une base orthonormée quelconque
Le repère initial des contraintes
Le repère principal des contraintes
Les contraintes principales

Le repère principal des contraintes

Explication

Le repère principal des contraintes est une base orthonormée où le tenseur des contraintes est diagonal. Le repère initial n’a pas nécessairement cette propriété, et les contraintes principales sont des valeurs, non une base.

19. Lors de la diagonalisation d’un tenseur des contraintes, quelles quantités apparaissent sur la diagonale dans le repère principal ?

Les composantes de cisaillement du tenseur
La trace du tenseur répétée sur la diagonale
Les valeurs propres du tenseur des contraintes
Les vecteurs propres du tenseur des contraintes

Les valeurs propres du tenseur des contraintes

Explication

Les contraintes principales sont les valeurs propres du tenseur et figurent sur la diagonale dans le repère principal. Les vecteurs propres définissent les directions principales, tandis que la trace est la somme des valeurs diagonales.

20. Une même contrainte est exprimée dans deux bases différentes. Quelle propriété permet de qualifier un nombre calculé à partir de ce tenseur d’invariant ?

Sa valeur ne dépend pas de la base choisie.
Sa valeur change avec les composantes de la base.
Il désigne une direction propre du tenseur.
Il correspond à l’ensemble des composantes du tenseur.

Sa valeur ne dépend pas de la base choisie.

Explication

Un invariant est un nombre calculé à partir du tenseur dont la valeur ne dépend pas de la base. Une composante peut changer de valeur lors d’un changement de base, et une direction propre n’est pas un invariant scalaire.

21. On cherche à caractériser complètement un tenseur symétrique au moyen de ses invariants. Combien d’invariants suffisent ?

Un invariant
Deux invariants
Six invariants
Trois invariants

Trois invariants

Explication

Trois invariants suffisent pour caractériser un tenseur symétrique. Un ou deux ne donnent pas le nombre requis, tandis que six renvoie à une autre façon de compter les composantes d’un tenseur symétrique tridimensionnel.

22. Un tenseur des contraintes a pour contraintes principales 1212, −4-4 et 22. Quelle est la valeur de son premier invariant J1J_1 ?

1010
1818
103\frac{10}{3}
1414

$$10$$

Explication

Le premier invariant est la trace, donc la somme des contraintes principales : J1=12+(−4)+2=10J_1=12+(-4)+2=10. La moyenne divise à tort cette somme par trois; omettre la valeur négative ou prendre les valeurs absolues donne une autre somme.

23. Pour un tenseur des contraintes dont la trace vaut 1818, quel déviateur obtient-on et quelle est sa trace ?

s=σ−18Is=\sigma-18I, avec tr⁡(s)=−36\operatorname{tr}(s)=-36
s=σs=\sigma, avec tr⁡(s)=18\operatorname{tr}(s)=18
s=σ−6s=\sigma-6, avec tr⁡(s)=0\operatorname{tr}(s)=0
s=σ−6Is=\sigma-6I, avec tr⁡(s)=0\operatorname{tr}(s)=0

$$s=\sigma-6I$$, avec $$\operatorname{tr}(s)=0$$

Explication

Le déviateur est s=σ−13tr⁡(σ)Is=\sigma-\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\sigma)I; ici, 13×18=6\frac{1}{3}\times18=6, donc s=σ−6Is=\sigma-6I et sa trace est nulle. Garder σ\sigma oublie la soustraction, tandis que soustraire la trace entière ou un scalaire sans l’identité applique mal la formule.

24. Pour un élément soumis à un état de contrainte donné, un ingénieur veut connaître les contraintes agissant sur une facette inclinée d’un angle arbitraire. À quoi le cercle de Mohr lui sert-il ?

Déterminer les contraintes principales et leurs directions
Déterminer le cisaillement maximal dans l’élément
Vérifier la résistance du matériau avec un critère de rupture
Déterminer les contraintes sur cette facette inclinée

Déterminer les contraintes sur cette facette inclinée

Explication

Le cercle de Mohr permet de déterminer les contraintes agissant sur un plan incliné quelconque. Les contraintes principales, le cisaillement maximal et la vérification de rupture sont d’autres usages du cercle, mais ne répondent pas à la recherche des contraintes sur cette facette.

25. Une analyse doit fournir les valeurs des contraintes principales, les directions associées et le cisaillement maximal d’un élément. Quel outil permet d’obtenir ces résultats ?

Le cercle de Mohr utilisé pour retrouver une orientation donnée
Le cercle de Mohr appliqué à l’état de contrainte
Le cercle de Mohr limité à un plan incliné quelconque
Le cercle de Mohr associé à un critère de rupture

Le cercle de Mohr appliqué à l’état de contrainte

Explication

Le cercle de Mohr permet de déterminer les contraintes principales et leurs directions, ainsi que le cisaillement maximal. L’analyse d’un plan quelconque, la recherche d’une orientation et la vérification de rupture sont des usages distincts.

26. Deux analystes décrivent le même élément infinitésimal dans des repères différents. Quelle représentation du cercle de Mohr convient à cette situation ?

Un même cercle représentant l’état de contrainte, indépendant du repère
Un point unique représentant l’état de contrainte, indépendant du repère
Un cercle distinct pour chaque repère, représentant l’état de contrainte
Un cercle invariant représentant uniquement les contraintes principales

Un même cercle représentant l’état de contrainte, indépendant du repère

Explication

Pour un élément infinitésimal donné, le cercle représente son état de contrainte et demeure indépendant du repère choisi. Des cercles distincts selon le repère confondent le cercle avec les composantes dépendant du repère; un point unique ou les seules contraintes principales ne représentent pas tout l’état de contrainte.

27. Sur un cercle de Mohr représentant un élément, que décrit un point choisi sur le cercle ?

Un critère de rupture associé au matériau
L’état de contrainte sur une facette
Une contrainte principale de l’élément
L’état de contrainte de l’élément entier

L’état de contrainte sur une facette

Explication

Chaque point du cercle de Mohr correspond à l’état de contrainte sur une facette. L’état global est représenté par le cercle, tandis qu’une contrainte principale correspond aux intersections avec l’axe de cisaillement nul.

28. En examinant un cercle de Mohr, une étudiante repère ses intersections avec l’axe où le cisaillement est nul. Que représentent ces intersections ?

Les contraintes principales
Les contraintes sur des facettes à cisaillement non nul
Les contraintes de cisaillement maximal
Les directions principales

Les contraintes principales

Explication

Les intersections du cercle avec l’axe où le cisaillement est nul correspondent aux contraintes principales. Le cisaillement maximal se lit ailleurs sur le cercle, les facettes à cisaillement non nul ne sont pas les intersections concernées, et les directions principales ne sont pas des contraintes.

29. Une éprouvette est faite du matériau idéal décrit, dont la résistance au cisaillement est atteinte lorsqu’une contrainte de cisaillement de 20 MPa est appliquée. Quelle propriété détermine sa rupture dans cet essai?

Sa résistance à la traction, considérée comme infinie
Sa résistance au cisaillement de 20 MPa
Sa résistance à la traction de 20 MPa
Sa résistance à la compression, considérée comme infinie

Sa résistance au cisaillement de 20 MPa

Explication

Le matériau idéal résiste infiniment à la traction et à la compression, mais sa résistance au cisaillement vaut 20 MPa. Assimiler 20 MPa à la traction confond les modes de sollicitation; supposer une résistance finie en traction ou en compression contredit les propriétés données.

30. Lors d’un essai de traction simple reproduisant la géométrie de l’exemple, quelle section transversale faut-il prendre en compte?

Une section carrée de 10 cm sur 10 cm
Une section carrée de 10 mm sur 10 mm
Une section rectangulaire de 10 cm sur 1 cm
Une section de 10 cm²

Une section carrée de 10 cm sur 10 cm

Explication

La section de l’éprouvette est de 10 cm × 10 cm. La valeur de 10 cm² résulte d’une mauvaise aire, tandis que 10 mm ou 1 cm substituent aux dimensions données une autre géométrie.

31. Dans le repère principal, une facette a une normale dont les composantes sont α=0,6\alpha=0{,}6 et β=0,8\beta=0{,}8. Quelle valeur de γ\gamma rend cette normale unitaire?

γ=0\gamma=0
γ=0,6\gamma=0{,}6
γ=−0,8\gamma=-0{,}8
γ=0,2\gamma=0{,}2

$$\gamma=0$$

Explication

La condition de normalité est α2+β2+γ2=1\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1; ici 0,62+0,82=10{,}6^2+0{,}8^2=1, donc γ=0\gamma=0. La valeur 0,2 vient d’une addition simple, tandis que 0,6 et −0,8 ne satisfont pas la condition.

32. Dans le repère principal, une normale à une facette a pour cosinus directeurs α=1\alpha=1, β=0\beta=0 et γ=0\gamma=0. Quelle contrainte normale agit sur cette facette?

σn=σI+σII+σIII3\sigma_n=\frac{\sigma_I+\sigma_{II}+\sigma_{III}}{3}
σn=σIII\sigma_n=\sigma_{III}
σn=σI\sigma_n=\sigma_I
σn=σII\sigma_n=\sigma_{II}

$$\sigma_n=\sigma_I$$

Explication

La relation est σn=α2σI+β2σII+γ2σIII\sigma_n=\alpha^2\sigma_I+\beta^2\sigma_{II}+\gamma^2\sigma_{III}; avec ces cosinus directeurs, seul le terme σI\sigma_I contribue. Choisir σII\sigma_{II} ou σIII\sigma_{III} confond l’axe de la normale, et la moyenne ne correspond pas à la formule.

33. Pour une facette dont la normale est donnée, un ingénieur connaît les contraintes normale et tangentielle qui s’y appliquent. Quelle information le tricercle de Mohr permet-il de lire, et quelle information ne fournit-il pas ?

Les contraintes principales et l’orientation du plan correspondant, mais pas le cisaillement maximal
La zone des contraintes sur cette facette et l’orientation du plan correspondant, mais pas les contraintes principales
La zone des contraintes sur cette facette et les contraintes principales, mais pas l’orientation d’un plan correspondant à des contraintes données
L’orientation du plan correspondant aux contraintes données et le cisaillement maximal, mais pas les contraintes sur cette facette

La zone des contraintes sur cette facette et les contraintes principales, mais pas l’orientation d’un plan correspondant à des contraintes données

Explication

Le tricercle de Mohr délimite la zone des contraintes normale et tangentielle pour une normale donnée et visualise les contraintes principales ainsi que le cisaillement maximal; il ne détermine pas l’orientation d’un plan soumis à des contraintes données. L’orientation du plan est la confusion centrale, tandis que les autres réponses écartent à tort la zone des contraintes sur la facette ou les contraintes principales.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 72 flashcards sur Tenseur des contraintes et contraintes principales.

Qu’étudie la mécanique des milieux continus à l’intérieur d’un solide déformable ?

Les déformations et les contraintes.

Comment s’écrit un vecteur dans la base canonique ?

a=axex+ayey+azeza = a_x e_x + a_y e_y + a_z e_z.

Comment un tenseur d’ordre 2 peut-il être représenté après le choix d’une base ?

Par une matrice.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Tenseur des contraintes et contraintes principales.

Voir la fiche →

Cours similaires

Champs, énergie et ondes

Physique

Reproduction et peuplement des milieux

SVT

Dérivation et règles de calcul

Mathématiques

Transferts horizontaux et endosymbioses

SVT

Datation géologique absolue et relative

SVT

Structure de la société française

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM