Fiche de révision : Dynamique du point matériel

📋 Plan du Cours

1. Masse et forces
2. Quantité de mouvement
3. Principe fondamental de la dynamique
4. Action réaction et conservation
5. Principe d’inertie
6. Lois fondamentales de Newton
7. Référentiels galiléens
8. Dynamique en référentiel non galiléen
9. Équilibre d’un point matériel
10. Point matériel en rotation uniforme

📖 1. Masse et forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse : Grandeur scalaire positive qui caractérise un point matériel et se note m.

★ À maîtriser

• Dans le Système international, la force s’exprime en newtons, avec $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$.

📌 La force électrique entre deux charges est attractive si elles sont de signes opposés et répulsive si elles sont de même signe.

📐 Formule - La force de Lorentz exercée sur une charge q dans les champs électrique $\vec{E}$ et magnétique $\vec{B}$ est $\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{V}\wedge\vec{B}\right)$.

📐 Formule - La force gravitationnelle entre deux masses ponctuelles $m_1$ et $m_2$ séparées par le vecteur $\vec{r}=\overrightarrow{M_1M_2}$ est $\vec{F}_{1/2}=-K_G\frac{m_1m_2}{r^3}\vec{r}$, où $K_G=6.6726\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$.

📌 Sans glissement entre deux solides, le frottement statique vérifie $|R_T|<k_s|R_N|$, où $k_s$ est le coefficient de frottement statique.

📐 Formule - La poussée d’Archimède exercée sur un solide plongé dans un fluide est $\vec{F}_{ar}=\rho Vg\vec{k}$, où $\rho$ est la masse volumique du fluide, $V$ le volume du solide, $g$ l’accélération de la pesanteur et $\vec{k}$ le vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut.

Compléments

• Dans le domaine des vitesses considéré, la masse est constante et invariante lors d’un changement de référentiel.

📌 La masse dynamique, ou inerte, et la masse gravitationnelle ont des origines différentes, mais sont considérées identiques dans ce cours, leur rapport étant égal à l’unité.

• Les quatre interactions fondamentales, dans l’ordre d’intensité décroissante donné, sont :

  • la force forte
  • la force électromagnétique
  • la force faible
  • la force gravitationnelle

• La force forte assure la cohésion du noyau en agissant entre protons et neutrons.

• La force faible est responsable de la désintégration β et de la transformation d’un proton en neutron ou d’un neutron en proton.

📐 Formule - La force électrique exercée par la particule 1 sur la particule 2 est $\vec{F}_{1/2}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{r}}{r^3}$.

📐 Formule - La permittivité du vide, la perméabilité magnétique du vide et la vitesse de la lumière dans le vide vérifient $\varepsilon_0\mu_0c^2=1$.

📐 Formule - La force magnétique exercée sur une charge q se déplaçant à la vitesse $\vec{V}$ dans un champ magnétique $\vec{B}$ est $\vec{F}=q\vec{V}\wedge\vec{B}$.

• Les forces de contact sont le résultat macroscopique des quatre forces fondamentales.

📖 2. Quantité de mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un point matériel de masse m animé d’une vitesse $\vec{V}$ est le vecteur $\vec{p}=m\vec{V}$.

★ À maîtriser

• La quantité de mouvement dépend du référentiel, car la vitesse dépend du référentiel.

Compléments

• La quantité de mouvement augmente avec la masse et la vitesse et s’exprime dans le Système international en kilogrammes mètres par seconde (kg m s⁻¹).

📖 3. Principe fondamental de la dynamique

★ À maîtriser

📌 Le principe fondamental de la dynamique est valable uniquement dans un référentiel galiléen.

📐 Formule - Sous forme différentielle, le principe fondamental de la dynamique s’écrit $d\vec{p}=\vec{F}_{ext}\,dt$.

📐 Formule - Sous forme dérivée, le principe fondamental de la dynamique s’écrit $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{ext}$.

Compléments

📌 Lorsque plusieurs forces agissent sur un corps, $\vec{F}_{ext}$ dans le principe fondamental de la dynamique correspond à leur résultante.

📖 4. Action réaction et conservation

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement totale : Somme des quantités de mouvement des constituants du système, soit $\vec{p}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$ pour deux points matériels.

★ À maîtriser

📌 Lorsque deux corps interagissent, la force exercée par le premier sur le second et celle exercée par le second sur le premier sont égales et opposées : $\vec{F}_{1/2}+\vec{F}_{2/1}=\vec{0}$.

• Pour deux points matériels sans force extérieure, le principe d’action et de réaction implique que la quantité de mouvement totale reste constante.

Compléments

📌 Pour un système de N corps qui interagissent entre eux, la quantité de mouvement totale reste constante au cours du temps lorsque les forces extérieures sont absentes.

💡 Astuce mémo

Forces internes opposées → quantité de mouvement totale conservée.

📖 5. Principe d’inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel privilégié : Référentiel par rapport auquel tout point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme si sa vitesse initiale est non nulle, ou reste au repos si sa vitesse initiale est nulle.

★ À maîtriser

📌 Selon le principe d’inertie, un corps isolé soumis à aucune force conserve une vitesse constante ou reste au repos selon son état initial.

Compléments

📐 Formule - Pour un corps sans force résultante, l’énoncé présenté du principe d’inertie s’écrit $\vec{F}=\vec{0}\Rightarrow\vec{V}=\mathrm{Cte}$.

• Les référentiels privilégiés dans lesquels les lois de Newton sont valables sont appelés référentiels galiléens.

📖 6. Lois fondamentales de Newton

★ À maîtriser

📐 Formule - La deuxième loi de Newton s’écrit $\vec{F}=m\vec{\gamma}$, où la force totale appliquée au corps est égale au produit de sa masse par son accélération.

📌 La deuxième loi de Newton est valable pour les corps de masse constante ; lorsque la masse varie, comme à des vitesses proches de celle de la lumière, il faut appliquer le PFD.

📐 Formule - La troisième loi de Newton, ou loi de l’action et de la réaction, s’écrit $\vec{F}_{1/2}+\vec{F}_{2/1}=\vec{0}$.

Compléments

• Pour les vitesses faibles considérées dans ce cours, la masse des particules est constante et le PFD et la deuxième loi de Newton se confondent.

• La première loi de Newton se déduit de la deuxième ; elles se distinguent par leur origine historique, la première loi étant attribuée à Galilée et élaborée avant les lois de Newton.

💡 Astuce mémo

La deuxième loi dépend d’une masse constante ; le PFD reste applicable lorsque la masse varie.

📖 7. Référentiels galiléens

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Référentiel non accéléré dans lequel les première et deuxième lois de Newton sont valables.

★ À maîtriser

📌 Les lois de Newton sont valables dans des référentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

📌 Le référentiel géocentrique, centré sur la Terre avec des axes orientés vers des étoiles fixes, convient aux mouvements ou durées à grande échelle, tandis que le référentiel héliocentrique, centré sur le Soleil avec des axes également orientés vers des étoiles fixes, convient aux mouvements à très grande échelle comme celui des planètes.

Compléments

• La Terre tourne sur elle-même avec une vitesse angulaire $7.6 \times 10^{-5} \approx 10^{-4}\,\mathrm{rad.s^{-1}}$ et suit un mouvement orbital elliptique autour du Soleil.

📌 Pour des problèmes locaux et des durées inférieures à une journée, le référentiel du laboratoire peut être considéré comme galiléen en négligeant la rotation terrestre.

📖 8. Dynamique en référentiel non galiléen

🔑 Notions clés & Définitions

• Forces d’inertie : Pseudo-forces ajoutées au PFD dans un référentiel non galiléen pour compenser l’accélération de ce référentiel.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans R₁, le PFD s’écrit $m\vec{\gamma}(M/R_1)=\vec{F}+\vec{f}_{ie}+\vec{f}_{ic}$, avec $\vec{f}_{ie}=-m\vec{\gamma}_e$ et $\vec{f}_{ic}=-m\vec{\gamma}_c$.

Compléments

📐 Formule - La composition des accélérations s’écrit $\vec{\gamma}(M/R)=\vec{\gamma}(M/R_1)+\vec{\gamma}_e+\vec{\gamma}_c$, où R est galiléen et R₁ est en mouvement par rapport à R.

• La force d’inertie d’entraînement vaut $\vec{f}_{ie}=-m\vec{\gamma}_e$, tandis que la force d’inertie de Coriolis vaut $\vec{f}_{ic}=-m\vec{\gamma}_c$.

• Pour un point matériel en rotation uniforme observé dans le référentiel qui lui est lié, sa vitesse relative est nulle et l’accélération de Coriolis est donc nulle.

📐 Formule - Dans l’exemple de rotation uniforme autour de l’axe, l’accélération d’entraînement vaut $\vec{\gamma}_e=-R\dot{\theta}^{2}\vec{e}_{\rho}$ et est centripète.

💡 Astuce mémo

L’accélération du référentiel → ajout des forces d’inertie pour appliquer le PFD dans le référentiel non galiléen.

📖 9. Équilibre d’un point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre d’un point matériel : Point matériel dont les coordonnées ne dépendent pas explicitement du temps dans le référentiel R.

★ À maîtriser

📌 Une condition nécessaire et suffisante de l’équilibre d’un point matériel dans R est que la résultante des forces soit nulle.

Compléments

📌 Dans un référentiel non galiléen, il faut inclure les forces d’inertie pour déterminer la résultante des forces à l’équilibre.

📖 10. Point matériel en rotation uniforme

★ À maîtriser

• Pour le point matériel suspendu par un fil en rotation uniforme, le PFD conduit à la tension $T=\frac{mg}{\cos(\alpha)}$ et à la relation $T=ml\omega^2$.

📐 Formule - La pulsation nécessaire au mouvement vérifie $\omega=\sqrt{\frac{g}{l\cos(\alpha)}}$.

📌 Pour $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, la condition de mouvement est $\omega\geq\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$, où $\omega_0$ est la pulsation propre du système.

Compléments

📐 Formule - Dans le référentiel galiléen, l’accélération du point matériel vaut $\vec{\gamma}(M/R)=-l\omega^2\sin(\alpha)\vec{e}_{\rho}$.

• Pour cet exemple, le PFD appliqué directement dans le référentiel galiléen conduit à la même équation que son application dans le référentiel lié au point matériel avec la force d’inertie d’entraînement.