Fiche de révision : Dynamique du solide

📋 Plan du Cours

1. Lois fondamentales de Newton
2. Phénomènes dynamiques élémentaires
3. Centre d’inertie et barycentre
4. Matrice d’inertie et Huyghens
5. Torseur cinétique
6. Torseur dynamique
7. PFD et résolution
8. Torseur dynamique et PFD
9. Démarche d’application du PFD
10. Stratégies d’isolement et objectifs
11. Théorème de l’énergie cinétique
12. Calcul de l’énergie cinétique
13. Puissances des actions mécaniques
14. Travail et énergie mécanique

📖 1. Lois fondamentales de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel la première loi de Newton est vérifiée.

📝 Points essentiels

📌 Dans un référentiel galiléen, un corps isolé conserve une vitesse constante en direction et en norme, ce qui équivaut à une accélération nulle. — Newton

📐 Formule — Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces extérieures vérifie $\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ et, pour une masse constante, $\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=m\vec{a}.$ — Newton

💡 Astuce mémo

Résultante nulle → accélération nulle ; résultante non nulle → variation du mouvement

📖 2. Phénomènes dynamiques élémentaires

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un corps soumis uniquement à la pesanteur, l’accélération est constante et vérifie $\vec{a}=-g\vec{z}.$

Compléments

📐 Formule — La loi de mouvement d’un corps en chute verticale est $z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+V_0t+z_0.$

• Un solide en rotation peut subir une accélération centripète même lorsque sa vitesse reste constante, ce qui produit un effet couramment appelé effet centrifuge.

💡 Astuce mémo

Vitesse constante ≠ accélération nulle en mouvement circulaire

📖 3. Centre d’inertie et barycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre d’inertie : Point G vérifiant $\int \overrightarrow{GP}\,dm=\vec{0}.$

★ À maîtriser

📌 Pour un solide homogène, le centre d’inertie appartient à tout plan, axe ou centre de symétrie existant.

📐 Formule — Pour un ensemble de solides de masse totale $M=\sum_i m_i$, le centre d’inertie vérifie $M\overrightarrow{OG}=\sum_i m_i\overrightarrow{OG_i}.$

Compléments

• 🔄 La détermination du centre d’inertie suit plusieurs étapes:
  1. Rechercher les symétries de l’ensemble
  2. Décomposer l’ensemble en solides élémentaires
  3. Utiliser les symétries de chaque solide
  4. Appliquer la définition si nécessaire
  5. Utiliser la formule du barycentre

💡 Astuce mémo

Toute la masse du solide concentrée au point G

📖 4. Matrice d’inertie et Huyghens

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice d’inertie : Matrice caractérisant la répartition de la masse d’un solide dans l’espace relativement à un point et à une base.

★ À maîtriser

• La matrice d’inertie est symétrique, ses termes diagonaux sont les moments d’inertie et ses termes extradiagonaux sont les produits d’inertie.

📌 Dans une base principale d’inertie, les produits d’inertie sont nuls et la matrice d’inertie est diagonale.

📐 Formule — Le théorème de Huyghens relie les moments d’inertie par $J_O=J_G+md^2,$ où d est la distance entre les axes parallèles passant par O et G.

Compléments

📐 Formule — Pour un ensemble de solides, les matrices d’inertie s’additionnent selon $[I_{O,(E)}]=\sum_i[I_{O,(S_i)}]$ uniquement si elles sont exprimées au même point et dans la même base.

📌 Un axe de symétrie est un axe principal d’inertie, un plan de symétrie annule les deux produits d’inertie associés à sa normale, et deux plans de symétrie rendent la matrice diagonale.

💡 Astuce mémo

Point G : inertie minimale ; point O : inertie augmentée de m d²

📖 5. Torseur cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur cinétique : Torseur regroupant la résultante cinétique et le moment cinétique des quantités de mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule — La résultante cinétique d’un solide vérifie $\vec{R}_c=m\vec{V}(G/R).$

📐 Formule — Au centre d’inertie, le moment cinétique vérifie $\vec{\sigma}_G=[I_G]\vec{\Omega}.$

Compléments

📌 En translation pure, le moment cinétique au centre d’inertie est nul et le torseur cinétique est un glisseur.

📌 En rotation autour d’un axe fixe passant par le centre d’inertie, la résultante cinétique est nulle et le torseur cinétique est un couple.

💡 Astuce mémo

Translation : moment cinétique nul en G ; rotation : moment lié à l’inertie

📖 6. Torseur dynamique

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur dynamique : Torseur regroupant la résultante dynamique et le moment dynamique des quantités d’accélération.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un solide à masse constante, la résultante dynamique vérifie $\vec{R}_d=m\vec{a}(G/R).$

📌 Au point fixe O ou au centre d’inertie G, le moment dynamique est la dérivée temporelle du moment cinétique selon $\vec{\delta}_O=\frac{d\vec{\sigma}_O}{dt}$ ou $\vec{\delta}_G=\frac{d\vec{\sigma}_G}{dt}.$

📌 En translation pure, le moment dynamique au centre d’inertie est nul, mais il peut être non nul en un autre point.

Compléments

📐 Formule — La résultante dynamique est la dérivée temporelle de la résultante cinétique selon $\vec{R}_d=\frac{d\vec{R}_c}{dt}.$

📐 Formule — Pour une rotation autour d’un axe fixe avec produits d’inertie nuls, le moment dynamique vaut $\vec{\delta}_O=C\ddot{\theta}\vec{z},$ où C est le moment d’inertie autour de l’axe.

💡 Astuce mémo

Accélération du centre G → résultante dynamique m a(G)

📖 7. PFD et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe fondamental de la dynamique : Principe affirmant que le torseur des actions mécaniques extérieures appliquées à un système est égal à son torseur dynamique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de la résultante dynamique s’écrit $\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}\to S}=\vec{R}_d(S/R_g).$

📐 Formule — Le théorème du moment dynamique s’écrit $\sum \vec{M}_{A,\mathrm{ext}\to S}=\vec{\delta}_A(S/R_g).$

• La résolution d’un problème de dynamique commence par l’utilisation du graphe des liaisons afin d’établir le bilan des actions mécaniques, puis par l’isolement du système et l’application de l’équation de résultante ou de moment adaptée à l’objectif.

Compléments

• Un problème spatial fournit six équations scalaires, tandis qu’un problème plan fournit trois équations scalaires.

• Pour le coulisseau d’un axe Y, la projection du théorème de la résultante dynamique sur y donne $F_{\mathrm{moteur}\to1}=M\ddot{y}.$

• Pour l’ensemble pales-rotor d’une éolienne, la projection du théorème du moment dynamique autour de l’axe de rotation donne $C_{\mathrm{vent}\to1}-C_{\mathrm{génératrice}\to1}=J_{Ox}(1)\ddot{\theta}.$

💡 Astuce mémo

Graphe des liaisons → bilan des actions → équations du PFD

📖 8. Torseur dynamique et PFD

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur dynamique : Le torseur dynamique de S par rapport au repère galiléen Rg regroupe la résultante dynamique $\vec{R}_d(S/R_g)$ et le moment dynamique $\vec{\delta}_A(S/R_g)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le principe fondamental de la dynamique s’écrit $\{\mathcal{T}_{ext\to S}\}=\{\mathcal{D}(S/R_g)\}$, soit $\sum \vec{F}_{ext\to S}=\vec{R}_d(S/R_g)$ et $\sum \vec{M}_{A,ext\to S}=\vec{\delta}_A(S/R_g)$.

Compléments

• Dans l’espace, le PFD fournit 6 équations scalaires, tandis que dans un problème plan il fournit 3 équations scalaires.

💡 Astuce mémo

Actions extérieures → torseur dynamique → mouvement

📖 9. Démarche d’application du PFD

★ À maîtriser

• 🔄 L’application du PFD suit les étapes suivantes:
  1. Choisir un repère galiléen
  2. Définir les paramètres cinématiques
  3. Rechercher leurs relations
  4. Choisir une stratégie d’isolement
  5. Établir le bilan des actions mécaniques extérieures
  6. Écrire le PFD
  7. Calculer les grandeurs dynamiques projetées
  8. Vérifier les hypothèses de comportement

• Le graphe d’analyse permet de réaliser le bilan complet des actions mécaniques, d’établir le BAME associé à un isolement et d’élaborer une stratégie de résolution.

Compléments

📐 Formule — Pour un coulisseau de masse M soumis à une force motrice suivant y, le PFD projeté sur y donne $F_{moteur\to1}=M\ddot{y}$.

💡 Astuce mémo

Repère → paramètres → isolement → bilan → équations

📖 10. Stratégies d’isolement et objectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale première du mouvement : Équation différentielle du premier ordre à second membre constant obtenue par intégration d’une équation de mouvement.

★ À maîtriser

📌 Pour une liaison pivot parfaite, l’équation du moment dynamique projetée sur l’axe de rotation permet d’obtenir une équation de mouvement ou un couple moteur, tandis que pour une liaison glissière parfaite, l’équation de la résultante dynamique projetée dans la direction de la liaison permet d’obtenir une équation de mouvement ou un effort moteur.

• Une équation de mouvement est une équation différentielle du second ordre reliant les paramètres cinématiques du système sans faire apparaître de composante inconnue d’action mécanique.

Compléments

📌 Pour déterminer les actions de liaison d’une pale liée par pivot, on isole la pale et on écrit les six équations du PFD, dont cinq permettent de déterminer les inconnues de liaison de la pivot parfaite.

📌 Dans un système à boucle fermée, on coupe virtuellement la liaison possédant le moins d’inconnues statiques afin de ramener le problème à un isolement plus simple.

💡 Astuce mémo

Pivot : moment sur l’axe ; glissière : résultante dans la direction

📖 11. Théorème de l’énergie cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de l’énergie cinétique : Relie les puissances des actions mécaniques à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique dans un repère galiléen.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un solide S, le TEC s’écrit $\sum P_{ext\to S/R_g}=\frac{d}{dt}\left(E_c(S/R_g)\right)$.

📐 Formule — Pour un ensemble de solides E, le TEC s’écrit $\sum P_{ext\to E/R_g}+P_{int}=\frac{d}{dt}\left(E_c(E/R_g)\right)$.

Compléments

• Pour un ensemble de solides, le TEC ne fournit qu’une équation scalaire dépendante des équations des théorèmes généraux et ne constitue pas une équation supplémentaire indépendante.

💡 Astuce mémo

Solide : puissances extérieures ; ensemble : puissances extérieures et inter-efforts

📖 12. Calcul de l’énergie cinétique

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un ensemble E est la somme des énergies cinétiques de ses solides : $E_c(E/R_g)=\sum_i E_c(S_i/R_g)$.

📐 Formule — En translation, l’énergie cinétique d’un solide de masse m est $E_c=\frac{1}{2}m\|\vec{V}_{G/R_g}\|^2$.

📐 Formule — En rotation autour d’un axe fixe Oz, l’énergie cinétique d’un solide est $E_c=\frac{1}{2}J_{Oz}\dot{\theta}^{2}$.

📐 Formule — Pour une transmission de rapport $k=\frac{\omega_2}{\omega_1}$, l’inertie équivalente ramenée à l’arbre moteur vaut $J_{eq}=J_1+k^2J_2$ et l’énergie cinétique vaut $E_c=\frac{1}{2}J_{eq}\omega_1^2$.

Compléments

📐 Formule — En mouvement plan quelconque, l’énergie cinétique d’un solide est $E_c=\frac{1}{2}m\|\vec{V}_{G/R_g}\|^2+\frac{1}{2}J_{Gz}\dot{\theta}^{2}$.

📐 Formule — Pour un système pignon-crémaillère de rayon primitif R, la masse équivalente ramenée à la crémaillère vaut $M_{eq}=M_2+\frac{J_1}{R^2}$.

💡 Astuce mémo

Décomposer → identifier le mouvement → calculer → sommer

📖 13. Puissances des actions mécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance extérieure : Comoment du torseur des actions extérieures et du torseur cinématique exprimés au même point et dans la même base.

★ À maîtriser

📐 Formule — La puissance d’une force $\vec{F}$ appliquée en A est $P=\vec{F}\cdot\vec{V}_{A/R_g}$, tandis que la puissance d’un couple moteur est $P=C_m\omega_m$.

📌 Pour une liaison mécanique parfaite dont le bâti est fixe dans le repère galiléen, la puissance extérieure de liaison est nulle.

📐 Formule — Pour un transmetteur de puissance de rendement $\eta$, la puissance dissipée par les inter-efforts vaut $P_{int}=-(1-\eta)P_{entrée}$, avec $0\leq\eta\leq1$.

Compléments

📌 Dans un contact ponctuel, le roulement sans glissement donne une puissance intérieure nulle, tandis que le glissement donne une puissance dissipée $P_{int}=-fY_{12}V_{I,2/1}$.

💡 Astuce mémo

Liaison parfaite : puissance nulle ; liaison non parfaite : puissance dissipée

📖 14. Travail et énergie mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : Le travail élémentaire d’une force $\vec{F}$ lors d’un déplacement élémentaire $d\vec{l}$ est $\delta W=\vec{F}\cdot d\vec{l}$ et s’exprime en joules.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme variationnelle du TEC s’écrit $\sum W_{A\to B}=\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)$ dans un repère galiléen.

📐 Formule — L’énergie mécanique totale est conservée lorsque les puissances dissipatives sont nulles et que les actions extérieures dérivent d’une énergie potentielle, avec $E_m=E_c+E_p=\mathrm{constante}$.

• 🔄 L’application du TEC suit les étapes suivantes:
  1. Identifier le repère galiléen
  2. Isoler le système
  3. Établir les bilans d’actions extérieures et intérieures
  4. Calculer l’énergie cinétique
  5. Calculer les puissances
  6. Résoudre l’équation

Compléments

📐 Formule — Entre deux positions A et B, le travail d’une force est $W_{A\to B}=\int_A^B\vec{F}\cdot d\vec{l}$ et peut dépendre du parcours suivi.

📐 Formule — L’énergie potentielle de la pesanteur s’écrit $E_{p,pes}=Mgz+\mathrm{constante}$ lorsque z est orienté verticalement vers le haut, et celle d’un ressort s’écrit $E_{p,ressort}=\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$.

💡 Astuce mémo

Travaux non dissipatifs → énergie mécanique conservée

📊 Tableaux de synthèse

Grandeurs cinétiques et dynamiques

Choix de l’équation dynamique