Fiche de révision : Électromagnétisme et électrocinétique

📋 Plan du Cours

1. Applications de l’électricité statique
2. Sources et risques électrostatiques
3. Champ électrique et lignes de champ
4. Travail et potentiel électriques
5. Différence de potentiel électrique
6. Conducteurs en équilibre électrostatique
7. Courant et résistance des conducteurs
8. Polarisation des milieux diélectriques
9. Déplacement électrique et capacité
10. Champ magnétique et ses sources
11. Forces et circuits magnétiques
12. Force de Laplace
13. Induction électromagnétique
14. Lois fondamentales des circuits
15. Dipôles linéaires et sources
16. Équivalents et théorèmes de réseau
17. Dualité des circuits

📖 1. Applications de l’électricité statique

★ À maîtriser

• Dans la peinture électrostatique, des gouttelettes de peinture chargées négativement sont projetées sur un support chargé positivement, car des charges de signes contraires s’attirent.

Compléments

• La xérographie, procédé d’impression électrostatique inventé par Chester Floyd Carlson en 1948, est utilisée par les photocopieurs depuis 1960.

• Dans un allume-gaz piézoélectrique, une pression mécanique sur un cristal déplace ses atomes, provoque le déplacement rapide de charges et produit un petit arc électrique permettant l’allumage.

• Les filtres électrostatiques industriels, aussi appelés précipitateurs électrostatiques, captent les particules polluantes chargées et les accumulent sur une plaque chargée positivement.

• Les séparateurs électrostatiques triboélectriques trient des déchets plastiques secs en exploitant les différences de conductivité des particules chargées par frottements intensifs, puis leur attraction ou leur répulsion.

📖 2. Sources et risques électrostatiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Électricité statique : L’électricité statique apparaît lorsqu’une matière perd sa neutralité électrique à la suite d’un déséquilibre entre ses protons et ses électrons.

★ À maîtriser

• Un récepteur peut être électrisé par : induction lorsqu’il est placé à proximité de la source, conduction lorsqu’il est mis en contact avec la source, frottement lorsqu’il se frotte à la source

Compléments

• Une matière neutre contient autant de charges positives, portées par les protons, que de charges négatives, portées par les électrons.

• 🔄 L’analyse des risques électrostatiques consiste à : connaître l’origine de la formation des sources d’électricité statique, détecter l’accumulation des charges électriques, analyser les modes d’évacuation des charges électriques

• Les solutions proposées au poste de travail comprennent : interconnecter tous les conducteurs au même potentiel et les mettre à la terre, équiper les opérateurs de vêtements, de chaussures ou de bracelets antistatiques, mettre en place un revêtement de sol conducteur

📖 3. Champ électrique et lignes de champ

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrique : Le champ électrique est le champ physique créé par des particules chargées, qui modifie localement l’espace et peut agir sur d’autres charges.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une charge ponctuelle source $q$ crée, à une distance $r$ dans le vide électrostatique, un champ de norme $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}$, orienté radialement selon le signe de la charge.

• Les lignes de champ sont tangentes au vecteur champ en chaque point, perpendiculaires aux surfaces équipotentielles en électrostatique, orientées des charges positives vers les charges négatives et ne se croisent pas sauf aux points où le champ est nul ou non défini.

Compléments

📌 Deux charges de même signe se repoussent, tandis que deux charges de signes opposés s’attirent.

• Une ligne de champ dépourvue de point singulier ne peut pas être une courbe fermée.

📖 4. Travail et potentiel électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel électrique : Le potentiel électrique est un scalaire défini dans l’espace, qui permet de reconstruire le champ électrostatique créé par une charge ou une distribution de charges.
• Énergie électrostatique : L’énergie électrostatique d’une charge placée dans un champ électrique est le travail à fournir pour l’amener quasi statiquement de l’infini à sa position finale.

★ À maîtriser

• Le travail élémentaire de la force électrostatique sur une charge ponctuelle $q_{\mathrm{test}}$ lors d’un déplacement élémentaire $d\vec{r}$ vaut $dW = \vec{F}\cdot d\vec{r} = q_{\mathrm{test}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$.

• Le travail de la force électrostatique entre deux points dépend uniquement de leurs positions et non du chemin suivi.

Compléments

📐 Formule - Le champ électrique et le potentiel sont reliés par $\vec{E} = -\vec{\nabla}V$.

📖 5. Différence de potentiel électrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un déplacement de A vers B le long d’une ligne de champ, la différence de potentiel vérifie $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{l} = \frac{\Delta W}{q}$.

Compléments

• La différence de potentiel entre A et B dépend uniquement de la circulation du champ électrique entre ces deux points et se mesure en volts (V).

💡 Astuce mémo

Inverser A et B inverse le signe de la circulation.

📖 6. Conducteurs en équilibre électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Conducteur électrique : Milieu dans lequel des charges électriques, notamment des électrons ou des ions, sont libres de se déplacer.

★ À maîtriser

• Dans un conducteur en équilibre électrostatique, le champ électrique intérieur est nul, les charges sont localisées en surface et le champ à la surface est normal à celle-ci.

• Le potentiel électrique est constant dans tout conducteur en équilibre électrostatique, donc la différence de potentiel entre deux points de ce conducteur est nulle.

Compléments

• Les conducteurs classiques comprennent :
  • les métaux
  • les électrolytes
  • les gaz ionisés

📌 À l’équilibre électrostatique, aucune charge ne se déplace de manière ordonnée et le courant est nul, tandis qu’un déplacement de charges correspond à un état hors équilibre.

📐 Formule - Pour un conducteur en équilibre électrostatique chargé, le champ à sa surface est normal et vérifie $E_n = \frac{\sigma}{\varepsilon}$.

💡 Astuce mémo

Champ extérieur → charges de surface → champ intérieur nul.

📖 7. Courant et résistance des conducteurs

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intensité du courant est la quantité de charge traversant une section par unité de temps : $I = \frac{dQ}{dt}$.

📐 Formule - Dans un conducteur, la densité de courant et le champ électrique vérifient $\vec{J} = k\vec{E}$, où $k$ est la conductivité et la résistivité est son inverse.

📐 Formule - La loi d’Ohm définit la résistance entre les extrémités d’un conducteur par $R = \frac{U}{I}$.

Compléments

📐 Formule - La vitesse moyenne des électrons libres est liée au champ électrique par $\vec{v} = -\mu\vec{E}$, où $\mu$ est leur mobilité, définie positive.

📐 Formule - La densité de courant est liée à la vitesse des charges par $\vec{J} = nq\vec{v}$, où $n$ est le nombre de porteurs par unité de volume et $q$ leur charge élémentaire.

📐 Formule - Pour un conducteur homogène de longueur $l$, de section $S$ et de résistivité $\rho$, la résistance vaut $R = \rho\frac{l}{S}$.

📖 8. Polarisation des milieux diélectriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Polarisation électrique : Densité de moment dipolaire dans un volume élémentaire du milieu.
• Milieu diélectrique : Milieu où les charges électriques ont une mobilité réduite et où les électrons restent fortement liés aux atomes.
• Dipôle électrostatique : Système formé de deux charges ponctuelles de même valeur, de signes opposés et séparées par une distance non nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule - À l’échelle macroscopique, la polarisation est proportionnelle au champ électrique selon $\vec{P} = \chi\vec{E}$, où $\chi$ est la susceptibilité électrique.

Compléments

📐 Formule - Le moment dipolaire d’un dipôle de charges opposées est défini par $\vec{p} = q\vec{d}$.

• La polarisation d’un diélectrique est assimilable à un courant capacitif, absent sous champ continu et présent sous champ électrique variable.

• Les diélectriques connus comprennent :

  • l’air
  • les isolants de câbles électriques
  • le bois sec
  • les huiles isolantes
  • les verres
  • les céramiques

💡 Astuce mémo

Champ appliqué → dipôles orientés → polarisation.

📖 9. Déplacement électrique et capacité

★ À maîtriser

📐 Formule - Le flux du champ de déplacement à travers une surface fermée vérifie $\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S} = Q$.

📐 Formule - Dans un diélectrique, le champ de déplacement vérifie $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P} = \varepsilon\vec{E}$.

📐 Formule - La capacité d’un système de deux conducteurs est le rapport de la charge accumulée à la différence de potentiel : $C = \frac{Q}{U}$.

Compléments

📐 Formule - Dans le vide, le champ de déplacement et le champ électrique sont liés par $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}$.

📐 Formule - Pour un condensateur plan, la différence de potentiel entre deux conducteurs séparés par une distance $d$ dans un champ homogène vaut $U = Ed$.

📐 Formule - La capacité d’un condensateur plan de surface d’électrode $S$ et d’écartement $d$ vaut $C = \varepsilon\frac{S}{d}$.

📐 Formule - La capacité d’un câble coaxial de longueur $l$, de rayon intérieur $R_1$ et de rayon intérieur du conducteur externe $R_2$ vaut $C = \frac{2\pi\varepsilon l}{\ln(R_2/R_1)}$.

📖 10. Champ magnétique et ses sources

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ magnétique : Champ vectoriel qui modélise les effets magnétiques du courant électrique et des matériaux magnétiques.
• Aimant : Corps qui attire le fer et possède deux pôles, nord et sud.

★ À maîtriser

📌 Le champ d’excitation magnétique se note $\vec{H}$ et s’exprime en ampères par mètre, tandis que le champ d’induction magnétique se note $\vec{B}$ et s’exprime en teslas.

• Un conducteur parcouru par un courant électrique est une source de champ magnétique, comme les spires et les bobines.

📐 Formule - La loi de Biot et Savart donne le champ d’induction élémentaire créé par un élément de circuit parcouru par un courant : $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}$.

📐 Formule - Le théorème d’Ampère relie la circulation du champ d’induction le long d’un contour fermé au courant algébrique enlacé : $\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enlacé}}$.

Compléments

📐 Formule - Dans le vide, les champs d’induction et d’excitation magnétiques sont liés par $\vec{B} = \mu_0\vec{H}$.

📌 Deux pôles magnétiques de même nom se repoussent, tandis que deux pôles de noms contraires s’attirent.

• Hans Christian Œrsted met en évidence le lien entre électricité et magnétisme dans les années 1820 en observant la déviation d’une boussole près d’un fil parcouru par un courant.

• En 1864, James Clerk Maxwell propose une théorie générale unifiant l’électrodynamique et le magnétisme. - James-Clerck Maxwell, 1860

💡 Astuce mémo

Aimant permanent ou courant électrique : deux sources de champ magnétique.

📖 11. Forces et circuits magnétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux magnétique : Intégrale du produit scalaire du champ d’induction par l’élément de surface orienté, exprimée en webers.
• Force magnétomotrice : Circulation du champ d’excitation magnétique entre deux points d’un circuit magnétique, exprimée en ampères.
• Réluctance magnétique : Grandeur qui quantifie l’opposition d’un milieu ferromagnétique à la pénétration du champ magnétique.

★ À maîtriser

📐 Formule - La force de Lorentz est la somme des composantes électrique et magnétique : $\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v}\times\vec{B}$.

Compléments

📐 Formule - Dans un milieu ferromagnétique, le théorème d’Ampère s’écrit pour le champ d’excitation $\oint_C \vec{H}\cdot d\vec{l} = I_{\mathrm{enlacé}}$.

📐 Formule - La réluctance d’un circuit magnétique est le rapport de la force magnétomotrice au flux magnétique : $R_m = \frac{U_m}{\Phi}$.

📐 Formule - La force électrique exercée sur une charge $q$ dans un champ électrique est $\vec{F}_e = q\vec{E}$.

📐 Formule - La force magnétique exercée sur une charge $q$ animée d’une vitesse $\vec{v}$ dans un champ magnétique est $\vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B}$.

📖 12. Force de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Laplace : Somme des forces de Lorentz exercées sur les charges mobiles d’un conducteur parcouru par un courant et soumis à un champ magnétique extérieur.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un conducteur rectiligne élémentaire, la force de Laplace vérifie $d\vec{F}=I\,d\vec{l}\times\vec{B}$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque le conducteur est perpendiculaire au champ magnétique, l’intensité de la force élémentaire vérifie $dF=I\,dl\,B$.

📖 13. Induction électromagnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Induction électromagnétique : Interaction entre les charges mobiles d’un conducteur et un champ magnétique extérieur variable relativement à leur position, qui fait se comporter le conducteur comme un générateur électrocinétique.
• Auto-induction : Propriété d’un conducteur parcouru par un courant variable de s’opposer aux variations de ce courant.

★ À maîtriser

📌 L’induction de Lorentz apparaît lorsqu’un conducteur se déplace dans un champ magnétique constant, tandis que l’induction de Neumann apparaît lorsqu’un conducteur fixe est placé dans un champ magnétique variable.

📐 Formule - L’équation de Maxwell-Faraday relie le rotationnel du champ électrique à la variation temporelle du champ magnétique selon $\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$.

📐 Formule - La loi de Faraday donne la force électromotrice induite par la variation du flux magnétique selon $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}$.

📌 Selon la loi de Lenz, le courant induit circule dans un sens tel que le flux qu’il crée s’oppose à la variation du flux inducteur.

Compléments

• Dans une machine à courant continu, l’inducteur est la partie fixe qui fournit le champ constant et l’induit est la partie tournante qui se déplace.

• L’induction de Neumann est exploitée dans les machines synchrones, les machines asynchrones et les transformateurs électriques.

📌 En induction, la tension entre deux extrémités ne se confond pas avec une différence de potentiel, car la différence de potentiel perd son sens physique dans ce cas.

📐 Formule - Pour un conducteur d’inductance propre L parcouru par un courant i, le flux magnétique vérifie $\Phi=Li$.

📐 Formule - La force électromotrice d’auto-induction vérifie $\mathcal{E}=-L\frac{di}{dt}$ lorsque l’inductance L est constante.

💡 Astuce mémo

Lorentz : conducteur mobile dans un champ constant ; Neumann : conducteur fixe dans un champ variable.

📖 14. Lois fondamentales des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Courant électrique : Circulation, au cours du temps, de porteurs de charges électriques dans un matériau conducteur.
• Intensité du courant : Grandeur qui quantifie le débit de charges électriques à travers une section du circuit et s’exprime en ampères.
• Dipôle électrique : Composant de circuit qui comporte deux bornes et impose généralement une relation entre la tension à ses bornes et le courant qui le traverse.

★ À maîtriser

📌 La loi des nœuds de Kirchhoff impose que la somme algébrique des courants orientés vers un nœud soit nulle, avec un signe positif pour un courant entrant et négatif pour un courant sortant.

📌 La loi des mailles de Kirchhoff impose que la somme algébrique des tensions parcourues dans un sens donné le long d’une maille soit nulle.

Compléments

• Un ampère correspond au passage d’un coulomb par seconde, soit environ 6,24 × 10¹⁸ électrons par seconde.

📌 Un dipôle actif peut produire un courant électrique, tandis qu’un dipôle passif reçoit le courant électrique.

📐 Formule - La puissance instantanée d’un dipôle vérifie $p=ui$ ; elle est consommée selon la convention récepteur et fournie selon la convention générateur.

📖 15. Dipôles linéaires et sources

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle linéaire : Élément de circuit dont la tension et le courant sont liés par une équation différentielle à coefficients constants.
• Source idéale de tension : Dipôle actif qui impose une tension constante à ses bornes, tandis que le courant qu’il débite dépend du récepteur.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une résistance, la relation courant-tension est $u=Ri$ et la conductance vérifie $G=\frac{1}{R}$.

📐 Formule - Pour un condensateur, le courant et la tension vérifient $i=C\frac{du}{dt}$.

📐 Formule - Pour une bobine d’inductance L, la tension et le courant vérifient $u=L\frac{di}{dt}$.

Compléments

📐 Formule - La puissance dissipée par une résistance vérifie $p=Ri^2$ et est positive à chaque instant.

📐 Formule - Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances : $R_{eq}=\sum_k R_k$.

📐 Formule - Pour des résistances en parallèle, l’inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses : $\frac{1}{R_{eq}}=\sum_k\frac{1}{R_k}$.

📌 La tension aux bornes d’un condensateur ne peut pas subir de discontinuité, car cela nécessiterait un courant d’intensité infinie.

📐 Formule - Pour des condensateurs en parallèle, la capacité équivalente vérifie $C_{eq}=\sum_k C_k$, tandis qu’en série elle vérifie $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_k\frac{1}{C_k}$.

📌 Le courant traversant une bobine ne peut pas subir de discontinuité, car cela nécessiterait une tension infinie à ses bornes.

• Pour des bobines non couplées en série, l’inductance équivalente est la somme des inductances et, en parallèle, l’inverse de l’inductance équivalente est la somme de leurs inverses.

• Supprimer une source idéale de tension revient à la remplacer par un court-circuit.

• Supprimer une source idéale de courant revient à ouvrir le circuit à son emplacement.

• Des sources idéales de tension peuvent être associées en série en reliant le pôle positif de l’une au pôle négatif de la suivante, et leurs tensions s’ajoutent.

• Des sources idéales de courant peuvent être associées en parallèle avec leurs pôles de même signe reliés ensemble, et leurs courants s’ajoutent.

📖 16. Équivalents et théorèmes de réseau

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un diviseur résistif en série, la tension aux bornes de la résistance R_i vaut $U_i=U_{tot}\frac{R_i}{\sum_k R_k}$.

📐 Formule - Dans un diviseur résistif en parallèle, le courant dans la branche de conductance G_i vaut $I_i=I_{tot}\frac{G_i}{\sum_k G_k}$.

• Un réseau linéaire vu entre deux bornes est équivalent, selon Thévenin, à une source idéale de tension égale à la tension à vide en série avec une résistance mesurée après remplacement des sources indépendantes par leurs résistances internes.

• Un réseau linéaire vu entre deux bornes est équivalent, selon Norton, à une source idéale de courant égal au courant de court-circuit en parallèle avec une résistance mesurée après remplacement des sources indépendantes par leurs résistances internes.

• Dans un réseau linéaire, le théorème de superposition donne une tension ou un courant total égal à la somme des contributions calculées avec une seule source indépendante active à la fois et les autres rendues passives.

Compléments

📐 Formule - Les équivalents de Thévenin et de Norton sont liés par $E_{Th}=R_{Th}I_N$ et $R_{Th}=R_N$.

📌 Pour déterminer l’équivalent de Thévenin ou de Norton d’un réseau alimentant une charge, il faut d’abord débrancher cette charge.

📌 Le théorème de Millman détermine la tension entre deux nœuds en divisant la somme des produits des tensions de branche par leurs admittances par la somme des admittances.

📐 Formule - Dans une maille série composée de sources de tension et de résistances, la loi de Pouillet donne $I=\frac{\sum_k \varepsilon_k E_k}{\sum_i R_i}$, où $\varepsilon_k=+1$ si la source est orientée dans le sens du courant et $\varepsilon_k=-1$ sinon.

📖 17. Dualité des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit dual : Circuit dans lequel les tensions prennent les valeurs des courants du circuit initial et réciproquement.
• Dipôle dual : Le dipôle dual d’un dipôle qui impose une relation entre la tension u et le courant i impose la relation obtenue en échangeant u et i.

📝 Points essentiels

• 🔄 La construction du circuit dual suit ces étapes :

  1. Placer un point dans chaque maille du circuit initial.
  2. Placer un point à l’extérieur du réseau.
  3. Relier les points en passant sur les dipôles existants.
  4. Placer l’élément dual entre les nœuds correspondants.
  5. Déterminer les orientations à partir des équations de nœuds duales des équations de mailles initiales.

• Les lois reliant les intensités dans un circuit s’appliquent aux tensions dans le circuit dual, et réciproquement.

💡 Astuce mémo

Le circuit dual échange tensions et courants, ainsi que mailles et nœuds.