Fiche de révision : Description d’un mouvement

📋 Plan du Cours

1. Système et centre de masse
2. Référentiels et principe d’inertie
3. Vitesse et types de mouvement
4. Tracé des vecteurs cinématiques
5. Repère cartésien et position
6. Dérivation position vitesse accélération
7. Mouvements rectilignes
8. Mouvements circulaires et Frenet

📖 1. Système et centre de masse

🔑 Notions clés & Définitions

• Système mécanique : Objet ou ensemble d’objets dont on étudie le mouvement.
• Centre de masse : Point auquel on associe la masse du système pour modéliser son mouvement.

📖 2. Référentiels et principe d’inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Solide muni d’une horloge et d’un repère par rapport auquel on décrit le mouvement d’un système.

★ À maîtriser

📌 Dans un référentiel galiléen, si les forces extérieures se compensent, le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme.

📐 Formule — La condition d’inertie s’écrit $\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=\vec{0} \Rightarrow \vec{v}=\text{constante} \text{ et } \Delta\vec{v}=\vec{0}$.

Compléments

• Les référentiels considérés comme galiléens sont:
  • le référentiel héliocentrique
  • le référentiel géocentrique
  • le référentiel terrestre

💡 Astuce mémo

Référentiel terrestre, géocentrique ou héliocentrique : l’observateur choisi change la description du mouvement.

📖 3. Vitesse et types de mouvement

★ À maîtriser

📌 Un mouvement rectiligne possède une trajectoire droite, tandis qu’un mouvement curviligne possède une trajectoire courbe.

📐 Formule — La vitesse moyenne est le quotient de la distance totale parcourue par la durée totale : $v_{\mathrm{moy}}=\frac{d_{\mathrm{totale}}}{\Delta t}$.

Compléments

• Lorsque les positions successives sont séparées par des durées égales et que les distances entre positions augmentent, la vitesse augmente et le mouvement est rectiligne accéléré.

💡 Astuce mémo

Position → vitesse → variation de vitesse → type de mouvement.

📖 4. Tracé des vecteurs cinématiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des positions séparées d’une durée constante τ, le vecteur vitesse au point Gᵢ vérifie $\vec{v_i}=\frac{\overrightarrow{G_{i-1}G_{i+1}}}{2\tau}$.

📐 Formule — Le vecteur accélération au point Gᵢ vérifie $\vec{a_i}=\frac{\vec{v}_{i+1}-\vec{v}_{i-1}}{2\tau}=\frac{\Delta\vec{v_i}}{2\tau}$.

Compléments

• Pour tracer une accélération en Gᵢ, on représente d’abord les vecteurs vitesses voisins, puis on construit leur différence $\Delta\vec v_i=\vec v_{i+1}-\vec v_{i-1}$ et on la reporte en Gᵢ avec l’échelle choisie.

💡 Astuce mémo

Mesurer Gᵢ₋₁Gᵢ₊₁ → tracer vᵢ → comparer les vitesses → tracer aᵢ.

📖 5. Repère cartésien et position

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : S’écrit $\overrightarrow{OG}(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k$ dans un repère cartésien.
• Vecteur vitesse : Tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La norme de la vitesse vaut $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ et s’exprime en m·s⁻¹.

📖 6. Dérivation position vitesse accélération

★ À maîtriser

📐 Formule — Les composantes de la vitesse sont les dérivées des coordonnées de position : $v_x=\frac{dx}{dt},\quad v_y=\frac{dy}{dt},\quad v_z=\frac{dz}{dt}$.

📐 Formule — Les composantes de l’accélération sont les dérivées des composantes de vitesse et les dérivées secondes de la position : $a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2},\quad a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2},\quad a_z=\frac{dv_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}$.

Compléments

• Si la position vérifie $x(t)=5t^2$, alors la vitesse vaut $v(t)=10t$ et l’accélération vaut $a(t)=10\ \mathrm{m·s^{-2}}$.

💡 Astuce mémo

Position → dérivée : vitesse → dérivée : accélération.

📖 7. Mouvements rectilignes

★ À maîtriser

📌 Dans un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse est constant, sa norme est constante et l’accélération est nulle.

📌 Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, la vitesse augmente et l’accélération reste constante.

Compléments

• Pour une voiture démarrant avec une accélération constante de 2,0 m·s⁻² à partir du repos, la vitesse est $v_v(t)=2t$ et la position, avec une position initiale nulle, est $x_v(t)=t^2$.

💡 Astuce mémo

Uniforme : vitesse constante et accélération nulle ; accéléré ou ralenti : vitesse variable et accélération constante.

📖 8. Mouvements circulaires et Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Repère mobile constitué d’un vecteur tangent orienté dans le sens du mouvement et d’un vecteur normal orienté vers le centre du cercle.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le repère de Frenet, l’accélération s’écrit $\vec a=\frac{dv}{dt}\vec u_t+\frac{v^2}{R}\vec u_n$.

📌 Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante, l’accélération tangentielle est nulle et l’accélération normale vaut $a_n=\frac{v^2}{R}$ en direction du centre.

Compléments

• Dans l’exemple du disque, les normes des vitesses sont égales à 9,8 cm·s⁻¹, mais les vecteurs vitesses sont différents car leur direction change.

💡 Astuce mémo

La vitesse suit la tangente au cercle ; l’accélération normale pointe vers son centre.

📊 Tableaux de synthèse

Types de mouvements rectilignes

Composantes dans le repère de Frenet