Fiche de révision : Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Divisibilité dans les entiers
3. Combinaisons linéaires
4. Division euclidienne
5. Définition des congruences
6. Opérations et applications
7. Tableaux de congruences

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des entiers naturels : $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$
• Ensemble des entiers relatifs : $\mathbb{Z}=\{0{,}1,-1{,}2,-2,\ldots\}$
• Nombre décimal : Un nombre à virgule dont l’écriture est finie.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions strictes $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Divisibilité dans les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour deux entiers relatifs a et b, s’il existe un entier relatif k tel que $b=ka$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier relatif a, on a $a\mid a$, $-1\mid a$, $-a\mid a$ et, si $a\ne0$, $a\mid0$.

📌 La divisibilité est transitive : si $a\mid b$ et $b\mid c$, alors $a\mid c$.

Compléments

• On a $2\mid10$ car $10=2\times5$, et $5\mid20$ car $20=4\times5$.

💡 Astuce mémo

a|b et b|c → a|c

📖 3. Combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Un réel de la forme $y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ avec $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{Z}$.

★ À maîtriser

📌 Si $a\mid b$ et $a\mid c$, alors a divise toute combinaison linéaire entière de b et c, notamment $b+c$ et $b-c$.

Compléments

• Le nombre 10 est une combinaison linéaire de 4, 2 et 3, car $10=0\times4+2\times3+4\times1$.

• Le nombre 7 est une combinaison linéaire de 11 et 13, car $7=3\times11-2\times13$.

💡 Astuce mémo

a|b et a|c → a divise toute combinaison linéaire

📖 4. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour $a,b\in\mathbb{N}$ avec $b\ne0$, il existe un unique couple d’entiers naturels (q,r) tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$.

📝 Points essentiels

• Dans une division euclidienne, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

• La division euclidienne de 23 par 4 est $23=4\times5+3$ avec $0\le3<4$.

💡 Astuce mémo

quotient et reste : existence et unicité

📖 5. Définition des congruences

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo : Pour $a,b\in\mathbb{Z}$ et $m\in\mathbb{N}^*$, a et b sont congrus modulo m, noté $a\equiv b\ [m]$, s’ils ont le même reste dans leur division euclidienne par m.

★ À maîtriser

📌 Pour $a,b\in\mathbb{Z}$ et $m\in\mathbb{N}^*$, $a\equiv b\ [m]$ si et seulement si $m\mid(b-a)$.

Compléments

• On a $10\equiv16\ [3]$ car 10 et 16 ont tous deux le reste 1 dans leur division par 3.

📌 La congruence modulo m est réflexive, symétrique et transitive.

💡 Astuce mémo

Même reste modulo m, ou différence multiple de m

📖 6. Opérations et applications

★ À maîtriser

📌 Si $a\equiv b\ [m]$ et $c\equiv d\ [m]$, alors $a+c\equiv b+d\ [m]$, $a-c\equiv b-d\ [m]$ et $ac\equiv bd\ [m]$.

📌 Si $a\equiv b\ [m]$, alors $a^k\equiv b^k\ [m]$ pour tout $k\in\mathbb{N}$.

• Comme $23\equiv2\ [7]$ et $2^3\equiv1\ [7]$, on obtient $23^{41}\equiv2^{41}\equiv4\ [7]$, donc le reste de la division de $23^{41}$ par 7 est 4.

Compléments

• Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^{2n}-2^n$ est un multiple de 7 car $3^2\equiv2\ [7]$, donc $3^{2n}\equiv2^n\ [7]$.

💡 Astuce mémo

Additionner, soustraire, multiplier, puis élever à une puissance

📖 7. Tableaux de congruences

★ À maîtriser

• Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n^2(n+1)^2\equiv0\ [4]$, donc $n^2(n+1)^2$ est un multiple de 4.

📌 Pour vérifier qu’une expression est toujours multiple de 4, il suffit d’examiner les classes $n\equiv0{,}1{,}2{,}3\ [4]$.

Compléments

• Pour étudier une expression selon les classes de n modulo m, on calcule successivement les facteurs de l’expression dans chaque classe, puis on combine les résultats modulo m.

• Dans une division euclidienne par b, les restes possibles sont $0{,}1{,}2,\ldots,|b|-1$.

💡 Astuce mémo

Classes de n → calcul des facteurs → résultat modulo m

📊 Tableaux de synthèse

Divisibilité et congruence