QCM : Suites et raisonnement par récurrence — 6 questions

Question 1

1. Quelles sont les deux étapes indispensables pour établir par récurrence qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ ?

Vérifier une initialisation et établir une hérédité

Résoudre une équation et examiner ses solutions

Calculer deux valeurs et comparer leurs résultats

Définir une suite et étudier sa monotonie

Explication

La récurrence repose sur la vérification d’un rang de départ et sur la preuve du passage de $P(n)$ à $P(n+1)$ . Étudier une suite ou résoudre une équation peut être utile dans d’autres démarches, mais ne constitue pas le principe de récurrence.

Answer

Vérifier une initialisation et établir une hérédité

Question 2

2. Quelle suite d’étapes permet d’appliquer correctement le raisonnement par récurrence à une propriété définie sur les entiers naturels ?

Prouver

P(0)

, établir

P(n)\Rightarrow P(n+1)

, puis conclure pour tout

n

Prouver

P(1)

, établir

P(n+1)\Rightarrow P(n)

, puis conclure pour tout

n

Établir

P(n)\Rightarrow P(n+1)

, puis vérifier seulement le dernier rang

Prouver

P(0)

, vérifier quelques cas suivants, puis généraliser

Explication

La méthode commence par l’initialisation en $0$ , se poursuit par l’hérédité pour tout entier naturel $n$ , puis autorise la conclusion générale. Vérifier quelques cas ou partir de $P(1)$ ne suffit pas à justifier tous les rangs concernés.

Answer

Prouver $$P(0)$$, établir $$P(n)\Rightarrow P(n+1)$$, puis conclure pour tout $$n$$

Question 3

3. Une propriété $P(n)$ est définie pour $n\ge n_0$ . Quelles conditions permettent de conclure qu’elle est vraie pour tout entier $n\ge n_0$ ?

Prouver

P(0)

et montrer que

P(n+1)\Rightarrow P(n)

pour tout

n\ge 0

Prouver

P(n_0+1)

et vérifier la propriété pour quelques rangs suivants

Prouver

P(n_0)

et montrer que

P(n)\Rightarrow P(n+1)

pour tout

n\ge n_0

Montrer que

P(n_0)

est fausse puis inverser l’implication au rang suivant

Explication

Une récurrence à partir du rang $n_0$ initialise la propriété en $n_0$ et établit l’hérédité à partir de ce rang. Elle ne nécessite pas une initialisation en $0$ lorsque la propriété n’est étudiée qu’à partir de $n_0$ .

Answer

Prouver $$P(n_0)$$ et montrer que $$P(n)\Rightarrow P(n+1)$$ pour tout $$n\ge n_0$$

Question 4

4. Pour démontrer une propriété définie à partir du rang $5$ , quel rang doit servir d’initialisation dans une récurrence à partir d’un rang ?

Le rang

4

Le rang

0

Le rang

5

Le rang

6

Explication

L’initialisation doit porter sur le premier rang du domaine de définition, ici $n_0=5$ . Commencer au rang $0$ correspondrait au principe général et ne ciblerait pas directement le rang de départ imposé.

Answer

Le rang $$5$$

Question 5

5. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité $n^2\ge 2n-1$ pour tout entier naturel $n$ , quelle propriété faut-il poser ?

P(n):\ n^2=2n-1

P(n):\ n^2\ge 2n-1

P(n):\ 2n^2\ge n-1

P(n):\ n^2\le 2n-1

Explication

La propriété étudiée doit reprendre exactement l’inégalité à démontrer, soit $n^2\ge 2n-1$ . Une égalité ou une inégalité de sens ou d’expression différente ne permettrait pas de prouver l’énoncé demandé.

Answer

$$P(n):\ n^2\ge 2n-1$$

Question 6

6. Pour tout entier $n\ge 1$ , quelle expression donne la somme $S_n=1+2+3+\cdots+n$ ?

S_n=\frac{n(n+1)}{2}

S_n=\frac{n^2+1}{2}

S_n=n(n+1)

S_n=\frac{n(n-1)}{2}

Explication

La somme des entiers de $1$ à $n$ vaut $\frac{n(n+1)}{2}$ pour $n\ge1$ . L’expression $\frac{n(n-1)}{2}$ correspondrait à la somme jusqu’à $n-1$ , et les autres formules ne donnent pas la somme demandée.

Answer

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

QCM : Suites et raisonnement par récurrence — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles sont les deux étapes indispensables pour établir par récurrence qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ ?

2. Quelle suite d’étapes permet d’appliquer correctement le raisonnement par récurrence à une propriété définie sur les entiers naturels ?

3. Une propriété $P(n)$ est définie pour $n\ge n_0$ . Quelles conditions permettent de conclure qu’elle est vraie pour tout entier $n\ge n_0$ ?

4. Pour démontrer une propriété définie à partir du rang $5$ , quel rang doit servir d’initialisation dans une récurrence à partir d’un rang ?

5. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité $n^2\ge 2n-1$ pour tout entier naturel $n$ , quelle propriété faut-il poser ?

6. Pour tout entier $n\ge 1$ , quelle expression donne la somme $S_n=1+2+3+\cdots+n$ ?

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QCM : Suites et raisonnement par récurrence — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles sont les deux étapes indispensables pour établir par récurrence qu’une propriété P(n)P(n)P(n) est vraie pour tout entier naturel nnn ?

2. Quelle suite d’étapes permet d’appliquer correctement le raisonnement par récurrence à une propriété définie sur les entiers naturels ?

3. Une propriété P(n)P(n)P(n) est définie pour n≥n0n\ge n_0n≥n0​. Quelles conditions permettent de conclure qu’elle est vraie pour tout entier n≥n0n\ge n_0n≥n0​ ?

4. Pour démontrer une propriété définie à partir du rang 555, quel rang doit servir d’initialisation dans une récurrence à partir d’un rang ?

5. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité n2≥2n−1n^2\ge 2n-1n2≥2n−1 pour tout entier naturel nnn, quelle propriété faut-il poser ?

6. Pour tout entier n≥1n\ge 1n≥1, quelle expression donne la somme Sn=1+2+3+⋯+nS_n=1+2+3+\cdots+nSn​=1+2+3+⋯+n ?

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1. Quelles sont les deux étapes indispensables pour établir par récurrence qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ ?

3. Une propriété $P(n)$ est définie pour $n\ge n_0$ . Quelles conditions permettent de conclure qu’elle est vraie pour tout entier $n\ge n_0$ ?

4. Pour démontrer une propriété définie à partir du rang $5$ , quel rang doit servir d’initialisation dans une récurrence à partir d’un rang ?

5. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité $n^2\ge 2n-1$ pour tout entier naturel $n$ , quelle propriété faut-il poser ?

6. Pour tout entier $n\ge 1$ , quelle expression donne la somme $S_n=1+2+3+\cdots+n$ ?