Fiche de révision : Écritures littérales et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les fractions
2. Égalité de deux quotients
3. Puissances et écriture scientifique
4. Suppression des parenthèses
5. Distributivité et réduction
6. Résolution de quotients et calculs

📖 1. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur non nul, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs : $\frac{a}{k}+\frac{b}{k}=\frac{a+b}{k}$ avec $k\ne0$.

📐 Formule — Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ lorsque les dénominateurs sont non nuls.

📐 Formule — Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par sa fraction inverse : $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$.

Compléments

📌 Dans une écriture sans parenthèses comme $\frac{a}{b}{/}c$, la position de la première fraction est ambiguë ; il faut donc utiliser une écriture avec parenthèses ou effectuer les divisions dans l’ordre indiqué.

💡 Astuce mémo

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

📖 2. Égalité de deux quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Termes extrêmes : Les termes extrêmes d’une égalité de quotients $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ sont $a$ et $d$.
• Termes moyens : Les termes moyens d’une égalité de quotients $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ sont $b$ et $c$.

📝 Points essentiels

📌 Si deux quotients sont égaux, alors le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens : si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, alors $a\times d=b\times c$ avec $b\times d\ne0$.

💡 Astuce mémo

Les extrêmes se font face et les moyens se croisent.

📖 3. Puissances et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre décimal est une écriture $a\times10^n$ dans laquelle $1\le a<10$ et $n$ est un entier relatif.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des puissances de même base non nulle, $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

📐 Formule — Les règles de puissance comprennent $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^0=1$ pour $a\ne0$.

Compléments

📐 Formule — La puissance d’un produit et celle d’un quotient se distribuent selon $\left(ab\right)^n=a^nb^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne ou soustrait les exposants ; puissance d’une puissance : on les multiplie.

📖 4. Suppression des parenthèses

📝 Points essentiels

📌 Lorsqu’une parenthèse est précédée du signe plus, on supprime la parenthèse en conservant les signes des termes.

📌 Lorsqu’une parenthèse est précédée du signe moins, on supprime la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.

💡 Astuce mémo

Signe + : signes conservés ; signe − : signes changés.

📖 5. Distributivité et réduction

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Développer une expression consiste à la transformer en une somme algébrique.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distributivité simple s’écrit $a(b+c)=ab+ac$ et $a(b-c)=ab-ac$.

📐 Formule — La double distributivité donne $\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Réduire une expression consiste à faire la somme des termes semblables, par exemple $x+x=2x$ et $x\times x^2=x^3$.

💡 Astuce mémo

Développer, puis regrouper les termes semblables.

📖 6. Résolution de quotients et calculs

★ À maîtriser

• Pour résoudre une égalité de quotients contenant une inconnue, on transforme d’abord les quotients si nécessaire, puis on applique l’égalité des produits en croix et on isole l’inconnue.

Compléments

• L’égalité $\frac{x}{3}=\frac{5}{3}$ a pour solution $x=5$.

• Le calcul $\frac{2}{5}-\frac{4}{3}$ donne $-\frac{14}{15}$ après réduction au dénominateur commun 15.

💡 Astuce mémo

Transformer, isoler l’inconnue, puis simplifier.