QCM : Probabilités conditionnelles (13 questions)

Question 1

1. À un nœud d’un arbre pondéré, les deux branches indiquent respectivement une probabilité de 0,37 et une probabilité inconnue. Quelle valeur doit avoir cette dernière probabilité ?

0,37

1,37

0,63

0,13

Explication

Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont pour somme 1 : la probabilité manquante vaut donc $1-0,37=0,63$ . La valeur 0,13 complète jusqu’à 0,5, 1,37 résulte d’une addition et 0,37 recopie la première branche.

Answer

$$A\cup\overline{A}=\Omega$$ et $$A\cap\overline{A}=\varnothing$$

Answer

La probabilité que $$A$$ se réalise sachant que $$B$$ est réalisé

Answer

$$p_B(A)$$ et $$p_A(B)$$ ne sont pas égales en général

Answer

$$0{,}12$$

Answer

$$p(B_1\cap A)+p(B_2\cap A)+p(B_3\cap A)$$

Answer

Ils constituent les événements d’une partition de l’univers.

Answer

$$0{,}67$$

Answer

$$\frac{1}{3}$$

Question 2

2. Un chemin d’un arbre pondéré comporte trois branches successives de probabilités 0,6, 0,25 et 0,8. Quelle est la probabilité de ce chemin ?

0,92

0,15

0,12

1,65

Explication

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $0,6\times0,25\times0,8=0,12$ . La somme donne 1,65, omettre la dernière branche donne 0,15, et multiplier les deux premières avant d’ajouter la troisième donne 0,92.

Question 3

3. Dans un arbre, un événement peut être obtenu par deux chemins distincts, de probabilités 0,18 et 0,27. Quelle est la probabilité de cet événement ?

0,09

0,27

0,45

0,0486

Explication

La probabilité d’un événement réalisé par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins : $0,18+0,27=0,45$ . Le produit 0,0486 confond la règle des chemins avec celle des branches, 0,27 néglige un chemin et 0,09 correspond à une différence.

Question 4

4. Pour deux événements A et son contraire, quelle relation décrit correctement leur union et leur intersection ?

A\cup\overline{A}=\Omega

et

A\cap\overline{A}=\varnothing

A\cup\overline{A}=\varnothing

et

A\cap\overline{A}=\Omega

A\cup\overline{A}=\Omega

et

A\cap\overline{A}\ne\varnothing

A\cup\overline{A}\ne\Omega

et

A\cap\overline{A}=\varnothing

Explication

L’événement contraire complète A pour former l’univers Ω, et il ne peut se produire en même temps qu'A : leur union vaut Ω et leur intersection est vide. Les autres relations omettent la couverture de l’univers, rendent l’intersection non vide ou inversent les deux propriétés.

Question 5

5. Dans une expérience aléatoire, que désigne la notation $p_B(A)$ lorsque l’événement $B$ n’est pas impossible ?

La probabilité que

B

se réalise sachant que

A

est réalisé

La probabilité que

A

et

B

se réalisent simultanément

La probabilité que

A

se réalise sachant que

B

est réalisé

La probabilité que

A

se réalise sans condition sur

B

Explication

Dans $p_B(A)$ , l’indice indique que l’on sait que $B$ est réalisé et l’on évalue la probabilité de $A$ . Intervertir les événements donne $p_A(B)$ , tandis qu’une intersection ou une probabilité sans condition désigne une autre quantité.

Question 6

6. Dans une enquête, $A$ désigne le fait qu’une personne pratique un sport et $B$ le fait qu’elle lise régulièrement. Quelle affirmation faut-il retenir lorsqu’on compare les deux probabilités conditionnelles ?

p_B(A)

et

p_A(B)

ne sont pas égales en général

p_B(A)

est égale à

p(A)

dans toute situation

p_B(A)

est égale à

p(A \cap B)

dans toute situation

p_B(A)

et

p_A(B)

sont égales dans toute situation

Explication

Changer l’événement connu modifie le conditionnement : en général, $p_B(A) \ne p_A(B)$ . L’égalité systématique supposerait à tort une symétrie, et une probabilité conditionnelle ne se confond pas automatiquement avec une intersection ou une probabilité simple.

Question 7

7. Dans une expérience, $p(A)=0{,}4$ et $p_A(B)=0{,}3$ . Quelle est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent simultanément ?

0{,}70

0{,}12

0{,}30

0{,}40

Explication

La formule de l’intersection donne $p(A \cap B)=p(A)\times p_A(B)=0{,}4\times0{,}3=0{,}12$ . L’addition, l’emploi de la conditionnelle inversée ou le remplacement de celle-ci par une probabilité simple ne respecte pas cette formule.

Question 8

8. On sait que $p(B)=0{,}5$ et que $p(A \cap B)=0{,}15$ . Quelle est la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé ?

3{,}33

0{,}075

0{,}3

0{,}15

Explication

Lorsque $B$ n’est pas impossible, $p_B(A)=\frac{p(A \cap B)}{p(B)}$ , donc $0{,}15\div0{,}5=0{,}3$ . Inverser le quotient, utiliser $p(A)$ au dénominateur ou reprendre l’intersection seule mène à une autre quantité.

Question 9

9. Une expérience a trois issues de cas possibles qui forment une partition de l’univers : $B_1$ , $B_2$ et $B_3$ . Pour un événement $A$ , comment exprimer $p(A)$ à partir de ces cas ?

p(B_1\cap A)+p(B_2\cap A)+p(B_3\cap A)

p(B_1\cap A)+p(B_2\cap A)-p(B_3\cap A)

p(B_1\cap A)\times p(B_2\cap A)\times p(B_3\cap A)

p(B_1)+p(B_2)+p(B_3)

Explication

Comme les $B_i$ forment une partition, la probabilité de $A$ est la somme des probabilités des intersections de $A$ avec chacun des cas. Additionner les cas seuls ne tient pas compte de $A$ , la soustraction omet une partie de la somme et le produit applique une mauvaise opération.

Question 10

10. Dans une expérience, quelle propriété décrit correctement des événements $B_1, B_2,\ldots,B_n$ qui forment une partition de l’univers $\Omega$ ?

Ils constituent un seul événement de l’univers.

Ils ont tous la même probabilité dans l’univers.

Ils couvrent une partie de l’univers sans former sa partition.

Ils constituent les événements d’une partition de l’univers.

Explication

Former une partition signifie que les événements considérés constituent une partition de l’univers. Cette notion ne signifie ni qu’il s’agit d’un seul événement, ni que leurs probabilités sont égales, ni que l’univers n’est que partiellement couvert.

Question 11

11. Dans une expérience, $p(A)=0{,}46$ , $p(B)=0{,}35$ et $p(A\cap B)=0{,}14$ . Quelle est la probabilité que $A$ ou $B$ se réalise ?

0{,}81

0{,}53

0{,}67

0{,}95

Explication

Pour une réunion, on additionne les probabilités des deux événements puis on retranche leur intersection, comptée deux fois : $0{,}46+0{,}35-0{,}14=0{,}67$ . La somme sans correction vaut $0{,}81$ , tandis que soustraire deux fois ou ajouter l’intersection donne un résultat erroné.

Question 12

12. Dans l’étude des spectateurs du cinéma, quelle est la probabilité qu’un spectateur choisi au hasard soit jeune ?

0,40

0,60

0,32

0,68

Explication

La probabilité qu’un spectateur soit jeune est de 0,32. La valeur 0,60 correspond au taux d’abonnement, tandis que 0,68 et 0,40 résultent de confusions avec des compléments ou d’autres probabilités.

Question 13

13. Dans un club de vacances, parmi les clients ayant participé aux activités nautiques, quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard ait aussi fait la randonnée ?

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{1}{3}

Explication

La probabilité conditionnelle de la randonnée sachant que le client a participé aux activités nautiques vaut $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{2}$ inverse le conditionnement, $\frac{1}{4}$ confond cette probabilité avec une intersection et $\frac{2}{3}$ correspond à une mauvaise lecture de la proportion conditionnelle.

QCM : Probabilités conditionnelles (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À un nœud d’un arbre pondéré, les deux branches indiquent respectivement une probabilité de 0,37 et une probabilité inconnue. Quelle valeur doit avoir cette dernière probabilité ?

2. Un chemin d’un arbre pondéré comporte trois branches successives de probabilités 0,6, 0,25 et 0,8. Quelle est la probabilité de ce chemin ?

3. Dans un arbre, un événement peut être obtenu par deux chemins distincts, de probabilités 0,18 et 0,27. Quelle est la probabilité de cet événement ?

4. Pour deux événements A et son contraire, quelle relation décrit correctement leur union et leur intersection ?

5. Dans une expérience aléatoire, que désigne la notation $p_B(A)$ lorsque l’événement $B$ n’est pas impossible ?

6. Dans une enquête, $A$ désigne le fait qu’une personne pratique un sport et $B$ le fait qu’elle lise régulièrement. Quelle affirmation faut-il retenir lorsqu’on compare les deux probabilités conditionnelles ?

7. Dans une expérience, $p(A)=0{,}4$ et $p_A(B)=0{,}3$ . Quelle est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent simultanément ?

8. On sait que $p(B)=0{,}5$ et que $p(A \cap B)=0{,}15$ . Quelle est la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé ?

9. Une expérience a trois issues de cas possibles qui forment une partition de l’univers : $B_1$ , $B_2$ et $B_3$ . Pour un événement $A$ , comment exprimer $p(A)$ à partir de ces cas ?

10. Dans une expérience, quelle propriété décrit correctement des événements $B_1, B_2,\ldots,B_n$ qui forment une partition de l’univers $\Omega$ ?

11. Dans une expérience, $p(A)=0{,}46$ , $p(B)=0{,}35$ et $p(A\cap B)=0{,}14$ . Quelle est la probabilité que $A$ ou $B$ se réalise ?

12. Dans l’étude des spectateurs du cinéma, quelle est la probabilité qu’un spectateur choisi au hasard soit jeune ?

13. Dans un club de vacances, parmi les clients ayant participé aux activités nautiques, quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard ait aussi fait la randonnée ?

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QCM : Probabilités conditionnelles (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À un nœud d’un arbre pondéré, les deux branches indiquent respectivement une probabilité de 0,37 et une probabilité inconnue. Quelle valeur doit avoir cette dernière probabilité ?

2. Un chemin d’un arbre pondéré comporte trois branches successives de probabilités 0,6, 0,25 et 0,8. Quelle est la probabilité de ce chemin ?

3. Dans un arbre, un événement peut être obtenu par deux chemins distincts, de probabilités 0,18 et 0,27. Quelle est la probabilité de cet événement ?

4. Pour deux événements A et son contraire, quelle relation décrit correctement leur union et leur intersection ?

5. Dans une expérience aléatoire, que désigne la notation pB(A)p_B(A)pB​(A) lorsque l’événement BBB n’est pas impossible ?

6. Dans une enquête, AAA désigne le fait qu’une personne pratique un sport et BBB le fait qu’elle lise régulièrement. Quelle affirmation faut-il retenir lorsqu’on compare les deux probabilités conditionnelles ?

7. Dans une expérience, p(A)=0,4p(A)=0{,}4p(A)=0,4 et pA(B)=0,3p_A(B)=0{,}3pA​(B)=0,3. Quelle est la probabilité que AAA et BBB se réalisent simultanément ?

8. On sait que p(B)=0,5p(B)=0{,}5p(B)=0,5 et que p(A∩B)=0,15p(A \cap B)=0{,}15p(A∩B)=0,15. Quelle est la probabilité de AAA sachant que BBB est réalisé ?

9. Une expérience a trois issues de cas possibles qui forment une partition de l’univers : B1B_1B1​, B2B_2B2​ et B3B_3B3​. Pour un événement AAA, comment exprimer p(A)p(A)p(A) à partir de ces cas ?

10. Dans une expérience, quelle propriété décrit correctement des événements B1,B2,…,BnB_1, B_2,\ldots,B_nB1​,B2​,…,Bn​ qui forment une partition de l’univers Ω\OmegaΩ ?

11. Dans une expérience, p(A)=0,46p(A)=0{,}46p(A)=0,46, p(B)=0,35p(B)=0{,}35p(B)=0,35 et p(A∩B)=0,14p(A\cap B)=0{,}14p(A∩B)=0,14. Quelle est la probabilité que AAA ou BBB se réalise ?

12. Dans l’étude des spectateurs du cinéma, quelle est la probabilité qu’un spectateur choisi au hasard soit jeune ?

13. Dans un club de vacances, parmi les clients ayant participé aux activités nautiques, quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard ait aussi fait la randonnée ?

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5. Dans une expérience aléatoire, que désigne la notation $p_B(A)$ lorsque l’événement $B$ n’est pas impossible ?

6. Dans une enquête, $A$ désigne le fait qu’une personne pratique un sport et $B$ le fait qu’elle lise régulièrement. Quelle affirmation faut-il retenir lorsqu’on compare les deux probabilités conditionnelles ?

7. Dans une expérience, $p(A)=0{,}4$ et $p_A(B)=0{,}3$ . Quelle est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent simultanément ?

8. On sait que $p(B)=0{,}5$ et que $p(A \cap B)=0{,}15$ . Quelle est la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé ?

9. Une expérience a trois issues de cas possibles qui forment une partition de l’univers : $B_1$ , $B_2$ et $B_3$ . Pour un événement $A$ , comment exprimer $p(A)$ à partir de ces cas ?

10. Dans une expérience, quelle propriété décrit correctement des événements $B_1, B_2,\ldots,B_n$ qui forment une partition de l’univers $\Omega$ ?

11. Dans une expérience, $p(A)=0{,}46$ , $p(B)=0{,}35$ et $p(A\cap B)=0{,}14$ . Quelle est la probabilité que $A$ ou $B$ se réalise ?