Fiche de révision : Suites numériques et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Monotonie des suites
3. Bornes d’une suite
4. Suites arithmétiques
5. Formules arithmétiques
6. Suites géométriques

📖 1. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une propriété 𝒫ₙ est vraie pour tout entier naturel n, il faut vérifier l’initialisation, établir l’hérédité de 𝒫ₖ vers 𝒫ₖ₊₁, puis conclure.

• Pour la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 2, une récurrence démontre que $u_n=3^n+1$ pour tout entier naturel n.

Compléments

📌 Si une propriété n’est vraie qu’à partir d’un rang n₀, l’initialisation doit être effectuée au rang n₀ plutôt qu’au rang 0.

📌 La récurrence forte permet de déduire 𝒫ₖ₊₁ en utilisant non seulement 𝒫ₖ, mais aussi les propriétés établies aux rangs précédents.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : lorsque, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\ge u_n$.
• Suite décroissante : lorsque, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\le u_n$.

★ À maîtriser

• Pour étudier la monotonie d’une suite, on peut comparer uₙ₊₁ − uₙ, comparer le quotient uₙ₊₁/uₙ à 1 sous conditions de signe, étudier une fonction f telle que uₙ = f(n), ou utiliser une récurrence.

Compléments

• La suite définie par wₙ = (−1)ⁿ n’est ni croissante ni décroissante, car ses premiers termes alternent entre 1 et −1.

💡 Astuce mémo

Croissante : uₙ₊₁ ≥ uₙ ; décroissante : uₙ₊₁ ≤ uₙ

📖 3. Bornes d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : s’il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\le M$.
• Suite minorée : s’il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\ge m$.
• Suite bornée : Une suite est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Toute suite croissante est minorée par son premier terme et toute suite décroissante est majorée par son premier terme.

💡 Astuce mémo

Majorée par le haut, minorée par le bas, bornée par les deux

📖 4. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : une suite telle qu’il existe un réel r vérifiant, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n+r$; r est sa raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, on a $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_m+(n-m)r$.

Compléments

• Une suite arithmétique de raison 3 telle que u₁₀ = 2 vérifie u₂₂ = 2 + (22 − 10) × 3 = 38.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance par bonds constants de raison r

📖 5. Formules arithmétiques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, $u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)u_0+r\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)$.

📖 6. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : une suite telle qu’il existe un réel q vérifiant, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$; q est sa raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si q ≠ 1, alors $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1, $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

• Une suite géométrique de raison q = 2 telle que u₁ = 3 vérifie u₁₀ = 3 × 2⁹ = 1 536.

💡 Astuce mémo

Une suite géométrique se multiplie à chaque pas par q

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques