QCM : Écritures littérales et identités remarquables — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les opérations sur les fractions, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs et leurs dénominateurs.
Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par sa fraction inverse.
L’écriture a/b/ca/b/c peut présenter une ambiguïté de position des fractions.
Les écritures ab:c\frac{a}{b}:c et a:bca:\frac{b}{c} désignent deux opérations différentes.
Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on conserve ce dénominateur.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs et leurs dénominateurs. · Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par sa fraction inverse. · L’écriture $$a/b/c$$ peut présenter une ambiguïté de position des fractions. · Les écritures $$\frac{a}{b}:c$$ et $$a:\frac{b}{c}$$ désignent deux opérations différentes. · Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on conserve ce dénominateur.

Explication

La somme de fractions de même dénominateur conserve ce dénominateur et porte sur les numérateurs. La multiplication s’effectue numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur. La division par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse. L’écriture sans parenthèses peut être ambiguë, tandis que les deux écritures avec deux-points désignent des opérations distinctes.

2. On considère le calcul 25×37\frac{2}{5}\times\frac{3}{7}. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le résultat du calcul est 512\frac{5}{12}.
Le calcul conserve le dénominateur 55 de la première fraction.
Les dénominateurs 55 et 77 sont additionnés dans ce produit.
Le résultat du calcul est 635\frac{6}{35}.
Les numérateurs 22 et 33 sont additionnés dans ce produit.

Le résultat du calcul est $$\frac{6}{35}$$.

Explication

La multiplication des fractions donne 2×35×7=635\frac{2\times3}{5\times7}=\frac{6}{35}. Le dénominateur n’est donc pas conservé comme dans une addition de fractions de même dénominateur, et les numérateurs ne sont pas additionnés.

3. Pour le calcul 25:34\frac{2}{5}:\frac{3}{4}, quelles sont les réponses exactes au sujet de sa transformation ?

Le calcul devient 25×43\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}.
Le résultat obtenu est 815\frac{8}{15}.
Le résultat obtenu est 620\frac{6}{20}.
Le calcul devient 52×34\frac{5}{2}\times\frac{3}{4}.
Le calcul devient 25×34\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}.

Le calcul devient $$\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}$$.

Explication

Diviser par 34\frac{3}{4} revient à multiplier par son inverse 43\frac{4}{3}. Le résultat est donc 25×43=815\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}=\frac{8}{15}; les autres écritures ne correspondent pas à la règle de division par une fraction.

4. À propos de l’égalité ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, quelles sont les réponses exactes ?

Les termes moyens sont bb et cc.
Elle implique a×d=b×ca\times d=b\times c.
Les termes extrêmes sont aa et dd.
Elle impose a×b=c×da\times b=c\times d.
Les termes extrêmes sont bb et cc.

Les termes moyens sont $$b$$ et $$c$$. · Elle implique $$a\times d=b\times c$$. · Les termes extrêmes sont $$a$$ et $$d$$.

Explication

L’égalité des quotients implique l’égalité des produits en croix, avec les dénominateurs non nuls. Dans ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, les termes extrêmes sont aa et dd, tandis que les termes moyens sont bb et cc.

5. Concernant le produit 23×242^3\times2^4, quelles sont les réponses exactes ?

Le résultat est 2122^{12}.
La base commune reste égale à 22.
Les exposants sont soustraits dans ce produit.
La règle appliquée concerne un quotient de puissances.
Il est égal à 272^7.

Il est égal à $$2^7$$.

Explication

Dans un produit de puissances de même base, les exposants s’additionnent : 23×24=23+4=272^3\times2^4=2^{3+4}=2^7. Les règles du quotient et de la puissance d’une puissance ne s’appliquent pas à ce produit.

6. Parmi les propositions suivantes concernant les règles de puissance, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

On a 30=13^0=1.
On a (32)4=36(3^2)^4=3^6.
On a 3−2=1323^{-2}=\frac{1}{3^2}.
On a 3−2=323^{-2}=3^2.
On a (32)4=38(3^2)^4=3^8.

On a $$3^0=1$$. · On a $$3^{-2}=\frac{1}{3^2}$$. · On a $$(3^2)^4=3^8$$.

Explication

Une puissance d’une puissance multiplie les exposants, donc (32)4=38(3^2)^4=3^8. Pour une base non nulle, 3−2=1323^{-2}=\frac{1}{3^2} et 30=13^0=1; l’exposant nul ne donne pas la base elle-même.

7. Concernant l’écriture scientifique et les puissances, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nombre 0,000420{,}00042 s’écrit 4,2×10−44{,}2\times10^{-4}.
Une écriture scientifique possède un coefficient compris entre 11 et 1010.
L’exposant de l’écriture scientifique est un entier relatif.
L’expression 42×10−542\times10^{-5} est une écriture scientifique normalisée.
Pour un produit, on a (ab)n=anbn(ab)^n=a^n b^n.

Le nombre $$0{,}00042$$ s’écrit $$4{,}2\times10^{-4}$$. · Une écriture scientifique possède un coefficient compris entre $$1$$ et $$10$$. · L’exposant de l’écriture scientifique est un entier relatif. · Pour un produit, on a $$(ab)^n=a^n b^n$$.

Explication

Une écriture scientifique a la forme a×10na\times10^n, avec 1≤a<101\le a<10 et un exposant entier relatif. Ainsi, 0,00042=4,2×10−40{,}00042=4{,}2\times10^{-4}, tandis que 42×10−542\times10^{-5} n’a pas un coefficient compris entre 11 et 1010. La puissance d’un produit se distribue sur chaque facteur, mais la puissance d’un quotient exige des dénominateurs compatibles avec cette règle.

8. Concernant la suppression des parenthèses, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Dans a+(b+c)a+(b+c), la forme développée est a+b+ca+b+c.
Dans 7+(x−3)7+(x-3), la forme développée est 7+x−37+x-3.
Dans 9−(x+y)9-(x+y), la forme développée est 9−x−y9-x-y.
Dans m−(p−q)m-(p-q), la forme développée est m−p−qm-p-q.
Dans 5−(2x−4)5-(2x-4), la forme développée est 5−2x−45-2x-4.

Dans $$a+(b+c)$$, la forme développée est $$a+b+c$$. · Dans $$7+(x-3)$$, la forme développée est $$7+x-3$$. · Dans $$9-(x+y)$$, la forme développée est $$9-x-y$$.

Explication

Avec un signe plus devant une parenthèse, les signes des termes restent inchangés. Avec un signe moins, chaque signe est modifié ; le signe du deuxième terme devient donc positif.

9. À propos de la distributivité simple, quelles sont les réponses exactes au sujet des expressions suivantes ?

On a a(b−c)=ab+aca(b-c)=ab+ac.
On a m(p+q)=mp+mqm(p+q)=mp+mq.
On a 3(x+4)=3x+123(x+4)=3x+12.
On a 5(2y−1)=10y−55(2y-1)=10y-5.
On a 2(r−7)=2r+142(r-7)=2r+14.

On a $$m(p+q)=mp+mq$$. · On a $$3(x+4)=3x+12$$. · On a $$5(2y-1)=10y-5$$.

Explication

La distributivité simple multiplie le facteur par chacun des termes de la parenthèse. Le signe entre les termes est conservé : une soustraction donne donc ac−adac-ad, et non une addition.

10. Concernant la double distributivité, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le développement de (m−n)(p+q)(m-n)(p+q) est mp+mq−np−nqmp+mq-np-nq.
Le développement de (x+2)(y−3)(x+2)(y-3) est xy−3x+2y−6xy-3x+2y-6.
Le développement de (r+s)(t−u)(r+s)(t-u) est rt−ru+st+surt-ru+st+su.
Le produit de deux binômes conduit à trois termes avant réduction.
Le développement de (a+b)(c+d)(a+b)(c+d) est ac+ad+bc+bdac+ad+bc+bd.

Le développement de $$(m-n)(p+q)$$ est $$mp+mq-np-nq$$. · Le développement de $$(x+2)(y-3)$$ est $$xy-3x+2y-6$$. · Le développement de $$(a+b)(c+d)$$ est $$ac+ad+bc+bd$$.

Explication

La double distributivité associe chaque terme de la première parenthèse à chaque terme de la seconde, ce qui produit quatre termes. La distributivité simple ne produit pas quatre produits dans cette configuration.

11. Concernant la résolution d’égalités de quotients, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Les produits en croix de ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d} donnent ad=bcad=bc.
La simplification d’un quotient détermine nécessairement la valeur d’une inconnue.
Dans x3=53\frac{x}{3}=\frac{5}{3}, l’inconnue vaut 33.
L’égalité x3=53\frac{x}{3}=\frac{5}{3} admet x=5x=5 comme solution.
Résoudre une égalité de quotients conduit à isoler l’inconnue.

Les produits en croix de $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ donnent $$ad=bc$$. · L’égalité $$\frac{x}{3}=\frac{5}{3}$$ admet $$x=5$$ comme solution. · Résoudre une égalité de quotients conduit à isoler l’inconnue.

Explication

Pour résoudre une égalité de quotients, on peut utiliser les produits en croix puis isoler l’inconnue. Dans x/3=5/3x/3=5/3, les produits en croix donnent 3x=153x=15, donc x=5x=5 ; le dénominateur n’est pas l’inconnue.

Révisez avec les flashcards

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Comment additionne-t-on deux fractions de même dénominateur ?

On conserve le dénominateur et on additionne les numérateurs.

Quelle est la règle pour multiplier deux fractions ?

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Que signifie diviser par une fraction non nulle ?

Cela revient à multiplier par sa fraction inverse.

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