Suites numériques et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Monotonie des suites
3. Bornes d’une suite
4. Suites arithmétiques
5. Formules arithmétiques
6. Suites géométriques

📖 1. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une propriété 𝒫ₙ est vraie pour tout entier naturel n, il faut vérifier l’initialisation, établir l’hérédité de 𝒫ₖ vers 𝒫ₖ₊₁, puis conclure.

• Pour la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 2, une récurrence démontre que $u_n=3^n+1$ pour tout entier naturel n.

Compléments

📌 Si une propriété n’est vraie qu’à partir d’un rang n₀, l’initialisation doit être effectuée au rang n₀ plutôt qu’au rang 0.

📌 La récurrence forte permet de déduire 𝒫ₖ₊₁ en utilisant non seulement 𝒫ₖ, mais aussi les propriétés établies aux rangs précédents.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : lorsque, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\ge u_n$.

• Suite décroissante : lorsque, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\le u_n$.

• Pour étudier la monotonie d’une suite, on peut comparer uₙ₊₁ − uₙ, comparer le quotient uₙ₊₁/uₙ à 1 sous conditions de signe, étudier une fonction f telle que uₙ = f(n), ou utiliser une récurrence.