Flashcards : Divisibilité et congruences — 33 cartes

Toutes les cartes

1Question

Quelle est la définition de l'ensemble des entiers naturels ?

Réponse

$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$

2Question

Comment se définit l'ensemble des entiers relatifs ?

Réponse

$\mathbb{Z} = \{0,1,-1,2,-2,\ldots\}$

3Question

Quelle inclusion stricte relie les ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ?

Réponse

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

4Question

Quelle inclusion stricte relie les ensembles $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{D}$ ?

Réponse

$\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$

5Question

Quelle inclusion stricte relie les ensembles $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ ?

Réponse

$\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$

6Question

Quelle inclusion stricte relie les ensembles $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ ?

Réponse

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

7Question

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Réponse

Un nombre à virgule dont l’écriture est finie.

8Question

Quelle est la définition de la divisibilité entre deux entiers relatifs ?

Réponse

a divise b si un entier k existe avec b = ka.

9Question

Pourquoi 2 divise-t-il 10 ?

Réponse

Parce que 10 = 2 × 5.

10Question

Pourquoi 5 divise-t-il 20 ?

Réponse

Parce que 20 = 4 × 5.

11Question

Quels entiers divisent toujours eux-mêmes ?

Réponse

Tout entier relatif a divise a.

12Question

Quels entiers divisent tout entier a ?

Réponse

-1 et -a divisent a.

13Question

Que divise tout entier non nul a ?

Réponse

Tout entier non nul a divise 0.

14Question

Qu'impose la transitivité de la divisibilité ?

Réponse

Si a divise b et b divise c, alors a divise c.

15Question

Qu'est-ce qu'une combinaison linéaire à coefficients entiers de $x_1,\ldots,x_n$ ?

Réponse

Un réel de la forme $y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ avec $a_i\in\mathbb{Z}$ .

16Question

Que peut-on dire si $a\mid b$ et $a\mid c$ ?

Réponse

Alors $a$ divise toute combinaison linéaire entière de $b$ et $c$ .

17Question

Pourquoi 10 est-il une combinaison linéaire de 4, 2 et 3 ?

Réponse

Parce que $10=0\times4+2\times3+4\times1$ .

18Question

Comment exprimer 7 comme combinaison linéaire de 11 et 13 ?

Réponse

On a $7=3\times11-2\times13$ .

19Question

Qu'impose la division euclidienne pour $a,b\in\mathbb{N}$ avec $b\ne0$ ?

Réponse

Il existe un unique couple (q,r) tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$ .

20Question

Quels sont les rôles de a, b, q et r dans une division euclidienne ?

Réponse

a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

21Question

Quelle est l'expression de la division euclidienne de 23 par 4 ?

Réponse

$23=4\times5+3$ avec $0\le3<4$ .

22Question

Qu'est-ce que signifie $a\equiv b\ [m]$ pour $a,b\in\mathbb{Z}$ et $m\in\mathbb{N}^*$ ?

Réponse

a et b ont le même reste dans leur division euclidienne par m.

23Question

Pourquoi $10\equiv16\ [3]$ est vrai ?

Réponse

Parce que 10 et 16 ont tous deux le reste 1 dans leur division par 3.

24Question

Quelle condition équivaut à $a\equiv b\ [m]$ pour $a,b\in\mathbb{Z}$ et $m\in\mathbb{N}^*$ ?

Réponse

m divise (b - a).

25Question

Quelles propriétés la congruence modulo m possède-t-elle ?

Réponse

Elle est réflexive, symétrique et transitive.

26Question

Qu'impose la congruence pour les sommes, différences et produits modulo m ?

Réponse

Si $a\equiv b\ [m]$ et $c\equiv d\ [m]$ , alors $a+c\equiv b+d\ [m]$ , $a-c\equiv b-d\ [m]$ et $ac\equiv bd\ [m]$ .

27Question

Que vaut $a^k$ modulo $m$ si $a\equiv b\ [m]$ ?

Réponse

Alors $a^k\equiv b^k\ [m]$ pour tout $k\in\mathbb{N}$ .

28Question

Quel est le reste de la division de $23^{41}$ par 7 ?

Réponse

Le reste est 4.

29Question

Pourquoi $3^{2n}-2^n$ est-il multiple de 7 pour tout $n\in\mathbb{N}$ ?

Réponse

Parce que $3^2\equiv 2\ [7]$ implique $3^{2n}\equiv 2^n\ [7]$ .

30Question

Comment étudie-t-on une expression selon les classes de n modulo m ?

Réponse

On calcule successivement les facteurs dans chaque classe puis on combine modulo m.

31Question

Quelle congruence vaut pour tout $n\in\mathbb{N}$ concernant $n^2(n+1)^2$ modulo 4 ?

Réponse

$n^2(n+1)^2 \equiv 0 \ [4]$ .

32Question

Que suffit-il d'examiner pour vérifier qu'une expression est toujours multiple de 4 ?

Réponse

Les classes $n \equiv 0,1,2,3 \ [4]$ .

33Question

Quels sont les restes possibles dans une division euclidienne par b ?

Réponse

Les entiers de 0 à $|b|-1$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 17 questions sur Divisibilité et congruences.

1. Quel ensemble correspond à la définition des entiers naturels ?

2. Lequel de ces nombres appartient à $\mathbb{Z}$ mais n’appartient pas à $\mathbb{N}$ ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Divisibilité et congruences.

Flashcards : Divisibilité et congruences — 33 cartes

Toutes les cartes

Teste-toi avec le QCM

Consultez la fiche

Cours similaires

Division des nombres relatifs

Sécurité et identification chimique

Anamnèse optométrique

Biologie cellulaire : le vivant

Socialisation et différences de comportements

Sociologie des médias

Crée tes propres flashcards