Fiche de révision : Tenseur des contraintes et contraintes principales

📋 Plan du Cours

1. Objet et applications de la MMC
2. Notations vectorielles et tensorielles
3. Contrainte et vecteur contrainte
4. Tenseur des contraintes
5. Théorème de Cauchy et cisaillement
6. Applications du théorème de Cauchy
7. Diagonalisation et contraintes principales
8. Invariants du tenseur des contraintes
9. Usages du cercle de Mohr
10. Représentation de l’état de contrainte
11. Rupture d’un matériau idéal
12. Cercle de Mohr en trois dimensions
13. Tricercle et arbelos de Mohr

📖 1. Objet et applications de la MMC

★ À maîtriser

📌 La mécanique des milieux continus étudie les déformations et les contraintes à l’intérieur d’un solide déformable, contrairement à la mécanique du point et à celle du solide indéformable.

Compléments

• La mécanique des milieux continus est utilisée pour analyser la fatigue d’un train, modéliser le pont de Tancarville et la tour Montparnasse, et analyser les pieux du pont de Bizerte.

💡 Astuce mémo

Solide indéformable : mouvement global ; MMC : déformations et contraintes internes

📖 2. Notations vectorielles et tensorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur d’ordre 2 : Un tenseur d’ordre 2 est un objet mathématique qui, une fois une base choisie, peut être représenté par une matrice.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la base canonique, un vecteur s’écrit $a = a_x e_x + a_y e_y + a_z e_z$.

Compléments

• Les vecteurs de la base canonique sont notés $e_x$, $e_y$ et $e_z$, et leurs coordonnées sont notées $a_x$, $a_y$ et $a_z$.

📌 Un même vecteur peut avoir des représentations différentes selon la base choisie.

📌 Comme un vecteur, un tenseur peut avoir des représentations différentes selon la base choisie.

📖 3. Contrainte et vecteur contrainte

🔑 Notions clés & Définitions

• Contrainte : La contrainte est la force par unité de surface appliquée à un élément de matière par le reste du milieu ou par l’extérieur.
• Vecteur contrainte : Le vecteur contrainte associé à une facette de normale sortante $e_n$ est noté $\sigma(e_n)$.

★ À maîtriser

📌 La projection du vecteur contrainte sur la normale à la facette est la contrainte normale, tandis que sa projection dans la facette est la contrainte tangente.

📌 Selon la convention de la mécanique des milieux continus, une contrainte normale positive correspond à la traction et une contrainte normale négative à la compression.

Compléments

• La contrainte s’exprime en pascals, soit en newtons par mètre carré, et son ordre de grandeur indiqué est de 10 à 1000 MPa.

📐 Formule - La force élémentaire sur une surface $dS$ vérifie $dF = \sigma(e_n)\,dS$.

💡 Astuce mémo

Normale : traction ou compression ; tangente : cisaillement

📖 4. Tenseur des contraintes

★ À maîtriser

• La connaissance des vecteurs contraintes sur trois faces perpendiculaires permet de déterminer l’état des contraintes sur toute facette.

📐 Formule - Pour une facette de normale unitaire $e_n = (\alpha,\beta,\gamma)$, le vecteur contrainte associé est $C_n = \alpha C_x + \beta C_y + \gamma C_z$.

📐 Formule - Le tenseur des contraintes $\sigma$ associe aux vecteurs de la base les vecteurs contraintes des faces correspondantes : $C_x = \sigma e_x$, $C_y = \sigma e_y$ et $C_z = \sigma e_z$.

📐 Formule - Le vecteur contrainte sur une facette de normale unitaire $e_n$ est $C_n = \sigma e_n$.

Compléments

• Les composantes $\sigma_{ij}$ du tenseur des contraintes décrivent les projections des vecteurs contraintes sur les directions de la base.

📖 5. Théorème de Cauchy et cisaillement

★ À maîtriser

• Le théorème de Cauchy établit que les contraintes de cisaillement sur deux plans perpendiculaires ont la même valeur.

• Le tenseur des contraintes est symétrique.

Compléments

📐 Formule - L’équilibre des moments donne $\sigma_{xy}=\sigma_{yx}$, $\sigma_{xz}=\sigma_{zx}$ et $\sigma_{yz}=\sigma_{zy}$.

📖 6. Applications du théorème de Cauchy

★ À maîtriser

• Dans un pont mixte acier-béton, un chargement vertical crée un cisaillement vertical et, par le théorème de Cauchy, un cisaillement horizontal à l’interface entre le béton et l’acier. - Setra, Guide des ouvrages Mixtes

Compléments

• Dans un pont mixte, des goujons sont placés pour éviter le glissement de la dalle en béton.

• Dans une tour, le vent crée du cisaillement dans les voiles du noyau, ce qui produit un effort tranchant important dans les linteaux, qui doivent être fortement ferraillés. - J. Sadek/setec TPI, Tour Triangle

📖 7. Diagonalisation et contraintes principales

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère principal des contraintes : Le repère principal des contraintes est une base orthonormée dans laquelle le tenseur des contraintes est diagonal.
• Contraintes principales : Les contraintes principales sont les valeurs propres du tenseur des contraintes.
• Valeur propre : Une valeur propre $\lambda$ d’une matrice $A$ est un réel associé à un vecteur non nul $X$ tel que $AX=\lambda X$.
• Vecteur propre : Un vecteur propre $X$ d’une matrice $A$ est un vecteur non nul tel que $AX=\lambda X$ pour une valeur propre $\lambda$.

★ À maîtriser

• Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.

📐 Formule - Pour un état de contraintes bidimensionnel avec $\sigma_{iz}=0$, les deux contraintes principales sont $\sigma_I=\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sqrt{(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2+4\sigma_{xy}^2}}{2}$ et $\sigma_{II}=\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}-\sqrt{(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2+4\sigma_{xy}^2}}{2}$.

Compléments

• Les valeurs propres d’une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique $\det(A-\lambda I)$.

• Pour déterminer un vecteur propre associé à $\lambda$, on résout $(A-\lambda I)X=0$ en trouvant le noyau de $A-\lambda I$.

• Dans le repère principal, les contraintes de cisaillement sont nulles et l’élément ne subit que des contractions ou des dilatations suivant les directions principales.

• Pour obtenir une direction principale, on résout $\sigma v=\sigma_I v$ pour un vecteur propre non nul, puis on normalise ce vecteur pour obtenir un vecteur unitaire.

💡 Astuce mémo

Même sollicitation, nouveau repère : on change de base, pas l’état de contrainte

📖 8. Invariants du tenseur des contraintes

🔑 Notions clés & Définitions

• Invariant : Nombre calculé à partir d’un tenseur qui ne dépend pas de la base.

★ À maîtriser

• Trois invariants suffisent pour caractériser un tenseur symétrique.

📐 Formule - Le premier invariant vaut $J_1=\operatorname{tr}(\sigma)=\sigma_I+\sigma_{II}+\sigma_{III}$.

📐 Formule - Le déviateur des contraintes est $s=\sigma-\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\sigma)I$ et sa trace est nulle, $\operatorname{tr}(s)=0$.

📐 Formule - Le deuxième invariant s’écrit $J_2=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(\sigma^2)-\frac{1}{6}(\operatorname{tr}\sigma)^2=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(s^2)=\frac{1}{6}[(\sigma_I-\sigma_{II})^2+(\sigma_{II}-\sigma_{III})^2+(\sigma_{III}-\sigma_I)^2]$.

Compléments

📐 Formule - La pression hydrostatique est définie par $p=-\frac{1}{3}J_1=-\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\sigma)$.

• Le premier invariant traduit la traction ou la compression isotrope, c’est-à-dire une action simultanée dans toutes les directions.

• Le déviateur traduit la contrainte de cisaillement et ne comporte plus de composante hydrostatique.

• Le deuxième invariant mesure l’intensité de la composante déviatorique et indique combien de cisaillement comporte l’état de contrainte.

📐 Formule - Le troisième invariant s’écrit $J_3=\det(s)=\frac{1}{3}\operatorname{tr}(s^3)$.

• Le troisième invariant caractérise la forme de la composante déviatorique et est lié à la contrainte principale intermédiaire $\sigma_{II}$.

• Les invariants $J_2$ et $J_3$ sont très utilisés dans les lois qui régissent l’écoulement plastique.

📖 9. Usages du cercle de Mohr

★ À maîtriser

• Le cercle de Mohr permet de déterminer les contraintes sur un plan incliné quelconque.

• Le cercle de Mohr permet de déterminer les contraintes principales, leurs directions et le cisaillement maximal.

Compléments

• Le cercle de Mohr permet de retrouver l’orientation d’un plan soumis à un couple de contraintes normales et de cisaillement donné.

• Le cercle de Mohr permet de vérifier la résistance d’un matériau lorsqu’un critère de rupture lui est associé.

📖 10. Représentation de l’état de contrainte

★ À maîtriser

• Pour un élément infinitésimal donné, le cercle de Mohr représente son état de contrainte et est indépendant du repère choisi.

• Chaque point du cercle de Mohr représente l’état de contrainte sur une facette.

• Les intersections du cercle de Mohr avec l’axe où le cisaillement est nul correspondent aux contraintes principales.

Compléments

• L’indépendance du cercle de Mohr par rapport au repère rend le plan des contraintes normale et tangentielle adapté à la définition de critères de rupture.

📖 11. Rupture d’un matériau idéal

★ À maîtriser

• Le matériau idéal de l’exemple résiste infiniment à la traction et à la compression, mais sa résistance au cisaillement est de 20 MPa.

Compléments

• L’éprouvette de l’exemple a une section de 10 cm × 10 cm et est tirée en traction simple jusqu’à rupture.

• La question posée dans l’exemple est de déterminer si l’éprouvette rompt et, le cas échéant, à quelle force et selon quel angle.

📖 12. Cercle de Mohr en trois dimensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus directeurs : Les cosinus directeurs α, β et γ sont les composantes de la normale à une facette dans le repère principal.

★ À maîtriser

📐 Formule - La normale unitaire vérifie $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1$.

📐 Formule - Dans le repère principal, la contrainte normale sur une facette vérifie $\sigma_n=\alpha^2\sigma_I+\beta^2\sigma_{II}+\gamma^2\sigma_{III}$.

Compléments

📐 Formule - Dans le repère principal, la norme du vecteur contrainte vérifie $\alpha^2\sigma_I^2+\beta^2\sigma_{II}^2+\gamma^2\sigma_{III}^2=\sigma_n^2+\tau^2$.

📌 On peut supposer sans perte de généralité que les contraintes principales sont ordonnées ainsi : $\sigma_I\geq\sigma_{II}\geq\sigma_{III}$.

📖 13. Tricercle et arbelos de Mohr

📝 Points essentiels

📌 Le tricercle de Mohr, parfois appelé arbelos de Mohr en français, délimite la zone où se trouvent les contraintes normale et tangentielle sur une facette de normale donnée; il visualise les contraintes principales et le cisaillement maximal, mais ne donne pas l’orientation d’un plan soumis à des contraintes données.