QCM : Suites numériques et récurrence — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles étapes permettent de démontrer par récurrence qu’une propriété Pn\mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel nn ?

Établir l’hérédité, vérifier un exemple, puis conclure
Calculer plusieurs termes, identifier une formule, puis conclure
Vérifier deux rangs successifs, puis généraliser la propriété
Vérifier l’initialisation, établir l’hérédité, puis conclure

Vérifier l’initialisation, établir l’hérédité, puis conclure

Explication

Une démonstration par récurrence commence par l’initialisation, établit ensuite que Pk\mathcal{P}_k entraîne Pk+1\mathcal{P}_{k+1}, puis conclut pour tous les rangs concernés. Vérifier quelques termes ne suffit pas à établir l’hérédité.

2. Pour la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=3un−2u_{n+1}=3u_n-2, quelle formule explicite peut être démontrée par récurrence ?

un=2×3n−1u_n=2\times 3^n-1
un=3n+1−2u_n=3^{n+1}-2
un=3n+1u_n=3^n+1
un=3n+2u_n=3n+2

$$u_n=3^n+1$$

Explication

La formule un=3n+1u_n=3^n+1 vérifie le terme initial et se conserve par la relation un+1=3un−2u_{n+1}=3u_n-2. La relation de récurrence décrit le passage d’un terme au suivant, mais ne constitue pas à elle seule une formule explicite.

3. Quelle condition caractérise une suite croissante ?

Pour tout nn, un+1>unu_{n+1}>u_n
Pour tout nn, un+1≤unu_{n+1}\le u_n
Pour tout nn, un+1=unu_{n+1}=u_n
Pour tout nn, un+1≥unu_{n+1}\ge u_n

Pour tout $$n$$, $$u_{n+1}\ge u_n$$

Explication

Une suite croissante vérifie un+1≥unu_{n+1}\ge u_n pour chaque entier naturel nn. L’inégalité stricte décrit une croissance stricte, tandis que l’inégalité inversée caractérise une suite décroissante.

4. Quelle condition caractérise une suite décroissante ?

Pour tout nn, un+1>unu_{n+1}>u_n
Pour tout nn, un+1≥unu_{n+1}\ge u_n
Pour tout nn, un+1≤unu_{n+1}\le u_n
Pour tout nn, un+1=un+1u_{n+1}=u_n+1

Pour tout $$n$$, $$u_{n+1}\le u_n$$

Explication

Une suite décroissante vérifie un+1≤unu_{n+1}\le u_n pour tout entier naturel nn. La condition un+1≥unu_{n+1}\ge u_n correspond à une suite croissante, et l’égalité avec une expression augmentée décrit une évolution différente.

5. Pour comparer le quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 11 afin d’étudier la monotonie d’une suite, quelle condition doit être respectée ?

La suite doit être définie par une fonction affine de nn
Les différences un+1−unu_{n+1}-u_n doivent être strictement positives
Les termes unu_n doivent être tous égaux à un même réel positif
Les termes unu_n doivent être non nuls et conserver un signe constant

Les termes $$u_n$$ doivent être non nuls et conserver un signe constant

Explication

La comparaison par quotient nécessite que les termes au dénominateur ne s’annulent pas et que leur signe reste constant, afin de contrôler le sens des inégalités. L’étude de la différence un+1−unu_{n+1}-u_n ne demande pas ces conditions de signe.

6. Dans quelle situation une suite est-elle bornée ?

Lorsqu’elle possède un minorant inférieur à son premier terme
Lorsqu’elle comporte des termes positifs et négatifs
Lorsqu’elle possède à la fois un majorant et un minorant
Lorsqu’elle possède un majorant supérieur à son premier terme

Lorsqu’elle possède à la fois un majorant et un minorant

Explication

Une suite est bornée si elle est simultanément majorée et minorée, c’est-à-dire si ses termes restent entre deux réels. Posséder un seul type de borne ne suffit pas, même si le premier terme est concerné.

7. Quelle condition caractérise une suite arithmétique de raison rr ?

Chaque terme s’obtient en ajoutant nn au terme précédent.
Chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par rr.
Chaque terme s’obtient en multipliant l’indice par rr.
Chaque terme s’obtient en ajoutant rr au terme précédent.

Chaque terme s’obtient en ajoutant $$r$$ au terme précédent.

Explication

Une suite arithmétique vérifie un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r pour tout entier naturel nn, et rr est sa raison. La multiplication par une constante caractérise plutôt une suite géométrique.

8. Une suite arithmétique vérifie u10=2u_{10}=2 et sa raison vaut 33. Quelle est la valeur de u22u_{22} ?

4141
6666
3838
3636

$$38$$

Explication

En partant de u10u_{10}, on avance de 22−10=1222-10=12 rangs, donc u22=2+12×3=38u_{22}=2+12\times3=38. La formule un=u0+nru_n=u_0+nr ne convient pas directement ici, car le terme connu est u10u_{10}.

9. Quelle expression donne la somme des entiers consécutifs de 11 à nn, avec n≥1n\geq1 ?

n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}
n+12\frac{n+1}{2}
n2+n+1n^2+n+1

$$\frac{n(n+1)}{2}$$

Explication

La somme 1+2+3+⋯+n1+2+3+\cdots+n vaut n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}. Une somme géométrique ferait intervenir une puissance d’une raison, ce qui n’est pas le cas ici.

10. Pour une suite arithmétique de premier terme u0u_0 et de raison rr, quelle formule représente u0+u1+⋯+unu_0+u_1+\cdots+u_n ?

nu0+rn(n−1)2nu_0+r\frac{n(n-1)}{2}
u0+rn(n+1)2u_0+r\frac{n(n+1)}{2}
(n+1)u0+rn(n−1)2(n+1)u_0+r\frac{n(n-1)}{2}
(n+1)u0+rn(n+1)2(n+1)u_0+r\frac{n(n+1)}{2}

$$(n+1)u_0+r\frac{n(n+1)}{2}$$

Explication

La somme des termes jusqu’à l’indice nn contient n+1n+1 termes et vaut (n+1)u0+rn(n+1)2(n+1)u_0+r\frac{n(n+1)}{2}. Le facteur n+1n+1 est nécessaire puisque les indices vont de 00 à nn.

11. Quelle condition caractérise une suite géométrique de raison qq ?

Chaque terme s’obtient en ajoutant l’indice au terme précédent.
Chaque terme s’obtient en multipliant l’indice par qq.
Chaque terme s’obtient en ajoutant qq au terme précédent.
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par qq.

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par $$q$$.

Explication

Une suite géométrique vérifie un+1=q×unu_{n+1}=q\times u_n pour tout entier naturel nn. L’ajout d’une constante au terme précédent correspond à la définition d’une suite arithmétique.

12. Quelle condition doit être vérifiée pour utiliser la formule 1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} ?

Le premier terme doit vérifier u0≠0u_0\ne0.
L’indice final doit vérifier n≠0n\ne0.
La raison doit vérifier q≠1q\ne1.
La raison doit vérifier q=1q=1.

La raison doit vérifier $$q\ne1$$.

Explication

La formule de somme géométrique donnée comporte le dénominateur 1−q1-q et exige donc q≠1q\ne1. La suite géométrique peut toutefois être définie lorsque q=1q=1 ; c’est la formule de somme qui demande cette condition.

13. Une suite géométrique a pour premier terme u0u_0 et pour raison q≠1q\ne1. Quelle expression donne la somme u0+u1+⋯+unu_0+u_1+\cdots+u_n ?

u0×1−qn+11−qu_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
(n+1)u0+qn(n+1)2(n+1)u_0+q\frac{n(n+1)}{2}
n+12(u0+un)\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)
u0×1−qn1−qu_0\times\frac{1-q^n}{1-q}

$$u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Explication

Chaque terme s’écrit comme u0qku_0q^k, donc la somme contient le facteur u0u_0 multiplié par la somme des puissances de qq. La formule faisant intervenir u0u_0 et unu_n correspond à une somme arithmétique.

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Quelles étapes pour démontrer une propriété 𝒫ₙ par récurrence ?

Vérifier l'initialisation, établir l'hérédité, puis conclure.

Quand initialise-t-on la propriété à un rang n₀ en récurrence ?

Quand la propriété est vraie seulement à partir du rang n₀.

Quelle est la formule de la suite définie par u₀=2 et uₙ₊₁=3uₙ−2 ?

un=3n+1u_n=3^n+1 pour tout entier naturel n.

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