Fiche de révision : Probabilités conditionnelles

📋 Plan du Cours

1. Arbre pondéré et règles de calcul
2. Événement contraire
3. Probabilité conditionnelle
4. Intersection de deux événements
5. Formule des probabilités totales
6. Réunion de deux événements
7. Applications aux situations aléatoires

📖 1. Arbre pondéré et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Branche : Segment reliant deux nœuds, chacun représentant un événement.
• Chemin : Succession de branches aboutissant à un événement.

📝 Points essentiels

• Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud vaut 1.

• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches qui le composent.

• La probabilité d’un événement obtenu par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

📖 2. Événement contraire

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : L’événement contraire Ā d’un événement A vérifie A ∪ Ā = Ω et A ∩ Ā = ∅.

💡 Astuce mémo

A et son contraire Ā sont disjoints, mais leur réunion forme Ω.

📖 3. Probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé se note p_B(A), à condition que B ne soit pas l’événement impossible.

★ À maîtriser

📌 En général, $p_B(A) \ne p_A(B)$.

Compléments

📐 Formule - La probabilité conditionnelle de l’événement contraire de A sachant B vérifie $p_B(\overline{A}) = 1 - p_B(A)$.

📖 4. Intersection de deux événements

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B non impossibles, $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = p(B) \times p_B(A)$.

Compléments

📐 Formule - La probabilité conditionnelle de A sachant B vérifie $p_B(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$ lorsque B n’est pas impossible.

📖 5. Formule des probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Les événements B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de Ω lorsqu’ils constituent les événements d’une partition de l’univers.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de Ω, alors, pour tout événement A, $p(A) = p(B_1 \cap A) + p(B_2 \cap A) + \cdots + p(B_n \cap A)$.

📖 6. Réunion de deux événements

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.

📖 7. Applications aux situations aléatoires

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple des spectateurs, la probabilité qu’un spectateur soit jeune vaut 0,32.

• Dans l’exemple du club de vacances, la probabilité qu’un client ayant participé aux activités nautiques ait fait la randonnée vaut 1/3.