Fiche de révision : Électrocinétique et lois de Kirchhoff

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs électriques et régimes
2. Dipôles et résistances
3. Générateurs et caractéristiques
4. Lois de Kirchhoff
5. Sens algébriques des courants
6. Application des lois de Kirchhoff
7. Théorème de Thévenin
8. Théorème de superposition
9. Théorème de Norton
10. Théorème de Millman
11. Condensateurs et inductances

📖 1. Grandeurs électriques et régimes

🔑 Notions clés & Définitions

• Tension : Différence de potentiel entre deux points, mesurée en volts (V).
• Énergie électrique : Forme d’énergie de transfert.

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance électrique vérifie $P = U I$.

📌 En régime continu ou permanent, la tension U et l’intensité I sont constantes au cours du temps, tandis qu’en régime variable elles sont des fonctions du temps u(t) et i(t).

📐 Formule - Dans une résistance, la puissance dissipée en régime continu vaut $P=RI^2$ et, en régime périodique variable, sa valeur moyenne vaut $P=R I_{\mathrm{eff}}^2$.

Compléments

• Le courant électrique circule sans différence de potentiel uniquement dans le cas des supraconducteurs.

• Le watt (W) est l’unité de puissance correspondant au transfert de 1 joule d’énergie pendant 1 seconde, soit $1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{J/s}$.

📐 Formule - Un kilowattheure vaut $1\,\mathrm{kWh}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$.

📐 Formule - En régime variable, la puissance instantanée est $p(t)=u(t)i(t)$.

📖 2. Dipôles et résistances

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrocinétique : Élément situé entre deux bornes ou pôles A et B.
• Résistance électrique : Une résistance électrique linéaire vérifie la loi d’Ohm $U_{AB}=R I_{AB}$.
• Quadripôle électrocinétique : Élément entre quatre bornes A, B, C et D.

★ À maîtriser

📌 En convention générateur, le courant I et la tension U sont dans le même sens et le dipôle génère de la puissance ; en convention récepteur, ils sont en sens contraire et le dipôle consomme de la puissance.

• Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances : $R_{\mathrm{eq}}=\sum_{i=1}^{N}R_i$.

📐 Formule - Pour deux résistances en parallèle, leurs inverses s’additionnent : $\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$.

Compléments

📌 Un circuit ouvert impose un courant nul quelle que soit la tension, tandis qu’un court-circuit impose une tension nulle quel que soit le courant.

• Une résistance est un exemple de dipôle linéaire, tandis qu’une diode Zener est un exemple de dipôle non linéaire.

• La caractéristique d’un dipôle passif passe par l’origine, tandis que celle d’un dipôle actif ne passe pas par l’origine.

📖 3. Générateurs et caractéristiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Un générateur de tension parfait a une résistance interne nulle et vérifie $U_{AB}=E$.

📐 Formule - Un générateur de tension réel de résistance interne r vérifie la loi de Pouillet $U_{AB}=E-rI$. - Claude Pouillet

Compléments

• Claude Pouillet a introduit les notions de force électromotrice et de résistance interne des générateurs.

• Pour un générateur réel, la tension à vide vaut $U_{AB}=E$.

📐 Formule - Pour un générateur réel, le courant de court-circuit vaut $I=E/r$ lorsque $U=0$.

📐 Formule - La caractéristique d’un récepteur résistif vérifie $U=RI$, tandis que celle d’un générateur réel vérifie $U=E-rI$.

💡 Astuce mémo

Générateur parfait : tension fixe ; générateur réel : tension diminuée par rI.

📖 4. Lois de Kirchhoff

🔑 Notions clés & Définitions

• Nœud : Point de jonction entre au moins trois fils de connexion.
• Branche : Ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds.
• Maille : Ensemble de branches formant un circuit fermé, auquel on choisit une orientation.
• Réseau électrique : Ensemble de composants reliés par des fils, analysable en nœuds, branches et mailles.

★ À maîtriser

📌 La loi des nœuds, conséquence de la conservation de la charge électrique, stipule que la somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants qui en repartent. - Gustav Kirchhoff, 1845

📌 La loi des mailles stipule que la somme algébrique des tensions sur les branches d’une maille parcourue dans un sens déterminé est nulle. - Gustav Kirchhoff, 1845

Compléments

📐 Formule - Avec εk égal à +1 si le courant ik arrive au nœud et à −1 s’il en repart, la loi des nœuds s’écrit $\sum_k \varepsilon_k i_k=0$. - Gustav Kirchhoff, 1845

📐 Formule - Avec εk égal à +1 si la tension uk est orientée dans le sens de la maille et à −1 dans le cas contraire, la loi des mailles s’écrit $\sum_k \varepsilon_k u_k=0$. - Gustav Kirchhoff, 1845

📖 5. Sens algébriques des courants

★ À maîtriser

• Si le courant calculé est positif, son sens réel est celui qui a été choisi comme sens positif ; s’il est négatif, son sens réel est opposé.

Compléments

• Une fois le sens du courant choisi dans une branche, le sens de la tension est fixé.

• L’orientation d’une maille est arbitraire : inverser cette orientation change les signes de l’équation sans en changer le résultat physique.

💡 Astuce mémo

I > 0 suit le sens choisi ; I < 0 lui est opposé.

📖 6. Application des lois de Kirchhoff

★ À maîtriser

• Dans l’exemple 1, la loi des mailles donne u3 = +3 V, u1 = +4 V et u2 = −3 V.

• Dans l’exemple 1, la loi des nœuds donne i1 = −2 A, i3 = 0 A et i2 = 1 A.

Compléments

• Dans l’exemple 1, les résistances calculées sont RGH = 3 Ω, RGF = 1 Ω, RGB = 1,5 Ω, RDC = 3 Ω, RDE = 1 Ω et RCF = ∞.

• Pour calculer les tensions dans l’exemple 1, on choisit des mailles couvrant chaque branche, puis on applique la loi des mailles à ABGH, BCFG et CDEF.

📖 7. Théorème de Thévenin

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thévenin : Tout circuit linéaire peut être modélisé, entre deux bornes, par une source de tension en série avec une résistance.

★ À maîtriser

• Pour déterminer le modèle de Thévenin vu entre A et B, on retire le récepteur pour calculer ETh, puis on éteint les générateurs et on calcule la résistance vue entre A et B pour obtenir RTh.

Compléments

• Pour une source de tension de f.e.m. EG et de résistance interne RG en convention générateur, U = EG − RG I.

• Pour une source de tension idéale, la résistance interne RG est nulle.

• Dans l’exemple du générateur et du moteur, ETh = 114 V et RTh = 1,9 Ω ; le courant du moteur vaut IM = (114 − 100)/(1,9 + 10) = 1,176 A.

💡 Astuce mémo

Remplacer le réseau vu entre A et B par une source ETh en série avec RTh.

📖 8. Théorème de superposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de superposition : Dans un réseau linéaire alimenté par plusieurs sources indépendantes, le courant ou la tension d’une branche est la somme algébrique des contributions obtenues en faisant agir séparément chaque source, les autres étant éteintes.
• Source autonome : Une source est autonome si sa f.e.m. ou son courant électromoteur est indépendant des autres grandeurs du circuit ; sinon, elle est liée.

📝 Points essentiels

• Pour E = 120 V, e = 100 V, r = 2 Ω, R = 38 Ω et ρ = 10 Ω, l’application de la superposition donne I1 = 4,12 A, I2 = 2,94 A et I3 = 1,18 A.

💡 Astuce mémo

Une source active à la fois, les autres éteintes, puis somme algébrique.

📖 9. Théorème de Norton

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Norton : Tout circuit linéaire peut être modélisé par une source de courant en parallèle avec une résistance.
• Courant de court-circuit : Le courant circulant de A vers B lorsque A et B sont reliées par un conducteur de résistance nulle.

★ À maîtriser

• Le modèle de Norton équivalent au modèle de Thévenin vérifie ρN = RTh et hN = ETh/RTh.

Compléments

• Le courant électromoteur hN du générateur de Norton peut être déterminé directement par le courant de court-circuit Icc.

💡 Astuce mémo

Thévenin associe une tension en série ; Norton associe un courant en parallèle.

📖 10. Théorème de Millman

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Millman : Exprime la loi des nœuds en fonction des potentiels et permet de calculer la tension d’un nœud relié à plusieurs branches en parallèle.

★ À maîtriser

📐 Formule - La tension du nœud vérifie $V_0 = \frac{\sum_i V_i/R_i}{\sum_i 1/R_i}$.

Compléments

• La conductance Gi d’une branche est l’inverse de sa résistance Ri.

• Dans l’application du cours, la tension UAB vaut 111,76 V et le courant dans la résistance R = 38 Ω vaut 2,941 A.

📖 11. Condensateurs et inductances

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur : Constitué de deux armatures métalliques séparées par un diélectrique isolant.
• Bobine : Constituée par l’enroulement d’une grande longueur de fil conducteur et peut contenir un noyau de matériau magnétique.

★ À maîtriser

📐 Formule - La charge d’un condensateur vérifie $q(t)=C\,u(t)$.

• En régime continu permanent, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert et sa tension est constante.

📐 Formule - En convention récepteur, la tension d’une bobine de résistance interne r et d’inductance L vérifie $u(t)=r\,i(t)+L\,\frac{di(t)}{dt}$.

• En régime continu permanent, le courant dans une bobine est constant, donc sa tension inductive est nulle et la bobine se comporte comme un court-circuit.

Compléments

• Les charges électriques d’un condensateur sont localisées à la surface des conducteurs et son énergie est localisée dans le diélectrique.

📐 Formule - En convention récepteur, le courant de charge du condensateur vérifie $i(t)=C\,\frac{du(t)}{dt}$.

💡 Astuce mémo

En régime continu permanent, le condensateur est ouvert et l’inductance est un court-circuit.

📊 Tableaux de synthèse

Modèles équivalents des circuits linéaires