QCM : Divisibilité et congruences — 17 questions

Question 1

1. Quel ensemble correspond à la définition des entiers naturels ?

\mathbb{N}=\{0,-1,-2,-3,\ldots\}

\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\}

\mathbb{N}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}

Explication

Les entiers naturels comprennent 0 ainsi que les entiers positifs. L’ensemble formé de 1, 2, 3, etc., correspond à une convention parfois utilisée pour les naturels non nuls, et non à la définition donnée ici.

Answer

$$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$$

Question 2

2. Lequel de ces nombres appartient à $\mathbb{Z}$ mais n’appartient pas à $\mathbb{N}$ ?

12

3

0

-4

Explication

Les entiers relatifs contiennent les nombres négatifs, tandis que les entiers naturels sont non négatifs. Les nombres 0, 3 et 12 appartiennent donc aux deux ensembles.

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Answer

Il existe un entier relatif $$k$$ tel que $$b=ka$$.

Answer

Si $$a\ne0$$, alors $$a\mid0$$.

Answer

$$4\mid36$$

Answer

$$a\mid(2b-3c)$$

Answer

On a $$a=bq+r$$ avec $$0\le r<b$$.

Answer

$$23=4\times5+3$$, avec $$0\le3<4$$.

Answer

$$a$$ et $$b$$ ont le même reste dans leurs divisions par $$m$$.

Answer

$$m\mid(b-a)$$

Answer

$$ac\equiv bd\ [m]$$

Answer

$$a^k\equiv b^k\ [m]$$

Answer

L’expression $$n^2(n+1)^2$$ est divisible par $$4$$.

Answer

$$n\equiv0,1,2,3\ [4]$$

Question 3

3. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}

\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}

Explication

Chaque ensemble est inclus dans le suivant selon la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ . Les autres chaînes inversent ou réorganisent des inclusions établies entre ces ensembles.

Question 4

4. Que signifie $a\mid b$ pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ ?

Il existe un entier relatif

k

tel que

a=kb+1

.

Il existe un entier relatif

k

tel que

b=ka

.

Il existe un entier naturel

k

tel que

a=kb

.

Il existe un réel

k

tel que

b=ka

.

Explication

La divisibilité de $b$ par $a$ signifie que $b$ est un multiple entier de $a$ , donc qu’il existe $k\in\mathbb{Z}$ vérifiant $b=ka$ . Un coefficient réel ou une égalité dans l’autre sens ne suffit pas à définir cette relation.

Question 5

5. Laquelle de ces affirmations sur la divisibilité par zéro est correcte ?

La relation

a\mid0

exige que

a=0

.

La relation

a\mid0

n’est valable pour aucun entier.

Pour tout entier

a

, on a

0\mid a

.

Si

a\ne0

, alors

a\mid0

.

Explication

Lorsque $a\ne0$ , on peut écrire $0=0\times a$ avec un quotient entier, donc $a\mid0$ . En revanche, la divisibilité par zéro comme diviseur n’est pas utilisée dans cette règle.

Question 6

6. Si $4\mid12$ et $12\mid36$ , quelle conclusion peut-on tirer ?

36\mid4

4\mid36

12\mid4+36

4+12\mid36

Explication

La divisibilité est transitive : si un entier divise un deuxième et que celui-ci divise un troisième, alors le premier divise le troisième. Les autres relations proposées ne découlent pas de cette propriété.

Question 7

7. Quelle expression est une combinaison linéaire à coefficients entiers de $x$ et $y$ ?

\sqrt{2}x+y

3x-2y

\pi x-3y

\frac{1}{2}x+4y

Explication

Une combinaison linéaire à coefficients entiers utilise des coefficients appartenant à $\mathbb{Z}$ , comme 3 et $-2$ dans $3x-2y$ . Les autres expressions comportent un coefficient non entier.

Question 8

8. Si $a\mid b$ et $a\mid c$ , quelle propriété est nécessairement vraie ?

a\mid(2b-3c)

a\mid(bc)

avec un quotient fixé égal à 1

a\mid(b-c)

lorsque

b

et

c

sont positifs

a\mid(b+c)

seulement lorsque

b=c

Explication

Un diviseur commun de $b$ et $c$ divise toute combinaison $ub+vc$ où $u,v\in\mathbb{Z}$ , donc notamment $2b-3c$ . Les conditions de positivité ou d’égalité ne sont pas nécessaires, et le quotient de la divisibilité n’est pas fixé à 1.

Question 9

9. Dans la division euclidienne de $a$ par $b$ , avec $a,b\in\mathbb{N}$ et $b\ne0$ , quelles conditions caractérisent le quotient $q$ et le reste $r$ ?

On a

a=bq-r

avec

0\le r<b

.

On a

a=bq+r

avec

r\ge b

.

On a

a=bq+r

avec

0\le r<b

.

On a

a=bq+r

avec

0<r\le b

.

Explication

La division euclidienne impose la décomposition $a=bq+r$ ainsi que l’encadrement $0\le r<b$ , ce qui assure l’unicité du couple. La condition $0<r\le b$ autoriserait un reste égal au diviseur et exclurait le reste nul.

Question 10

10. Quelle est la division euclidienne de $23$ par $4$ ?

23=4\times5+3

, avec

0\le3<4

.

23=4\times4+7

, avec

0\le7<4

.

23=4\times5+4

, avec

0\le4<5

.

23=4\times6-1

, avec

0\le1<4

.

Explication

Le quotient est $5$ et le reste est $3$ , puisque $23=4\times5+3$ et que $3$ est compris entre $0$ et $4$ . L’expression contenant un reste égal à $4$ ne respecte pas la contrainte imposée par le diviseur.

Question 11

11. Que signifie la relation $a\equiv b\ [m]$ pour des entiers $a,b$ et un entier naturel non nul $m$ ?

a

et

b

ont le même reste dans leurs divisions par

m

.

La différence entre

a

et

b

est inférieure à

m

.

Les quotients de

a

et

b

par

m

sont nécessairement égaux.

a

et

b

sont exactement le même entier après division par

m

.

Explication

Deux entiers sont congrus modulo $m$ lorsqu’ils possèdent le même reste dans leur division euclidienne par $m$ . Cette relation ne signifie pas que les entiers sont égaux ni que leurs quotients coïncident.

Question 12

12. Laquelle de ces conditions est équivalente à $a\equiv b\ [m]$ ?

m\mid(a+b)

m\mid(b-a)

a\mid(b-m)

b\mid(m-a)

Explication

La congruence modulo $m$ équivaut à la divisibilité de la différence $b-a$ par $m$ . La divisibilité de $a+b$ par $m$ correspond à une condition différente et ne caractérise pas la congruence générale.

Question 13

13. Si $a\equiv b\ [m]$ et $c\equiv d\ [m]$ , quelle relation peut-on déduire concernant leurs produits ?

ac\equiv b-c\ [m]

ac\equiv bd\ [m]

a+c\equiv bd\ [m]

ac\equiv b+d\ [m]

Explication

La multiplication conserve les congruences : deux produits formés à partir de bases respectivement congrues restent congrus modulo $m$ . Les autres propositions mélangent une multiplication avec une addition ou une soustraction qui ne correspondent pas à cette règle.

Question 14

14. Si $a\equiv b\ [m]$ , quelle propriété concernant les puissances est valide pour tout $k\in\mathbb{N}$ ?

k^a\equiv k^b\ [m]

a^k\equiv b^{k+1}\ [m]

a^{k+1}\equiv b^k\ [m]

a^k\equiv b^k\ [m]

Explication

Des bases congrues modulo $m$ restent congrues lorsqu’elles sont élevées à une même puissance, d’où $a^k\equiv b^k\ [m]$ . Cette propriété ne permet pas d’échanger les exposants ni de conclure à la congruence de puissances ayant une base fixe et des exposants différents.

Question 15

15. Quel est le reste de la division de $23^{41}$ par $7$ ?

4

1

2

6

Explication

Comme $23\equiv2\ [7]$ , on a $23^{41}\equiv2^{41}\ [7]$ , et le calcul des puissances modulo $7$ donne $2^{41}\equiv4\ [7]$ . Le reste $1$ correspond notamment à $2^3$ modulo $7$ , mais pas à la puissance demandée.

Question 16

16. Que permet de conclure la congruence $n^2(n+1)^2\equiv0\ [4]$ pour tout entier naturel $n$ ?

L’expression

n^2(n+1)^2

est égale à

0

.

L’expression

n^2(n+1)^2

est divisible par

n+1

.

L’expression

n^2(n+1)^2

est congrue à

4

modulo

n

.

L’expression

n^2(n+1)^2

est divisible par

4

.

Explication

Une congruence nulle modulo $4$ signifie que l’expression est un multiple de $4$ . Elle n’implique pas que sa valeur entière soit égale à zéro, car plusieurs multiples de $4$ sont non nuls.

Question 17

17. Quelles classes de $n$ suffit-il d’examiner pour vérifier qu’une expression est toujours un multiple de $4$ ?

n\equiv0,2\ [4]

n\equiv0,1,2,3,4\ [5]

n\equiv1,2,3,4\ [4]

n\equiv0,1,2,3\ [4]

Explication

Modulo $4$ , tout entier appartient à l’une des quatre classes représentées par $0,1,2$ ou $3$ . Étudier ces quatre cas permet donc de couvrir toutes les valeurs possibles de $n$ modulo $4$ .

QCM : Divisibilité et congruences — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble correspond à la définition des entiers naturels ?

2. Lequel de ces nombres appartient à $\mathbb{Z}$ mais n’appartient pas à $\mathbb{N}$ ?

3. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

4. Que signifie $a\mid b$ pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ ?

5. Laquelle de ces affirmations sur la divisibilité par zéro est correcte ?

6. Si $4\mid12$ et $12\mid36$ , quelle conclusion peut-on tirer ?

7. Quelle expression est une combinaison linéaire à coefficients entiers de $x$ et $y$ ?

8. Si $a\mid b$ et $a\mid c$ , quelle propriété est nécessairement vraie ?

9. Dans la division euclidienne de $a$ par $b$ , avec $a,b\in\mathbb{N}$ et $b\ne0$ , quelles conditions caractérisent le quotient $q$ et le reste $r$ ?

10. Quelle est la division euclidienne de $23$ par $4$ ?

11. Que signifie la relation $a\equiv b\ [m]$ pour des entiers $a,b$ et un entier naturel non nul $m$ ?

12. Laquelle de ces conditions est équivalente à $a\equiv b\ [m]$ ?

13. Si $a\equiv b\ [m]$ et $c\equiv d\ [m]$ , quelle relation peut-on déduire concernant leurs produits ?

14. Si $a\equiv b\ [m]$ , quelle propriété concernant les puissances est valide pour tout $k\in\mathbb{N}$ ?

15. Quel est le reste de la division de $23^{41}$ par $7$ ?

16. Que permet de conclure la congruence $n^2(n+1)^2\equiv0\ [4]$ pour tout entier naturel $n$ ?

17. Quelles classes de $n$ suffit-il d’examiner pour vérifier qu’une expression est toujours un multiple de $4$ ?

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QCM : Divisibilité et congruences — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble correspond à la définition des entiers naturels ?

2. Lequel de ces nombres appartient à Z\mathbb{Z}Z mais n’appartient pas à N\mathbb{N}N ?

3. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

4. Que signifie a∣ba\mid ba∣b pour deux entiers relatifs aaa et bbb ?

5. Laquelle de ces affirmations sur la divisibilité par zéro est correcte ?

6. Si 4∣124\mid124∣12 et 12∣3612\mid3612∣36, quelle conclusion peut-on tirer ?

7. Quelle expression est une combinaison linéaire à coefficients entiers de xxx et yyy ?

8. Si a∣ba\mid ba∣b et a∣ca\mid ca∣c, quelle propriété est nécessairement vraie ?

9. Dans la division euclidienne de aaa par bbb, avec a,b∈Na,b\in\mathbb{N}a,b∈N et b≠0b\ne0b=0, quelles conditions caractérisent le quotient qqq et le reste rrr ?

10. Quelle est la division euclidienne de 232323 par 444 ?

11. Que signifie la relation a≡b [m]a\equiv b\ [m]a≡b [m] pour des entiers a,ba,ba,b et un entier naturel non nul mmm ?

12. Laquelle de ces conditions est équivalente à a≡b [m]a\equiv b\ [m]a≡b [m] ?

13. Si a≡b [m]a\equiv b\ [m]a≡b [m] et c≡d [m]c\equiv d\ [m]c≡d [m], quelle relation peut-on déduire concernant leurs produits ?

14. Si a≡b [m]a\equiv b\ [m]a≡b [m], quelle propriété concernant les puissances est valide pour tout k∈Nk\in\mathbb{N}k∈N ?

15. Quel est le reste de la division de 234123^{41}2341 par 777 ?

16. Que permet de conclure la congruence n2(n+1)2≡0 [4]n^2(n+1)^2\equiv0\ [4]n2(n+1)2≡0 [4] pour tout entier naturel nnn ?

17. Quelles classes de nnn suffit-il d’examiner pour vérifier qu’une expression est toujours un multiple de 444 ?

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2. Lequel de ces nombres appartient à $\mathbb{Z}$ mais n’appartient pas à $\mathbb{N}$ ?

4. Que signifie $a\mid b$ pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ ?

6. Si $4\mid12$ et $12\mid36$ , quelle conclusion peut-on tirer ?

7. Quelle expression est une combinaison linéaire à coefficients entiers de $x$ et $y$ ?

8. Si $a\mid b$ et $a\mid c$ , quelle propriété est nécessairement vraie ?

9. Dans la division euclidienne de $a$ par $b$ , avec $a,b\in\mathbb{N}$ et $b\ne0$ , quelles conditions caractérisent le quotient $q$ et le reste $r$ ?

10. Quelle est la division euclidienne de $23$ par $4$ ?

11. Que signifie la relation $a\equiv b\ [m]$ pour des entiers $a,b$ et un entier naturel non nul $m$ ?

12. Laquelle de ces conditions est équivalente à $a\equiv b\ [m]$ ?

13. Si $a\equiv b\ [m]$ et $c\equiv d\ [m]$ , quelle relation peut-on déduire concernant leurs produits ?

14. Si $a\equiv b\ [m]$ , quelle propriété concernant les puissances est valide pour tout $k\in\mathbb{N}$ ?

15. Quel est le reste de la division de $23^{41}$ par $7$ ?

16. Que permet de conclure la congruence $n^2(n+1)^2\equiv0\ [4]$ pour tout entier naturel $n$ ?

17. Quelles classes de $n$ suffit-il d’examiner pour vérifier qu’une expression est toujours un multiple de $4$ ?