QCM : Dynamique du solide — 43 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans quel type de référentiel un corps isolé conserve-t-il une vitesse constante en direction et en norme ?

Dans un référentiel lié à un corps tournant
Dans un référentiel galiléen
Dans un référentiel accéléré
Dans un référentiel soumis à une force extérieure

Dans un référentiel galiléen

Explication

Un référentiel galiléen vérifie la première loi de Newton : un corps isolé y possède une accélération nulle et conserve une vitesse constante. Un référentiel accéléré ou tournant peut donner une description différente du mouvement observé.

2. Quelle propriété définit un référentiel galiléen ?

La première loi de Newton y est vérifiée
Tous les corps y restent immobiles
La vitesse de tout corps y demeure constante
La résultante des forces y est toujours nulle

La première loi de Newton y est vérifiée

Explication

Un référentiel galiléen est défini par la validité de la première loi de Newton. La résultante des forces dépend de la situation étudiée, et un corps peut être accéléré ou se déplacer dans ce référentiel.

3. Pour un système de masse variable, quelle relation exprime correctement la deuxième loi de Newton dans un référentiel galiléen ?

∑F⃗ext=dp⃗dt\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec{p}}{dt}
∑F⃗ext=ma⃗\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=m\vec{a}
∑F⃗ext=p⃗ a⃗\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=\vec{p}\,\vec{a}
∑F⃗ext=p⃗m\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=\frac{\vec{p}}{m}

$$\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$

Explication

La forme générale de la loi relie la résultante des forces à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement. L’écriture ∑F⃗=ma⃗\sum \vec{F}=m\vec{a} nécessite que la masse soit constante.

4. Quel est le mouvement d’un corps soumis uniquement à la pesanteur, en négligeant les autres forces ?

Un mouvement sans accélération vérifiant v⃗=0⃗\vec{v}=\vec{0}
Un mouvement à vitesse constante vérifiant a⃗=0⃗\vec{a}=\vec{0}
Un mouvement à accélération constante vérifiant a⃗=−gz⃗\vec{a}=-g\vec{z}
Un mouvement à accélération variable vérifiant a⃗=gz⃗\vec{a}=g\vec{z}

Un mouvement à accélération constante vérifiant $$\vec{a}=-g\vec{z}$$

Explication

Sous l’action seule de la pesanteur, l’accélération est constante et dirigée vers le bas, ce qui s’écrit a⃗=−gz⃗\vec{a}=-g\vec{z} avec l’orientation indiquée. Une vitesse peut varier au cours de la chute, même si l’accélération reste constante.

5. Quelle expression décrit la coordonnée verticale d’un corps en chute verticale avec une vitesse initiale V0V_0 et une position initiale z0z_0 ?

z(t)=−gt+V0+z0z(t)=-gt+V_0+z_0
z(t)=12gt2+V0t−z0z(t)=\frac{1}{2}gt^2+V_0t-z_0
z(t)=V0t+z0z(t)=V_0t+z_0
z(t)=−12gt2+V0t+z0z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+V_0t+z_0

$$z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+V_0t+z_0$$

Explication

L’intégration de l’accélération constante due à la pesanteur donne une loi quadratique en temps : le terme −12gt2-\frac{1}{2}gt^2 s’ajoute aux contributions initiales. Une loi linéaire correspondrait à un mouvement uniforme sans accélération.

6. Quelle condition mathématique caractérise le centre d’inertie d’un solide ?

∫PG→ dm=p⃗\int \overrightarrow{PG}\,dm=\vec{p}
∫GP→ dm=ma⃗\int \overrightarrow{GP}\,dm=m\vec{a}
∫GP→ dm=g⃗\int \overrightarrow{GP}\,dm=\vec{g}
∫GP→ dm=0⃗\int \overrightarrow{GP}\,dm=\vec{0}

$$\int \overrightarrow{GP}\,dm=\vec{0}$$

Explication

Le centre d’inertie est le point pour lequel la somme continue des vecteurs de position pondérés par les masses élémentaires est nulle. Cette définition ne repose pas directement sur l’accélération ni sur le champ de pesanteur.

7. Où se situe le centre d’inertie d’un solide homogène possédant un plan de symétrie ?

Au point où s’applique nécessairement la pesanteur
Dans ce plan de symétrie
Sur une droite perpendiculaire à ce plan
À l’extérieur du solide, du côté le plus massif

Dans ce plan de symétrie

Explication

Pour un solide homogène, le centre d’inertie appartient à tout plan de symétrie, car les contributions symétriques se compensent. Le centre de gravité ne fournit cette conclusion que dans le cadre approprié d’un champ de pesanteur constant.

8. Deux solides de masses m1m_1 et m2m_2 ont pour centres d’inertie G1G_1 et G2G_2. Quelle relation donne le centre d’inertie GG de l’ensemble, de masse totale MM ?

MOG→=OG1→+OG2→M\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OG_1}+\overrightarrow{OG_2}
MOG→=m1OG1→+m2OG2→M\overrightarrow{OG}=m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}
MOG→=m1OG2→+m2OG1→M\overrightarrow{OG}=m_1\overrightarrow{OG_2}+m_2\overrightarrow{OG_1}
OG→=m1OG1→+m2OG2→\overrightarrow{OG}=m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}

$$M\overrightarrow{OG}=m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}$$

Explication

La relation du barycentre pondère chaque position par la masse correspondante et utilise la masse totale M=m1+m2M=m_1+m_2. Intervertir les masses ou omettre la pondération ne représente pas correctement l’influence de chaque solide.

9. Que caractérise la matrice d’inertie d’un solide ?

La vitesse de translation de son centre d’inertie dans une base donnée
La valeur de sa masse indépendamment du point et de la base choisis
La répartition de ses accélérations autour d’un axe de référence
La répartition de sa masse dans l’espace relativement à un point et à une base

La répartition de sa masse dans l’espace relativement à un point et à une base

Explication

La matrice d’inertie décrit comment la masse est répartie dans l’espace par rapport à un point et à une base d’expression. La masse, contrairement à cette matrice, est une grandeur intrinsèque qui ne dépend pas de ces choix.

10. Dans une matrice d’inertie, comment distingue-t-on les moments des produits d’inertie ?

Les moments sont extradiagonaux et les produits d’inertie sont diagonaux
Les moments sont associés aux axes normaux et les produits aux axes parallèles
Les moments figurent dans la partie antisymétrique et les produits sur la diagonale
Les moments sont diagonaux et les produits d’inertie sont extradiagonaux

Les moments sont diagonaux et les produits d’inertie sont extradiagonaux

Explication

Les termes diagonaux représentent les moments d’inertie, tandis que les termes extradiagonaux représentent les produits d’inertie. La matrice est en outre symétrique, ce qui relie les termes extradiagonaux deux à deux.

11. Quelle propriété possède la matrice d’inertie lorsqu’elle est exprimée dans une base principale d’inertie ?

Elle conserve des produits d’inertie non nuls, car les axes sont quelconques
Elle devient scalaire, car les trois moments d’inertie prennent la même valeur
Elle devient diagonale, car les produits d’inertie sont nuls
Elle devient antisymétrique, car les moments d’inertie s’annulent

Elle devient diagonale, car les produits d’inertie sont nuls

Explication

Dans une base principale, les produits d’inertie sont nuls, ce qui rend la matrice diagonale. Les moments d’inertie ne s’annulent pas et ne sont pas nécessairement égaux.

12. Deux axes parallèles passent respectivement par O et G, et leur distance vaut d. Quelle relation exprime le théorème de Huyghens pour le moment d’inertie ?

JO=mJG+d2J_O=mJ_G+d^2
JO=JG−md2J_O=J_G-md^2
JO=JG+d2mJ_O=J_G+\frac{d^2}{m}
JO=JG+md2J_O=J_G+md^2

$$J_O=J_G+md^2$$

Explication

Le théorème de Huyghens ajoute au moment autour de l’axe passant par G le terme de translation md2md^2. La relation utilise donc la masse du solide et le carré de la distance entre les axes parallèles.

13. Que regroupe le torseur cinétique d’un solide ?

La masse totale et le centre d’inertie du solide
La vitesse angulaire et l’accélération angulaire autour d’un axe
La résultante dynamique et le moment dynamique des quantités d’accélération
La résultante cinétique et le moment cinétique des quantités de mouvement

La résultante cinétique et le moment cinétique des quantités de mouvement

Explication

Le torseur cinétique associe la résultante cinétique au moment cinétique des quantités de mouvement. Les grandeurs dynamiques, elles, concernent les quantités d’accélération et appartiennent au torseur dynamique.

14. Un solide de masse m possède une vitesse V⃗(G/R)\vec{V}(G/R) de son centre d’inertie. Quelle est sa résultante cinétique ?

R⃗c=mV⃗(G/R)\vec{R}_c=m\vec{V}(G/R)
R⃗c=ma⃗(G/R)\vec{R}_c=m\vec{a}(G/R)
R⃗c=1mV⃗(G/R)\vec{R}_c=\frac{1}{m}\vec{V}(G/R)
R⃗c=[IG]Ω⃗\vec{R}_c=[I_G]\vec{\Omega}

$$\vec{R}_c=m\vec{V}(G/R)$$

Explication

La résultante cinétique est le produit de la masse par la vitesse du centre d’inertie, soit R⃗c=mV⃗(G/R)\vec{R}_c=m\vec{V}(G/R). L’expression avec l’accélération correspond à la résultante dynamique.

15. Comment calcule-t-on le moment cinétique au centre d’inertie G ?

σ⃗G=mV⃗(G/R)\vec{\sigma}_G=m\vec{V}(G/R)
σ⃗G=[IG]Ω⃗\vec{\sigma}_G=[I_G]\vec{\Omega}
σ⃗G=ma⃗(G/R)\vec{\sigma}_G=m\vec{a}(G/R)
σ⃗G=[IG]a⃗(G/R)\vec{\sigma}_G=[I_G]\vec{a}(G/R)

$$\vec{\sigma}_G=[I_G]\vec{\Omega}$$

Explication

Au centre d’inertie, le moment cinétique est obtenu en appliquant la matrice d’inertie à la vitesse angulaire. La vitesse ou l’accélération du centre d’inertie décrivent des effets de translation et ne donnent pas cette relation.

16. Que regroupe le torseur dynamique d’un solide ?

La résultante dynamique et le moment dynamique des quantités d’accélération
La résultante cinétique et le moment cinétique des quantités de mouvement
La matrice d’inertie et la vitesse angulaire du solide
La masse du solide et la vitesse de son centre d’inertie

La résultante dynamique et le moment dynamique des quantités d’accélération

Explication

Le torseur dynamique rassemble les grandeurs associées aux quantités d’accélération : la résultante dynamique et le moment dynamique. Les quantités de mouvement sont, elles, regroupées dans le torseur cinétique.

17. Pour un solide de masse constante, quelle expression donne la résultante dynamique à partir de l’accélération de son centre d’inertie ?

R⃗d=1ma⃗(G/R)\vec{R}_d=\frac{1}{m}\vec{a}(G/R)
R⃗d=mV⃗(G/R)\vec{R}_d=m\vec{V}(G/R)
R⃗d=[IG]Ω⃗\vec{R}_d=[I_G]\vec{\Omega}
R⃗d=ma⃗(G/R)\vec{R}_d=m\vec{a}(G/R)

$$\vec{R}_d=m\vec{a}(G/R)$$

Explication

Pour une masse constante, la résultante dynamique est la masse multipliée par l’accélération du centre d’inertie. La vitesse du centre intervient dans la résultante cinétique, et non dans la résultante dynamique.

18. En translation pure, quelle affirmation concerne le moment dynamique au centre d’inertie ?

Il est nul au centre d’inertie, mais peut être non nul en un autre point
Il reste identique en tout point, quelle que soit la translation
Il est égal à la résultante dynamique au centre d’inertie
Il est non nul au centre d’inertie et nul en tout autre point

Il est nul au centre d’inertie, mais peut être non nul en un autre point

Explication

En translation pure, le moment dynamique au centre d’inertie est nul, tandis que son transport vers un autre point peut produire une valeur non nulle. Cette propriété distingue le point G des autres points du solide.

19. Que relie le principe fondamental de la dynamique pour un système donné ?

Le torseur des actions mécaniques extérieures et le torseur dynamique
Le torseur cinématique du système et le torseur des liaisons
La résultante des forces extérieures et la position du centre d’inertie
Le moment des forces intérieures et la vitesse angulaire du système

Le torseur des actions mécaniques extérieures et le torseur dynamique

Explication

Le PFD établit l’égalité entre le torseur des actions mécaniques extérieures et le torseur dynamique du système. Il ne se réduit donc pas à une simple équation portant sur la résultante des forces.

20. Quelle équation exprime le théorème de la résultante dynamique appliqué à un système S ?

∑F⃗ext→S=δ⃗A(S/Rg)\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}\to S}=\vec{\delta}_A(S/R_g)
∑M⃗A,ext→S=R⃗d(S/Rg)\sum \vec{M}_{A,\mathrm{ext}\to S}=\vec{R}_d(S/R_g)
∑M⃗A,ext→S=δ⃗A(S/Rg)\sum \vec{M}_{A,\mathrm{ext}\to S}=\vec{\delta}_A(S/R_g)
∑F⃗ext→S=R⃗d(S/Rg)\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}\to S}=\vec{R}_d(S/R_g)

$$\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}\to S}=\vec{R}_d(S/R_g)$$

Explication

Le théorème de la résultante dynamique associe la somme des forces extérieures à la résultante dynamique. Les moments des forces sont, eux, reliés au moment dynamique.

21. Quelle relation traduit le théorème du moment dynamique au point A ?

∑F⃗ext→S=δ⃗A(S/Rg)\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}\to S}=\vec{\delta}_A(S/R_g)
∑F⃗ext→S=R⃗d(S/Rg)\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}\to S}=\vec{R}_d(S/R_g)
∑M⃗A,ext→S=R⃗d(S/Rg)\sum \vec{M}_{A,\mathrm{ext}\to S}=\vec{R}_d(S/R_g)
∑M⃗A,ext→S=δ⃗A(S/Rg)\sum \vec{M}_{A,\mathrm{ext}\to S}=\vec{\delta}_A(S/R_g)

$$\sum \vec{M}_{A,\mathrm{ext}\to S}=\vec{\delta}_A(S/R_g)$$

Explication

Le théorème du moment dynamique relie la somme des moments des actions extérieures au moment dynamique au point A. La résultante dynamique intervient dans l’équation portant sur la somme des forces.

22. Quelle démarche constitue le début approprié de la résolution d’un problème de dynamique ?

Utiliser le graphe des liaisons, dresser le bilan des actions, puis isoler le système
Isoler directement le système, puis construire le graphe des liaisons après le calcul
Calculer les moments dynamiques, puis rechercher les actions extérieures sur le système
Écrire les six équations scalaires, puis choisir l’équation adaptée à l’objectif

Utiliser le graphe des liaisons, dresser le bilan des actions, puis isoler le système

Explication

La résolution commence par l’exploitation du graphe des liaisons pour établir le bilan des actions mécaniques, avant l’isolement et l’application de l’équation adaptée. Les calculs dynamiques interviennent après cette identification des actions.

23. Que regroupe le torseur dynamique d’un système S par rapport à un repère galiléen ?

Les vitesses des points du système et les rotations des solides
Les moments des actions extérieures et les paramètres géométriques
La résultante des forces extérieures et les réactions de liaison
La résultante dynamique et le moment dynamique au point A

La résultante dynamique et le moment dynamique au point A

Explication

Le torseur dynamique regroupe la résultante dynamique et le moment dynamique du système par rapport au repère galiléen. Le torseur des actions mécaniques décrit, quant à lui, les actions appliquées au système.

24. Quelle écriture exprime correctement le principe fondamental de la dynamique sous forme de torseurs et de composantes ?

{D(S/Rg)}={Cext→S}\{\mathcal{D}(S/R_g)\}=\{\mathcal{C}_{ext\to S}\}, avec égalité des positions et des efforts
{Tint→S}={D(S/Rg)}\{\mathcal{T}_{int\to S}\}=\{\mathcal{D}(S/R_g)\}, avec égalité des actions intérieures et dynamiques
{Text→S}={C(S/Rg)}\{\mathcal{T}_{ext\to S}\}=\{\mathcal{C}(S/R_g)\}, avec égalité des vitesses et des rotations
{Text→S}={D(S/Rg)}\{\mathcal{T}_{ext\to S}\}=\{\mathcal{D}(S/R_g)\}, avec égalité des forces et des moments associés

$$\{\mathcal{T}_{ext\to S}\}=\{\mathcal{D}(S/R_g)\}$$, avec égalité des forces et des moments associés

Explication

Le PFD égalise le torseur des actions extérieures et le torseur dynamique, ce qui donne à la fois l’équation de résultante et celle du moment dynamique. Il s’agit d’une relation dynamique, et non d’une simple condition d’équilibre.

25. Dans quelle séquence générale les principales étapes d’application du PFD doivent-elles être réalisées ?

Choisir l’isolement, écrire le PFD, définir le repère, puis établir le bilan des actions extérieures
Calculer les grandeurs dynamiques, vérifier les hypothèses, isoler, puis rechercher les relations cinématiques
Établir le bilan, choisir un repère galiléen, écrire le PFD, puis définir les paramètres cinématiques
Choisir un repère galiléen, définir la cinématique, isoler, établir le bilan, écrire le PFD et vérifier

Choisir un repère galiléen, définir la cinématique, isoler, établir le bilan, écrire le PFD et vérifier

Explication

La démarche commence par le choix du repère galiléen et la définition des paramètres cinématiques, puis se poursuit par l’isolement, le bilan des actions, le PFD, les projections dynamiques et la vérification. Le calcul dynamique ne précède donc pas l’établissement du bilan des actions.

26. Quel rôle joue le graphe d’analyse dans l’application du PFD ?

Il remplace le choix du repère galiléen et détermine les paramètres cinématiques
Il transforme les équations de moment en équations de résultante sans identifier les actions
Il permet de dresser le bilan complet des actions et de préparer la stratégie de résolution
Il fournit directement les accélérations du système sans définir d’isolement

Il permet de dresser le bilan complet des actions et de préparer la stratégie de résolution

Explication

Le graphe d’analyse sert à réaliser le bilan complet des actions mécaniques, à construire le BAME associé à un isolement et à préparer la stratégie de résolution. Il organise l’analyse, mais ne calcule pas directement les accélérations.

27. Quelle projection du principe fondamental de la dynamique convient à une liaison pivot parfaite pour déterminer une équation de mouvement ou un couple moteur ?

La projection de la résultante dynamique dans la direction de la liaison
La projection du moment dynamique dans la direction de la translation
La projection de la résultante dynamique sur un axe perpendiculaire
La projection du moment dynamique sur l’axe de rotation

La projection du moment dynamique sur l’axe de rotation

Explication

Pour une liaison pivot parfaite, la projection du moment dynamique sur l’axe de rotation permet d’obtenir une équation de mouvement ou un couple moteur. La projection de la résultante dans la direction de la liaison correspond au traitement d’une liaison glissière parfaite.

28. Quelle caractéristique définit une équation de mouvement en mécanique ?

Une équation vectorielle exprimant les six composantes du principe dynamique
Une équation différentielle du premier ordre contenant les inconnues de liaison
Une équation algébrique reliant les seules actions mécaniques extérieures
Une équation différentielle du second ordre sans composante inconnue d’action mécanique

Une équation différentielle du second ordre sans composante inconnue d’action mécanique

Explication

Une équation de mouvement est une équation différentielle du second ordre reliant les paramètres cinématiques sans faire intervenir de composante inconnue d’action mécanique. Une équation générale d’isolement conserve au contraire des inconnues de liaison.

29. Que relie le théorème de l’énergie cinétique dans un repère galiléen ?

Les paramètres géométriques du système et la variation de sa quantité de mouvement
Les forces de liaison et la dérivée temporelle de chaque coordonnée généralisée
Les torseurs d’actions mécaniques et les six composantes de l’accélération
Les puissances des actions mécaniques et la dérivée temporelle de l’énergie cinétique

Les puissances des actions mécaniques et la dérivée temporelle de l’énergie cinétique

Explication

Le théorème de l’énergie cinétique relie les puissances des actions mécaniques à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique. Il fournit une relation scalaire, tandis que le principe fondamental de la dynamique peut fournir plusieurs équations scalaires.

30. Pour un solide isolé S dans un repère galiléen, quelle relation exprime le théorème de l’énergie cinétique ?

∑Pext→S/Rg=ddt(Ep(S/Rg))\sum P_{ext\to S/R_g}=\frac{d}{dt}\left(E_p(S/R_g)\right)
∑Pext→S/Rg+Pint=ddt(Ec(S/Rg))\sum P_{ext\to S/R_g}+P_{int}=\frac{d}{dt}\left(E_c(S/R_g)\right)
∑Pext→S/Rg=ddt(Ec(S/Rg))\sum P_{ext\to S/R_g}=\frac{d}{dt}\left(E_c(S/R_g)\right)
∑Pint→S/Rg=ddt(Ec(S/Rg))\sum P_{int\to S/R_g}=\frac{d}{dt}\left(E_c(S/R_g)\right)

$$\sum P_{ext\to S/R_g}=\frac{d}{dt}\left(E_c(S/R_g)\right)$$

Explication

Pour un solide isolé, le théorème relie la somme des puissances extérieures à la dérivée de son énergie cinétique. Le terme de puissance intérieure apparaît dans l’écriture pour un ensemble de solides, pas dans celle d’un solide isolé.

31. Quelle relation exprime le théorème de l’énergie cinétique pour un ensemble de solides E ?

∑Pext→E/Rg+Pint=ddt(Ec(E/Rg))\sum P_{ext\to E/R_g}+P_{int}=\frac{d}{dt}\left(E_c(E/R_g)\right)
∑Pext→E/Rg=ddt(Ec(E/Rg))\sum P_{ext\to E/R_g}=\frac{d}{dt}\left(E_c(E/R_g)\right)
∑Pint→E/Rg=ddt(Ep(E/Rg))\sum P_{int\to E/R_g}=\frac{d}{dt}\left(E_p(E/R_g)\right)
∑Pext→E/Rg−Pint=ddt(Ec(E/Rg))\sum P_{ext\to E/R_g}-P_{int}=\frac{d}{dt}\left(E_c(E/R_g)\right)

$$\sum P_{ext\to E/R_g}+P_{int}=\frac{d}{dt}\left(E_c(E/R_g)\right)$$

Explication

Pour un ensemble de solides, le TEC inclut la puissance des actions intérieures en plus des puissances extérieures. Retirer ce terme revient à utiliser une écriture incomplète pour un ensemble de solides.

32. Comment calcule-t-on l’énergie cinétique totale d’un ensemble de solides ?

En soustrayant l’énergie des solides mobiles de celle des solides fixes
En multipliant l’énergie du solide principal par le nombre de pièces
En additionnant les puissances intérieures entre ses différents solides
En additionnant les énergies cinétiques de chacun de ses solides

En additionnant les énergies cinétiques de chacun de ses solides

Explication

L’énergie cinétique d’un ensemble est la somme des énergies cinétiques de ses solides. La puissance intérieure intervient dans le TEC de l’ensemble, mais elle ne constitue pas une contribution à additionner pour définir son énergie cinétique.

33. Un solide de masse mm effectue une translation dont le centre d’inertie a une vitesse de norme vv. Quelle est son énergie cinétique ?

Ec=mv2E_c=mv^2
Ec=12mθ˙2E_c=\frac{1}{2}m\dot{\theta}^{2}
Ec=12JOzv2E_c=\frac{1}{2}J_{Oz}v^2
Ec=12mv2E_c=\frac{1}{2}mv^2

$$E_c=\frac{1}{2}mv^2$$

Explication

En translation, l’énergie cinétique dépend de la masse et de la vitesse du centre d’inertie selon Ec=12mv2E_c=\frac{1}{2}mv^2. Le moment d’inertie et la vitesse angulaire interviennent dans l’expression d’un mouvement de rotation.

34. Un solide tourne autour d’un axe fixe OzOz avec une vitesse angulaire θ˙\dot{\theta} et un moment d’inertie JOzJ_{Oz}. Quelle expression donne son énergie cinétique ?

Ec=12JOzθ˙2E_c=\frac{1}{2}J_{Oz}\dot{\theta}^{2}
Ec=JOzθ˙E_c=J_{Oz}\dot{\theta}
Ec=12m∥V⃗G/Rg∥2E_c=\frac{1}{2}m\|\vec{V}_{G/R_g}\|^2
Ec=12JGz∥V⃗G/Rg∥2E_c=\frac{1}{2}J_{Gz}\|\vec{V}_{G/R_g}\|^2

$$E_c=\frac{1}{2}J_{Oz}\dot{\theta}^{2}$$

Explication

Pour une rotation autour d’un axe fixe, l’énergie cinétique est déterminée par le moment d’inertie autour de cet axe et le carré de la vitesse angulaire. L’expression fondée sur la vitesse du centre d’inertie correspond à une translation.

35. Une transmission vérifie k=ω2ω1k=\frac{\omega_2}{\omega_1} et comporte les inerties J1J_1 et J2J_2. Quelle expression de l’inertie équivalente ramenée à l’arbre moteur est correcte ?

Jeq=J1+k2J2J_{eq}=J_1+k^2J_2
Jeq=J1+J2k2J_{eq}=J_1+\frac{J_2}{k^2}
Jeq=k2J1+J2J_{eq}=k^2J_1+J_2
Jeq=kJ1+J2J_{eq}=kJ_1+J_2

$$J_{eq}=J_1+k^2J_2$$

Explication

L’inertie équivalente ramenée à l’arbre moteur vaut Jeq=J1+k2J2J_{eq}=J_1+k^2J_2, ce qui conduit à Ec=12Jeqω12E_c=\frac{1}{2}J_{eq}\omega_1^2. Le rapport au carré multiplie l’inertie située sur l’arbre 2 lorsqu’elle est ramenée à l’arbre 1.

36. Comment s’exprime la puissance des actions mécaniques extérieures en mécanique du solide ?

Par le comoment des torseurs des actions extérieures et cinématique au même point et dans la même base
Par le produit scalaire entre la résultante des forces et le déplacement instantané du solide
Par la norme du torseur des actions extérieures calculée dans une base quelconque
Par le moment résultant des actions extérieures rapporté à un point fixe du bâti

Par le comoment des torseurs des actions extérieures et cinématique au même point et dans la même base

Explication

La puissance extérieure est le comoment du torseur des actions extérieures et du torseur cinématique, exprimés au même point et dans la même base. Elle dépend donc des actions mécaniques et du mouvement, et ne se réduit pas à une force considérée isolément.

37. Une force F⃗\vec{F} est appliquée au point A, animé d’une vitesse V⃗A/Rg\vec{V}_{A/R_g}. Quelle expression donne la puissance de cette force ?

P=F⃗⋅A⃗A/RgP=\vec{F}\cdot\vec{A}_{A/R_g}
P=F⃗V⃗A/RgP=\frac{\vec{F}}{\vec{V}_{A/R_g}}
P=F⃗×V⃗A/RgP=\vec{F}\times\vec{V}_{A/R_g}
P=F⃗⋅V⃗A/RgP=\vec{F}\cdot\vec{V}_{A/R_g}

$$P=\vec{F}\cdot\vec{V}_{A/R_g}$$

Explication

La puissance d’une force appliquée en A est le produit scalaire de cette force par la vitesse du point A dans le repère galiléen. L’accélération, la division vectorielle et le produit vectoriel ne définissent pas cette puissance.

38. Dans quelle situation la puissance extérieure d’une liaison mécanique parfaite est-elle nulle ?

Lorsque le bâti de la liaison est fixe dans le repère galiléen
Lorsque le solide lié possède une vitesse constante dans le repère galiléen
Lorsque le contact entre les solides comporte un glissement relatif
Lorsque la liaison transmet un couple moteur de valeur constante

Lorsque le bâti de la liaison est fixe dans le repère galiléen

Explication

Pour une liaison parfaite dont le bâti est fixe dans un repère galiléen, la puissance extérieure de liaison est nulle. Une vitesse constante, un couple moteur ou un glissement ne suffisent pas à établir cette propriété.

39. Un transmetteur absorbe une puissance d’entrée Pentreˊe=1000 WP_{entrée}=1000\ \mathrm{W} avec un rendement η=0,8\eta=0{,}8. Quelle est sa puissance dissipée par les inter-efforts ?

Pint=200 WP_{int}=200\ \mathrm{W}
Pint=800 WP_{int}=800\ \mathrm{W}
Pint=−800 WP_{int}=-800\ \mathrm{W}
Pint=−200 WP_{int}=-200\ \mathrm{W}

$$P_{int}=-200\ \mathrm{W}$$

Explication

La relation Pint=−(1−η)PentreˊeP_{int}=-(1-\eta)P_{entrée} donne Pint=−(1−0,8)×1000=−200 WP_{int}=-(1-0{,}8)\times1000=-200\ \mathrm{W}. Le signe négatif traduit une dissipation, tandis que le rendement reste compris entre 00 et 11.

40. Comment définit-on le travail élémentaire d’une force F⃗\vec{F} lors d’un déplacement élémentaire dl⃗d\vec{l} ?

δW=F⃗⋅dl⃗\delta W=\vec{F}\cdot d\vec{l}, exprimé en joules
δW=F⃗⋅dv⃗\delta W=\vec{F}\cdot d\vec{v}, exprimé en watts
δW=F⃗×dl⃗\delta W=\vec{F}\times d\vec{l}, exprimé en newtons
δW=F⃗dt⋅dl⃗\delta W=\frac{\vec{F}}{dt}\cdot d\vec{l}, exprimé en pascals

$$\delta W=\vec{F}\cdot d\vec{l}$$, exprimé en joules

Explication

Le travail élémentaire est le produit scalaire de la force par le déplacement élémentaire et son unité est le joule. La puissance correspond au travail par unité de temps, ce qui explique pourquoi elle ne s’exprime pas en joules.

41. Dans un repère galiléen, quelle relation exprime la forme variationnelle du théorème de l’énergie cinétique entre A et B ?

∑WA→B=Ec(A)−Ec(B)\sum W_{A\to B}=E_c(A)-E_c(B)
∑WA→B=ΔEp=Ep(B)−Ep(A)\sum W_{A\to B}=\Delta E_p=E_p(B)-E_p(A)
∑WA→B=ΔEc=Ec(B)−Ec(A)\sum W_{A\to B}=\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)
∑P=ΔEc=Ec(B)+Ec(A)\sum P=\Delta E_c=E_c(B)+E_c(A)

$$\sum W_{A\to B}=\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)$$

Explication

La somme des travaux des actions entre A et B est égale à la variation de l’énergie cinétique, calculée comme l’énergie finale moins l’énergie initiale. L’énergie potentielle et la puissance ne remplacent pas cette variation dans le TEC.

42. Dans quelle condition l’énergie mécanique totale d’un système est-elle conservée ?

Lorsque le système possède une énergie potentielle non constante et un mouvement accéléré
Lorsque les puissances dissipatives sont nulles et que les actions extérieures dérivent d’une énergie potentielle
Lorsque les forces extérieures sont nulles et que toutes les vitesses du système restent constantes
Lorsque les actions intérieures sont dissipatives et que l’énergie cinétique reste positive

Lorsque les puissances dissipatives sont nulles et que les actions extérieures dérivent d’une énergie potentielle

Explication

L’énergie mécanique Em=Ec+EpE_m=E_c+E_p reste constante si les puissances dissipatives sont nulles et si les actions extérieures sont conservatives, c’est-à-dire dérivent d’une énergie potentielle. L’absence de force extérieure ou la constance des vitesses n’est pas la condition générale de conservation.

43. Lors de l’application du théorème de l’énergie cinétique à un système à un degré de liberté, quelle démarche est appropriée ?

Calculer les puissances de chaque liaison, retenir la plus grande, puis intégrer directement la position du système
Choisir un repère quelconque, isoler le bâti, calculer les accélérations, puis négliger les actions intérieures
Déterminer d’abord les déplacements, imposer la conservation de l’énergie mécanique, puis supprimer les actions dissipatives
Identifier le repère galiléen, isoler le système sauf le bâti, dresser les bilans, calculer les énergies et puissances, puis résoudre

Identifier le repère galiléen, isoler le système sauf le bâti, dresser les bilans, calculer les énergies et puissances, puis résoudre

Explication

La démarche consiste à identifier le repère galiléen, isoler le système sauf le bâti, établir les bilans d’actions, calculer l’énergie cinétique et les puissances, puis résoudre l’équation obtenue. Imposer d’emblée la conservation de l’énergie mécanique peut être incorrect si des actions dissipatives sont présentes.

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Que conserve un corps isolé dans un référentiel galiléen ?

Une vitesse constante en direction et en norme.

Quelle accélération a un corps isolé dans un référentiel galiléen ?

Son accélération est nulle.

Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ?

Un référentiel où la première loi de Newton est vérifiée.

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