Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Divisibilité dans les entiers
3. Combinaisons linéaires
4. Division euclidienne
5. Définition des congruences
6. Opérations et applications
7. Tableaux de congruences

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des entiers naturels : $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$
• Ensemble des entiers relatifs : $\mathbb{Z}=\{0{,}1,-1{,}2,-2,\ldots\}$
• Nombre décimal : Un nombre à virgule dont l’écriture est finie.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions strictes $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Divisibilité dans les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour deux entiers relatifs a et b, s’il existe un entier relatif k tel que $b=ka$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier relatif a, on a $a\mid a$, $-1\mid a$, $-a\mid a$ et, si $a\ne0$, $a\mid0$.

📌 La divisibilité est transitive : si $a\mid b$ et $b\mid c$, alors $a\mid c$.

Compléments

• On a $2\mid10$ car $10=2\times5$, et $5\mid20$ car $20=4\times5$.

💡 Astuce mémo

a|b et b|c → a|c

📖 3. Combinaisons linéaires