Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Parabole et coefficient directeur
3. Sommet et forme canonique
4. Variations et extrema
5. Factorisation et racines
6. Lecture graphique et coordonnées

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.

★ À maîtriser

📌 Un trinôme du second degré peut s’écrire sous forme développée ax² + bx + c, forme canonique a(x − α)² + β et, lorsque la factorisation est possible, forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂).

Compléments

• Dans la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), x₁ et x₂ sont les racines de la fonction.

📖 2. Parabole et coefficient directeur

★ À maîtriser

• La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole.

📌 Si a > 0, la parabole est orientée vers le haut ; si a < 0, elle est orientée vers le bas.

Compléments

• La parabole coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; c), où c = f(0).

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut ; a < 0 : parabole vers le bas

📖 3. Sommet et forme canonique

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la forme canonique f(x) = a(x − α)² + β, on a $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

• Le sommet de la parabole associée à f(x) = a(x − α)² + β a pour coordonnées S(α ; β).

Compléments

• L’axe de symétrie de la parabole a pour équation x = α.

📐 Formule - Lorsque la fonction possède deux racines x₁ et x₂, l’abscisse du sommet vérifie $\alpha = \frac{x_1+x_2}{2}$.

📖 4. Variations et extrema

★ À maîtriser

📌 Si a > 0, la fonction décroît jusqu’à x = α puis croît, et son minimum vaut β, atteint en x = α.

📌 Si a < 0, la fonction croît jusqu’à x = α puis décroît, et son maximum vaut β, atteint en x = α.

Compléments

• La valeur β du sommet permet de résoudre des problèmes d’optimisation.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 5. Factorisation et racines

★ À maîtriser

• Pour résoudre f(x) = 0 à partir de f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), on annule chaque facteur, ce qui donne x = x₁ ou x = x₂.

Compléments

• Les identités remarquables permettent de factoriser a² + 2ab + b² en (a + b)², a² − 2ab + b² en (a − b)² et a² − b² en (a + b)(a − b).

• La fonction f(x) = 3x² + 12x − 36 s’écrit 3(x − 2)(x + 6) et ses racines sont 2 et −6.

📖 6. Lecture graphique et coordonnées

📝 Points essentiels

• L’équation de la courbe représentative d’une fonction f est y = f(x).

• Pour l(x) = −x² − 6x + 7, la forme canonique est −(x + 3)² + 16, le sommet est S(−3 ; 16), l’ordonnée à l’origine vaut 7 et les intersections avec l’axe des abscisses sont (1 ; 0) et (−7 ; 0).