Fiche de révision : Des équations aux inégalités

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les inégalités
2. Résolution des inéquations
3. Entiers naturels et relatifs
4. Nombres décimaux
5. Écritures décimales infinies

📖 1. Opérations sur les inégalités

★ À maîtriser

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité conserve son sens.

• Multiplier les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement positif conserve son sens.

• Multiplier les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif inverse son sens.

• Diviser une inégalité revient à la multiplier par l’inverse du diviseur et suit donc la même règle : le sens est conservé par un diviseur positif et inversé par un diviseur négatif.

Compléments

• Multiplier une inégalité par zéro donne l’égalité $0=0$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par positif : sens conservé ; par négatif : sens inversé.

📖 2. Résolution des inéquations

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation du premier degré, on réduit les termes, on isole l’inconnue, puis on inverse le sens si l’on divise par un nombre négatif.

• La résolution de l’inéquation $3x-5<7x+3$ donne $x>-2$, donc l’ensemble solution est $S=]-2;+[$.

• La résolution de l’inéquation $-3x+13>4x-3$ donne $x<\frac{16}{7}$ après division par $-7$ et inversion du sens.

💡 Astuce mémo

Réduire, isoler, puis inverser si le diviseur est négatif.

📖 3. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : contient les entiers utilisés pour compter dans la nature : 0, 1, 2, 3 et ainsi de suite.
• Entiers relatifs : l’ensemble de tous les entiers positifs, négatifs ou nuls.

📝 Points essentiels

• L’ensemble $\mathbb{N}^*$ regroupe les entiers naturels strictement positifs, sans zéro.

📌 Les entiers naturels sont une partie des entiers relatifs, car tout entier naturel est aussi un entier relatif.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée part de zéro, s’étend vers les positifs et les négatifs.

📖 4. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule et sont notés $\mathbb{D}$.

★ À maîtriser

📌 Tout entier relatif est un nombre décimal, ce qui se note $\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$.

Compléments

• Le nombre 1,432 appartient à l’ensemble des nombres décimaux, car son écriture comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

• L’entier 7 appartient à l’ensemble des nombres décimaux, car $7=7{,}00$ possède une écriture finie après la virgule.

• Le système décimal permet de subdiviser l’écart entre deux entiers en 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 parties et ainsi de suite.

💡 Astuce mémo

ID : écriture finie après la virgule.

📖 5. Écritures décimales infinies

★ À maîtriser

• L’écriture décimale infinie $A=0{,}9999\ldots$ est égale à 1, car $10A=9{,}9999\ldots$ conduit à $A=1$.

• Le nombre $B=1{,}4329999\ldots$ peut s’écrire $1{,}432$, car la multiplication par 1000 donne $1000B=1432$.

Compléments

• Pour montrer que $A=0{,}9999\ldots$ vaut 1, on écrit $10A=9{,}9999\ldots$, puis $A+9=10A$, ensuite $9=9A$ et enfin $A=1$.

• Pour transformer $B=1{,}4329999\ldots$, on écrit $1000B=1431{,}9999\ldots$, puis $1431{,}9999\ldots=1431+0{,}9999\ldots$, donc $1000B=1432$ et $B=\frac{1432}{1000}=1{,}432$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par une puissance de 10 décale la virgule → l’infini décimal devient exploitable.