Flashcards : Suites numériques et récurrence — 25 cartes

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1Question

Quelles étapes pour démontrer une propriété 𝒫ₙ par récurrence ?

Réponse

Vérifier l'initialisation, établir l'hérédité, puis conclure.

2Question

Quand initialise-t-on la propriété à un rang n₀ en récurrence ?

Réponse

Quand la propriété est vraie seulement à partir du rang n₀.

3Question

Quelle est la formule de la suite définie par u₀=2 et uₙ₊₁=3uₙ−2 ?

Réponse

$u_n=3^n+1$ pour tout entier naturel n.

4Question

Qu'autorise la récurrence forte par rapport à la récurrence simple ?

Réponse

Elle utilise les propriétés aux rangs précédents pour déduire 𝒫ₖ₊₁.

5Question

Qu'impose la définition d'une suite croissante ?

Réponse

Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\ge u_n$ .

6Question

Qu'impose la définition d'une suite décroissante ?

Réponse

Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\le u_n$ .

7Question

Quelle méthode peut-on utiliser pour étudier la monotonie d'une suite ?

Réponse

Comparer $u_{n+1} - u_n$ , comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 sous conditions, étudier une fonction associée ou utiliser une récurrence.

8Question

Pourquoi la suite $w_n = (-1)^n$ n'est-elle ni croissante ni décroissante ?

Réponse

Ses termes alternent entre 1 et -1.

9Question

Qu'impose une suite majorée sur ses termes ?

Réponse

Tous ses termes sont inférieurs ou égaux à un réel M.

10Question

Qu'impose une suite minorée sur ses termes ?

Réponse

Tous ses termes sont supérieurs ou égaux à un réel m.

11Question

Quand une suite est-elle dite bornée ?

Réponse

Lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

12Question

Par quoi est minorée une suite croissante ?

Réponse

Par son premier terme.

13Question

Par quoi est majorée une suite décroissante ?

Réponse

Par son premier terme.

14Question

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Réponse

Une suite où $u_{n+1} = u_n + r$ pour un réel r.

15Question

Quelle est la formule générale de $u_n$ pour une suite arithmétique de raison r ?

Réponse

$u_n = u_0 + nr$

16Question

Quelle formule relie $u_n$ , $u_m$ et la raison r dans une suite arithmétique ?

Réponse

$u_n = u_m + (n - m)r$

17Question

Quelle est la valeur de $u_{22}$ pour une suite arithmétique de raison 3 avec $u_{10} = 2$ ?

Réponse

$u_{22} = 38$

18Question

Quelle est la formule de la somme des entiers naturels de 1 à n ?

Réponse

La somme vaut $\frac{n(n+1)}{2}$ .

19Question

Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Réponse

La somme vaut $(n+1)u_0 + r\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}(u_0 + u_n)$ .

20Question

Comment exprime-t-on la somme d'une suite arithmétique avec le premier et le dernier terme ?

Réponse

La somme est $\frac{n+1}{2}(u_0 + u_n)$$.

21Question

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Réponse

Une suite où $u_{n+1}=q\times u_n$ pour un réel q.

22Question

Quelle est la raison d'une suite géométrique ?

Réponse

Le réel q tel que $u_{n+1}=q\times u_n$ .

23Question

Quelle valeur a $u_{10}$ pour une suite géométrique avec $q=2$ et $u_1=3$ ?

Réponse

$u_{10}=1536$ .

24Question

Quelle formule donne la somme $1+q+q^2+\cdots+q^n$ si $q \neq 1$ ?

Réponse

$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

25Question

Comment calcule-t-on la somme $u_0+u_1+\cdots+u_n$ d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ ?

Réponse

$u_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 13 questions sur Suites numériques et récurrence.

1. Quelles étapes permettent de démontrer par récurrence qu’une propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ ?

2. Pour la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ , quelle formule explicite peut être démontrée par récurrence ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Suites numériques et récurrence.

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