Fiche de révision : Suites et raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Principe de la récurrence
2. Récurrence à partir d’un rang
3. Applications aux inégalités et sommes

📖 1. Principe de la récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Établissement qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n en vérifiant une initialisation et une hérédité.

📝 Points essentiels

• Pour appliquer le raisonnement par récurrence, on vérifie successivement que P(0) est vraie, que pour tout entier naturel n, P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie, puis on conclut que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Récurrence à partir d’un rang

📝 Points essentiels

📌 Si une propriété P(n), définie pour n ≥ n₀ avec n₀ ∈ N, est vraie au rang n₀ et si, pour tout entier n ≥ n₀, P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie, alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

💡 Astuce mémo

Récurrence générale : départ en 0 ; récurrence à partir d’un rang : départ en n₀

📖 3. Applications aux inégalités et sommes

★ À maîtriser

• Pour montrer par récurrence que n² ≥ 2n − 1 pour tout entier naturel n, on pose P(n) : « n² ≥ 2n − 1 », puis on vérifie P(0), l’hérédité et la conclusion.

📐 Formule — Pour tout entier n ≥ 1, la somme $S_n = 1+2+3+\cdots+n$ vérifie $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Compléments

📐 Formule — Dans l’hérédité de l’exemple, on développe $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$ et $2(n+1)-1 = 2n+1$, puis n² ≥ 0 permet de conclure que $(n+1)^2 \ge 2(n+1)-1$.

• Pour démontrer la formule de Sₙ par récurrence, on considère P(n) : « Sₙ = n(n+1)/2 », puis on commence par l’initialisation au rang n = 1 avant de poursuivre avec l’hérédité et la conclusion.

💡 Astuce mémo

Initialisation vraie + hérédité établie → propriété vraie pour tous les rangs concernés