Fiche de révision : Calcul algébrique et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et opérations
2. Fractions et nombres rationnels
3. Racines carrées et nombres réels
4. Développer et factoriser
5. Inégalités et équations
6. Tableaux de signes et quotients
7. Fonctions affines et trinômes
8. Limites, asymptotes et dérivation
9. Exponentielle, logarithme et TVI
10. Primitives et intégrales
11. Suites numériques
12. Statistique et probabilités fondamentales
13. Conditionnement et loi binomiale
14. Schéma et loi binomiale
15. Application aux lancers de dé
16. Évaluation sur des pièces

📖 1. Nombres relatifs et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres relatifs : Les nombres relatifs, notés $\mathbb{Z}$, regroupent les nombres positifs, négatifs et zéro.
• Nombres opposés : Deux nombres sont opposés lorsque leur somme est nulle, qu’ils ont la même distance à zéro et des signes contraires.
• Nombres naturels : Les nombres naturels, notés $\mathbb{N}$, sont les nombres entiers utilisés pour compter, tels que 0, 1, 2 et 3.
• Inverse : L’inverse d’un nombre non nul $a$ est $\frac{1}{a}$, car le produit d’un nombre et de son inverse vaut 1.

📝 Points essentiels

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on conserve leur signe commun et on additionne leurs distances à zéro, tandis que pour des signes différents, on conserve le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances.

• Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé : $a-b=a+(-b)$.

• Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes contraires est négatif.

• Dans un produit de plusieurs facteurs relatifs, le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif s’il est impair.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne ; signes contraires : on soustrait.

📖 2. Fractions et nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*$, donc avec $b\neq0$.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

📝 Points essentiels

📌 Deux quotients $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, avec $b\neq0$ et $d\neq0$, sont égaux si et seulement si leurs produits en croix sont égaux : $ad=bc$.

📌 Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur avant de comparer leurs numérateurs.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, l’addition et la soustraction nécessitent un dénominateur commun, tandis que la multiplication vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule — Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Comparer, additionner, multiplier, inverser.

📖 3. Racines carrées et nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour $a\geq0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt a$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$.
• Carré parfait : Un carré parfait est un entier positif dont la racine carrée est un entier.

📝 Points essentiels

📌 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans $\mathbb{R}$, car le carré d’un nombre réel est toujours positif.

📐 Formule — Pour $a\geq0$ et $b>0$, les racines carrées vérifient $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📌 En général, $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$.

💡 Astuce mémo

Produit et quotient se séparent ; la somme ne se sépare pas.

📖 4. Développer et factoriser

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Développer un produit consiste à le transformer en une somme ou une différence.
• Factoriser : Factoriser une expression littérale consiste à la transformer sous la forme d’un produit de facteurs.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distributivité simple vérifie $a(b+c)=ab+ac$ et $a(b-c)=ab-ac$.

📐 Formule — La double distributivité vérifie $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📌 Pour factoriser par facteur commun, on repère le nombre, la variable ou le bloc présent dans tous les termes, puis on le place devant une parenthèse.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l’inverse.

📖 5. Inégalités et équations

★ À maîtriser

📌 Ajouter ou soustraire un même nombre conserve le sens d’une inégalité, tout comme multiplier ou diviser par un nombre strictement positif.

📌 Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif inverse le sens de l’inégalité.

📐 Formule — Une équation du premier degré se ramène à $ax+b=0$ avec $a\neq0$ et possède l’unique solution $x=-\frac ba$.

📌 Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul : $AB=0\Longleftrightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

📌 Pour résoudre $x^2=a$, il y a deux solutions $x=\sqrt a$ et $x=-\sqrt a$ si $a>0$, une solution $x=0$ si $a=0$ et aucune solution réelle si $a<0$.

Compléments

• Pour résoudre un problème par équation, on choisit l’inconnue, on traduit l’énoncé en égalité, on résout l’équation puis on interprète la solution dans le contexte.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un négatif → inverser le sens.

📖 6. Tableaux de signes et quotients

★ À maîtriser

📌 Le facteur affine $ax+b$, avec $a\neq0$, s’annule en $x=-\frac ba$, est du signe de $a$ au-delà de cette valeur et du signe opposé avant celle-ci.

• Pour construire le tableau de signes d’un produit, on trouve les racines des facteurs, on les range dans l’ordre croissant, on remplit le signe de chaque facteur puis on combine les signes par colonne.

📌 Un quotient $\frac{A}{B}$ est nul si et seulement si $A=0$ et $B\neq0$; les valeurs qui annulent $B$ sont des valeurs interdites.

• Pour résoudre une inéquation quotient, on détermine les valeurs interdites, on étudie les signes du numérateur et du dénominateur, on construit le tableau de signes puis on exclut les valeurs interdites des solutions.

Compléments

• Pour résoudre $\frac{3x+2}{x-1}\geq0$, la valeur interdite est $x=1$ et la racine du numérateur est $x=-\frac23$, donc l’ensemble solution est $]-\infty;-\frac23]\cup]1;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Racines, valeurs interdites, signes, intervalles.

📖 7. Fonctions affines et trinômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur R par f(x)=ax+b, sa représentation graphique est une droite de pente a et d’ordonnée à l’origine b.
• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré est une fonction P définie sur R par P(x)=ax^2+bx+c avec a\ne0, dont la représentation graphique est une parabole.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le taux d’accroissement d’une droite passant par A(x_1,y_1) et B(x_2,y_2) vérifie $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ avec x_1\ne x_2.

📐 Formule — La forme canonique d’un trinôme est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$; son sommet est S(\alpha;\beta).

📌 Pour ax^2+bx+c=0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ : si Δ>0, il y a deux racines réelles; si Δ=0, une racine double; si Δ<0, aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Affine : droite ; trinôme : parabole

📖 8. Limites, asymptotes et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : Si lim quand x tend vers a de f(x) vaut +∞ ou −∞, alors la droite x=a est une asymptote verticale à la courbe.

📝 Points essentiels

📌 La limite d’un polynôme en ±∞ est celle de son terme de plus haut degré, et la limite d’une fonction rationnelle en ±∞ est celle du rapport de ses termes de plus haut degré.

📐 Formule — Le nombre dérivé en a est $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque cette limite existe et est finie.

📐 Formule — La tangente à la courbe au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Si f' est positive sur un intervalle, f y est croissante; si f' est négative, f y est décroissante; si f' s’annule en changeant de signe, f possède un extremum local.

💡 Astuce mémo

Limite infinie → asymptote ; dérivée positive → croissance

📖 9. Exponentielle, logarithme et TVI

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R vérifiant f'=f et f(0)=1; elle est strictement positive sur R.
• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle sur ]0;+∞[, avec ln(x)=y si et seulement si e^y=x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le logarithme vérifie $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)$ pour a,b>0.

📌 Si f est continue sur [a;b], toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) possède au moins un antécédent c dans [a;b]; si f est en plus strictement monotone, cet antécédent est unique.

Compléments

📐 Formule — La fonction exponentielle vérifie $e^{a+b}=e^a e^b$, $e^{-a}=\frac1{e^a}$ et $(e^a)^n=e^{an}$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle sur R ; logarithme sur ]0;+∞[

📖 10. Primitives et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F'(x)=f(x) pour tout x de I.

★ À maîtriser

📌 Si F est une primitive de f, toutes les primitives de f sont les fonctions F(x)+C avec C réel.

📐 Formule — Pour f continue sur [a;b] et F primitive de f, $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Compléments

📐 Formule — Une primitive de $u'(x)u(x)^n$ pour n\ne-1 est $\frac{u(x)^{n+1}}{n+1}$, et une primitive de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln|u(x)|$.

💡 Astuce mémo

Primitive → évaluation aux bornes → intégrale

📖 11. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une application qui associe à chaque entier naturel n≥n0 un unique nombre réel u_n.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie u_{n+1}=u_n+r, où r est sa raison, et son terme général est u_n=u_0+nr.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie g_{n+1}=qg_n, où q est sa raison, et son terme général est g_n=g_0q^n.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie explicitement par u_n=f(n), ou par récurrence par u_{n+1}=f(u_n), cette dernière nécessitant un premier terme connu.

📌 Une suite est croissante si u_{n+1}≥u_n, décroissante si u_{n+1}≤u_n et constante si u_{n+1}=u_n pour tout n considéré.

Compléments

📐 Formule — La somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut $S=\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : ajouter r ; géométrique : multiplier par q

📖 12. Statistique et probabilités fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Écart-type : L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne et vérifie $\sigma=\sqrt{\frac1N\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\bar{x})^2}$.
• Univers : L’univers Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, et un événement est une partie de Ω.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La moyenne pondérée d’une série de N valeurs vaut $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_ix_i$.

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ et $P(\overline A)=1-P(A)$.

💡 Astuce mémo

Position → dispersion → événements → probabilités

📖 13. Conditionnement et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ce qui équivaut à $P_A(B)=P(B)$ lorsque P(A)>0.
• Variable aléatoire discrète : Une variable aléatoire discrète associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire, et sa loi donne les probabilités P(X=x_i).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si P(A)>0, la probabilité conditionnelle de B sachant A est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, donc $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$.

📐 Formule — Si A et son contraire forment une partition, alors $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)$.

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale B(n,p), alors pour k∈{0,1,…,n}, $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ et $E(X)=np$.

💡 Astuce mémo

Conditionnement → arbre pondéré → probabilités totales

📖 14. Schéma et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de Bernoulli : Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
• Loi binomiale : Si X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes ayant une probabilité de succès p, alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si X suit B(n,p), alors pour tout k appartenant à {0,1,…,n}, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ et $E(X)=n\cdot p$.

💡 Astuce mémo

Répétitions indépendantes → loi binomiale

📖 15. Application aux lancers de dé

★ À maîtriser

• Lors de 4 lancers indépendants d'un dé équilibré à 6 faces, en considérant l'obtention de la face 6 comme un succès, le nombre X de six suit B(4,1/6).

📐 Formule — La probabilité d'obtenir au moins un six est $P(X\geq1)=1-P(X=0)=\frac{671}{1296}\approx0{,}5177$, soit 51,8 %.

📐 Formule — L'espérance du nombre de six obtenus en 4 lancers vaut $E(X)=4\times\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\approx0{,}67$.

Compléments

📐 Formule — Pour cet exemple, la probabilité d'obtenir exactement un six est $P(X=1)=\frac{125}{324}\approx0{,}3858$, soit 38,6 %.

💡 Astuce mémo

Modéliser → calculer exactement → utiliser le contraire → espérer

📖 16. Évaluation sur des pièces

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour les pièces produites par les machines A et B, la probabilité qu'une pièce soit défectueuse vaut $P(D)=0{,}60\times0{,}02+0{,}40\times0{,}04=0{,}028$, soit 2,8 %.

📐 Formule — Sachant qu'une pièce est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne de la machine A vaut $P_D(A)=\frac{0{,}012}{0{,}028}=\frac{3}{7}\approx0{,}4286$, soit 42,9 %.

• Dans un sachet de 20 pièces prélevées avec remise, si chaque pièce a une probabilité 0,05 d'être défectueuse, le nombre Y de pièces défectueuses suit B(20;0,05).

📐 Formule — L'espérance du nombre de pièces défectueuses par sachet vaut $E(Y)=20\times0{,}05=1$ pièce.

Compléments

📐 Formule — La probabilité d'avoir exactement zéro pièce défectueuse dans le sachet vaut $P(Y=0)=(0{,}95)^{20}\approx0{,}3585$, soit 35,85 %.

💡 Astuce mémo

Machine A à 2 % contre machine B à 4 %

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des suites

Modèles binomiaux des exercices