QCM : Différentielles et incertitudes — 5 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que représente la différentielle dGdG d’une grandeur GG lorsque ses paramètres varient légèrement ?

La valeur exacte de GG après modification de ses paramètres
La variation relative obtenue en divisant GG par ses paramètres
L’incertitude absolue associée à la mesure de GG
La variation de GG au premier ordre due aux variations de ses paramètres

La variation de $$G$$ au premier ordre due aux variations de ses paramètres

Explication

La différentielle fournit une approximation au premier ordre de la variation de la grandeur causée par de petites variations de ses paramètres. L’incertitude absolue correspond plutôt à ΔG\Delta G, qui quantifie une incertitude de mesure.

2. Pour une grandeur GG dépendant de xx et yy, quelle expression décrit sa différentielle au premier ordre ?

dG=G(dxx+dyy)dG = G\left(\frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}\right)
dG=∂G∂xdy+∂G∂ydxdG = \frac{\partial G}{\partial x}dy + \frac{\partial G}{\partial y}dx
dG=∂G∂x∂G∂ydxdydG = \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial G}{\partial y}dxdy
dG=∂G∂xdx+∂G∂ydydG = \frac{\partial G}{\partial x}dx + \frac{\partial G}{\partial y}dy

$$dG = \frac{\partial G}{\partial x}dx + \frac{\partial G}{\partial y}dy$$

Explication

La différentielle s’obtient en additionnant chaque dérivée partielle multipliée par la variation du paramètre correspondant. L’échange de dxdx et dydy associerait chaque dérivée à la mauvaise variable.

3. Quelle distinction permet de différencier dGdG de ΔG\Delta G dans l’analyse d’une grandeur mesurée ?

dGdG désigne une variation relative, tandis que ΔG\Delta G désigne une valeur nominale
dGdG décrit une variation de valeur, tandis que ΔG\Delta G décrit une incertitude absolue
dGdG décrit une incertitude absolue, tandis que ΔG\Delta G décrit une variation de valeur
dGdG désigne une valeur nominale, tandis que ΔG\Delta G désigne une variation relative

$$dG$$ décrit une variation de valeur, tandis que $$\Delta G$$ décrit une incertitude absolue

Explication

La notation dGdG représente une variation de la valeur de GG, alors que ΔG\Delta G représente l’incertitude absolue sur cette grandeur. Confondre ces notations revient à traiter une variation physique comme une incertitude de mesure.

4. Pour P(x)=12x2P(x)=\frac{1}{2}x^2, quelle approximation différentielle obtient-on pour une petite variation dxdx de xx ?

dP=12x dxdP=\frac{1}{2}x\,dx, en conservant le terme quadratique
dP=12(dx)2dP=\frac{1}{2}(dx)^2, en supprimant le terme dépendant de xx
dP=x dxdP=x\,dx, en négligeant le terme en (dx)2(dx)^2
dP=x2 dxdP=x^2\,dx, en remplaçant la dérivée par la fonction

$$dP=x\,dx$$, en négligeant le terme en $$(dx)^2$$

Explication

La dérivée de P(x)=12x2P(x)=\frac{1}{2}x^2 vaut xx, donc la différentielle est dP=x dxdP=x\,dx au premier ordre. Le terme en (dx)2(dx)^2 appartient à l’expression exacte de la variation et est négligé dans cette approximation.

5. Dans la relation ρ=4πmkD\rho=\frac{4}{\pi}\frac{m}{kD}, comment évoluent les contributions différentielles associées à mm et à kk ?

Les deux contributions sont positives, car mm et kk sont au dénominateur
La contribution liée à mm est positive, tandis que celle liée à kk est négative
Les deux contributions sont négatives, car la relation comporte plusieurs facteurs
La contribution liée à mm est négative, tandis que celle liée à kk est positive

La contribution liée à $$m$$ est positive, tandis que celle liée à $$k$$ est négative

Explication

La dérivée de ρ\rho par rapport à mm est positive, tandis que celle par rapport à kk est négative puisque kk apparaît au dénominateur. Ainsi, une petite augmentation de mm accroît la contribution correspondante, alors qu’une augmentation de kk la réduit.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Différentielles et incertitudes.

Qu'est-ce que la différentielle d'une grandeur G ?

La différentielle d'une grandeur G représente au premier ordre sa variation liée aux variations de ses paramètres.

Quelle est la formule de la différentielle d'une grandeur G dépendant de x et y ?

La différentielle s'écrit dG=dGdxdx+dGdydy+⋯dG = \frac{dG}{dx}dx + \frac{dG}{dy}dy + \cdots.

Comment s'écrit la variation d'une grandeur G ?

La variation s'écrit dG ou ΔG.

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