Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensemble des nombres réels
2. Sous-ensembles et inclusions
3. Vocabulaire et notations
4. Calculs avec les nombres relatifs
5. Fractions et divisibilité
6. Droite réelle et intervalles
7. Opérations sur les intervalles

📖 1. Ensemble des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Représentent une quantité et sont constitués d’un signe positif ou négatif et d’une distance à zéro positive.
• Écriture fractionnaire : L’écriture fractionnaire $\frac{a}{b}$ représente le nombre qui, multiplié par b, donne a.
• Racine carrée : La racine carrée √a est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a.
• Puissance : La puissance $a^n$ est le produit de a par lui-même n fois.
• Écriture scientifique : L’écriture scientifique est constituée d’une partie décimale et d’une puissance de 10.

📖 2. Sous-ensembles et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels, noté N, contient notamment 0, 1, 2, 3 et 4 ; ainsi 4 ∈ N mais −2 ∉ N.
• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs, noté Z, contient les entiers positifs, négatifs et zéro ; −2 ∈ Z et 5 ∈ Z, mais 0,33 ∉ Z.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal peut s’écrire $d=\frac{a}{10^n}$, où a est un entier et n un entier naturel ; par exemple 0,56 ∈ D et 1/3 ∉ D.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel, noté dans Q, possède une écriture fractionnaire irréductible $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers relatifs et b ≠ 0 ; 1/3 ∈ Q, mais π ∉ Q et √2 ∉ Q.

📝 Points essentiels

📌 Les inclusions entre les sous-ensembles de nombres sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 3. Vocabulaire et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun nombre et se note ∅.

📝 Points essentiels

• Le symbole * exclut le nombre 0 d’un ensemble, ainsi R* désigne R privé de 0 et R*− désigne les réels strictement négatifs.

📌 Le symbole ∈ signifie qu’un élément appartient à un ensemble, tandis que ∉ signifie qu’il n’y appartient pas.

📌 Le symbole ⊂ signifie qu’un ensemble est inclus dans un autre, c’est-à-dire que tous ses éléments appartiennent à l’autre ensemble, tandis que ⊄ signifie la non-inclusion.

💡 Astuce mémo

∈ signifie appartient, ∉ signifie n’appartient pas ; ⊂ concerne des ensembles

📖 4. Calculs avec les nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Opposé : Pour un nombre relatif a, a est l’opposé de −a et −a est l’opposé de a.
• Inverse : L’inverse d’un nombre non nul a est le nombre $\frac{1}{a}$ qui, multiplié par a, donne 1.

📝 Points essentiels

• Pour calculer une expression, on effectue successivement les parenthèses, les puissances, les multiplications ou divisions, puis les additions ou soustractions.

• Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

• Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

• Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions

📖 5. Fractions et divisibilité

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0, l’égalité de quotients donne $\frac{a}{b}=\frac{a\times c}{b\times c}=\frac{a:c}{b:c}$.

📐 Formule — La somme et la différence de fractions de même dénominateur vérifient $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.

📐 Formule — Le produit de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

📐 Formule — Le quotient de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

Compléments

• Les critères de divisibilité portent sur:

  • 2 pour les nombres pairs
  • 3 pour une somme des chiffres divisible par 3
  • 4 pour des deux derniers chiffres divisibles par 4
  • 5 pour un nombre terminé par 5 ou 0
  • 9 pour une somme des chiffres divisible par 9
  • 11 pour un nombre à trois chiffres dont le chiffre des dizaines est la somme des centaines et des unités

• Les premiers nombres premiers cités sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 et 31.

📖 6. Droite réelle et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite des réels : Les nombres réels sont représentés sur une droite graduée et orientée définie par une origine, une unité et un sens.
• Intervalle fermé : Pour a < b, l’intervalle fermé [a ; b] est l’ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b.

★ À maîtriser

• Les intervalles [a ; b[, ]a ; b] et ]a ; b[ correspondent respectivement à a ≤ x < b, a < x ≤ b et a < x < b.

Compléments

• L’ensemble des nombres réels R est l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

📖 7. Opérations sur les intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection I ∩ J de deux intervalles est l’ensemble des réels qui appartiennent à I et à J.
• Union : L’union I ∪ J de deux intervalles est l’ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J, le « ou » étant inclusif en mathématiques.

📝 Points essentiels

• Pour I = [−1 ; 3] et J = ]0 ; 4[, l’intersection est I ∩ J = ]0 ; 3].

• Pour I = ]−∞ ; −1] et J = [1 ; 4], l’intersection est vide, car les deux intervalles n’ont aucune zone commune.

💡 Astuce mémo

Intersection = éléments communs ; union = éléments de l’un ou de l’autre

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques