Fiche de révision : Thermostatique des fluides

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la thermodynamique
2. Température et équilibre thermique
3. Pression et mesure mécanique
4. Systèmes et variables d’état
5. Fonctions d’état et échanges
6. Transformations et représentations thermodynamiques
7. Lois et modèles des gaz
8. Transformations des gaz parfaits
9. Premier principe et énergie interne
10. Chaleurs sensible et latente
11. Travail volumétrique
12. Transformations particulières
13. Outils mathématiques thermodynamiques
14. Équilibre et transformations thermodynamiques
15. Travail chaleur et énergie interne

📖 1. Fondements de la thermodynamique

★ À maîtriser

• La thermodynamique étudie les transformations de l’énergie dans les systèmes.

📌 L’approche macroscopique décrit un système par des variables globales comme P, V, T et m, tandis que l’approche microscopique s’appuie sur le mouvement et les interactions des particules.

Compléments

• Denis PAPIN (Physicien français, 1647-1714) a observé la vapeur soulevant un couvercle, ce qui a conduit à l’idée d’utiliser la vapeur pour repousser un piston et produire du travail.

💡 Astuce mémo

La vapeur soulève un couvercle → l’idée d’actionner un piston et de produire du travail.

📖 2. Température et équilibre thermique

🔑 Notions clés & Définitions

• Température : liée au degré d’agitation thermique de la matière.

★ À maîtriser

• Le zéro absolu vaut 0 K, soit environ −273 °C.

• Deux corps mis en contact suffisamment longtemps évoluent vers un état d’équilibre thermique où le transfert thermique net cesse.

📌 Selon le principe zéro, si deux corps sont chacun en équilibre thermique avec un troisième, ils sont en équilibre thermique entre eux et ont la même température.

Compléments

• À l’échelle microscopique, une agitation accrue des particules est associée à une température plus élevée.

📐 Formule - La conversion de Celsius en kelvins s’écrit $T(\mathrm{K}) = t(°\mathrm{C}) + 273{,}15$.

• Sur l’échelle Celsius, 0 °C correspond à la fusion de la glace et 100 °C à l’ébullition de l’eau à pression de référence.

• Sur l’échelle Fahrenheit, 32 °F correspond à la solidification et 212 °F à l’ébullition de l’eau dans le repère historique.

📐 Formule - La conversion de Celsius en Fahrenheit s’écrit $t(°\mathrm{F}) = 1{,}8\,t(°\mathrm{C}) + 32$.

📐 Formule - La conversion de Fahrenheit en degrés Rankine s’écrit $T(°\mathrm{R}) = t(°\mathrm{F}) + 459{,}67$, avec l’approximation pédagogique $°\mathrm{R} = °\mathrm{F} + 460$.

• L’échelle Rankine est une échelle absolue utilisée dans certains pays anglo-saxons.

💡 Astuce mémo

Kelvin est absolue, Celsius et Fahrenheit repèrent des températures avec des origines différentes.

📖 3. Pression et mesure mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Pression : une grandeur intensive liée à l’action normale exercée par un fluide sur une surface.

★ À maîtriser

📐 Formule - La pression est le quotient de la force par la surface : $p = \frac{F}{S}$.

Compléments

• À l’échelle microscopique, la pression résulte des chocs des molécules sur les parois.

• L’unité SI de pression est le pascal, avec 1 Pa = 1 N·m⁻².

• Le bar et l’atmosphère sont également des unités de pression rencontrées en pratique.

📖 4. Systèmes et variables d’état

🔑 Notions clés & Définitions

• Système thermodynamique : une portion de matière délimitée par rapport au milieu extérieur.

★ À maîtriser

• Les systèmes se distinguent par leurs échanges :

  • Un système isolé n’échange ni matière ni énergie
  • Un système fermé n’échange pas de matière mais peut échanger de l’énergie
  • Un système ouvert échange matière et énergie

• À l’équilibre, les variables d’état ont des valeurs bien définies et constantes ; elles comprennent notamment m, n, P, V et T.

📌 Une grandeur extensive dépend de la taille du système et est additive, tandis qu’une grandeur intensive est indépendante de la taille du système.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, $PV=nRT$, où P est la pression, V le volume, n la quantité de matière, R la constante des gaz parfaits et T la température absolue.

Compléments

• Pour décrire un système thermodynamique, on précise sa frontière et son état thermodynamique.

• Un calorimètre idéal est un exemple de système isolé, un piston-cylindre contenant une quantité fixe de gaz est un système fermé, et une turbine, un compresseur avec écoulement ou un être vivant sont des systèmes ouverts.

• Les grandeurs extensives citées sont m, V, n et U, tandis que les grandeurs intensives citées sont P, T, ρ et la concentration.

📐 Formule - Une équation d’état relie les variables par $f(n,T,V,P)=0$.

📖 5. Fonctions d’état et échanges

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’état : une grandeur dont la variation entre deux états ne dépend pas du chemin suivi.

★ À maîtriser

📌 La variation d’énergie interne entre les états 1 et 2 est unique, $\Delta U=U_2-U_1$, tandis que le travail W₁₂ et la chaleur Q₁₂ peuvent varier selon le chemin suivi.

Compléments

• Les fonctions d’état citées sont U, H et S.

• Le travail W et la chaleur Q dépendent du chemin de transformation.

💡 Astuce mémo

U, H et S dépendent des états ; W et Q dépendent du chemin.

📖 6. Transformations et représentations thermodynamiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation réversible : Modèle idéal réalisé par une succession d’états d’équilibre infiniment proches.

★ À maîtriser

• Une transformation isobare maintient la pression du système constante, tandis qu’une transformation monobare maintient constante la pression extérieure.

• Les transformations définies par une grandeur constante sont : une transformation isochore maintient le volume constant, une transformation isotherme maintient la température du système constante, une transformation monotherme maintient constante la température extérieure T₀

• Une transformation adiabatique vérifie Q = 0.

Compléments

• Les irréversibilités d’une transformation réelle comprennent :
  • les frottements
  • les différences finies de température
  • les différences finies de pression
  • le mélange

📌 Toute transformation réversible est quasi-statique, mais une transformation quasi-statique n’est pas nécessairement réversible.

• Les représentations graphiques mentionnées sont :

  • le diagramme de Clapeyron (P,V)
  • le diagramme d’Amagat (PV,P)
  • le diagramme (T,S)
  • le diagramme (H,S)
  • le diagramme de Mollier (P,H)

• Dans un diagramme de Clapeyron, P est porté sur l’axe vertical et V sur l’axe horizontal, et l’aire sous la courbe P(V) intervient dans le calcul du travail volumétrique.

💡 Astuce mémo

Réversible : équilibre idéal ; irréversible : effets dissipatifs.

📖 7. Lois et modèles des gaz

🔑 Notions clés & Définitions

• Gaz parfait : Modèle de gaz suffisamment dilué où les molécules sont assimilées à des masses ponctuelles, où leurs interactions sont négligées et où la pression est liée à leurs chocs sur les parois.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour les transformations particulières d’un gaz à quantité de matière constante, la loi de Mariotte (1670) donne $PV=\text{constante}$ en isotherme, la loi de Gay-Lussac (1800) donne $\frac{V}{T}=\text{constante}$ en isobare et la loi de Charles (1800) donne $\frac{P}{T}=\text{constante}$ en isochore.

• À pression et température données, la loi d’Avogadro-Ampère indique que le volume d’un gaz ne dépend pas de sa nature ni de sa masse molaire.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, $PV=nRT=mrT$, avec $R=8{,}314\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$ et $r=\frac{R}{M}$, où M est la masse molaire.

Compléments

• Le volume molaire d’un gaz vaut 22,4 L à 1 atm et 0 °C.

📐 Formule - Les coefficients thermiques du gaz parfait sont le coefficient de dilatation isobare $\beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$, le coefficient de compression isotherme $\chi=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ et le coefficient de pression isochore $\alpha=\frac{1}{P}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$.

• À basse pression, le modèle du gaz parfait est une approximation efficace pour de nombreux gaz, mais les interactions moléculaires et le volume propre des molécules deviennent significatifs lorsque la pression augmente ou à l’approche d’une zone de condensation.

📐 Formule - L’équation de Van der Waals s’écrit $(P+a\frac{n^2}{V^2})(V-nb)=nRT$, où les paramètres a et b dépendent du gaz étudié.

📖 8. Transformations des gaz parfaits

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une transformation isotherme d’un gaz parfait, $T=\text{constante}$, $PV=\text{constante}$ et le travail reçu par le système vaut $W=-nRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait, $Q=0$, $PV^\gamma=\text{constante}$ et le travail reçu par le système vaut $W=\Delta U$.

📌 Avec la convention où le travail reçu par le système est positif, une détente peut correspondre à un travail négatif.

📖 9. Premier principe et énergie interne

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie interne : Regroupe, à l’échelle microscopique, les contributions cinétiques et potentielles associées aux particules du système ; à l’échelle macroscopique, U est une fonction d’état exprimée en joules.

📝 Points essentiels

📌 Le premier principe exprime la conservation de l’énergie : l’énergie d’un système isolé reste constante.

📐 Formule - Pour un système fermé, la variation d’énergie interne vérifie $\Delta U=U_2-U_1=Q+W$ et, sous forme élémentaire, $dU=\delta Q+\delta W$, avec un travail reçu par le système positif.

💡 Astuce mémo

Échanges de chaleur ou de travail → variation de l’énergie interne.

📖 10. Chaleurs sensible et latente

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaleur : Transfert d’énergie provoqué par une différence de température ; elle n’est pas une propriété stockée dans le système, mais s’échange au cours d’une transformation.

★ À maîtriser

📐 Formule - La chaleur sensible vérifie $\delta Q=mc\,dT=nC\,dT$ et, pour une capacité calorifique constante, $Q=mc(T_2-T_1)$ ou $Q=nC(T_2-T_1)$.

• La chaleur latente est l’énergie nécessaire à un changement d’état à température constante dans les conditions idéalisées considérées.

Compléments

• Les capacités calorifiques peuvent être définies à pression constante Cp ou à volume constant Cv.

📐 Formule - La chaleur latente vérifie $Q=mL$ et est proportionnelle à la quantité de matière.

• Les chaleurs latentes distinguées sont celles :
  • de sublimation Ls
  • de vaporisation Lv
  • de fusion Lf

💡 Astuce mémo

Sensible : la température varie ; latente : le changement d’état se fait à température constante.

📖 11. Travail volumétrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Enthalpie : Une fonction d’état exprimée en joules et définie par $H = U + PV$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail volumétrique élémentaire vérifie $\delta W = -P\,dV$.

📌 Lors d’une détente, $dV > 0$ et le travail volumétrique est négatif dans la convention du support, ce qui signifie que le système cède du travail au milieu extérieur.

📐 Formule - Pour une transformation élémentaire d’un système fermé ne comportant que le travail de pression-volume, $dH = \delta Q + V\,dP$.

Compléments

• Pour un piston de section S soumis à une force F, la pression vérifie $p = \frac{F}{S}$.

💡 Astuce mémo

Détente (dV > 0) → travail reçu négatif

📖 12. Transformations particulières

★ À maîtriser

📌 Lors d’une transformation isochore, $dV = 0$, donc $W = 0$ et $\Delta U = \delta Q$.

📌 Lors d’une transformation isobare, $dP = 0$, donc $dH = \delta Q$.

Compléments

📐 Formule - Pour un gaz parfait chauffé à volume constant, $\Delta U = m c_v \Delta T$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait chauffé à pression constante, $\Delta H = m c_p \Delta T$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, la relation de Mayer s’écrit $C_p - C_v = r$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, le rapport des capacités calorifiques est $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$.

• Dans le schéma énergétique d’un réfrigérateur, le travail W entre dans la machine, la chaleur QC entre depuis la source froide et la chaleur QH sort vers la source chaude.

• Dans l’approximation considérée, $\gamma \approx 1{,}4$ pour les gaz diatomiques tels que O₂ et N₂.

💡 Astuce mémo

Isochore : volume constant ; isobare : pression constante

📖 13. Outils mathématiques thermodynamiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un gaz parfait, l’équation d’état est $PV=nRT$.

Compléments

📐 Formule - Pour une fonction homogène de degré n, le théorème d’Euler relie la fonction à ses dérivées partielles par $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$.

📌 Une forme différentielle $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy$ est totale exacte si ses dérivées croisées vérifient $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$.

• Pour que les dérivées partielles données de S(T,P) définissent une fonction d’état, les dérivées croisées doivent être compatibles.

📐 Formule - Pour des dérivées cycliques de variables liées, $\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V=-1$.

📐 Formule - Pour une mole, l’équation de Van der Waals s’écrit $(P+a/V^2)(V-b)=RT$.

📖 14. Équilibre et transformations thermodynamiques

★ À maîtriser

• Une grandeur extensive dépend de la taille du système et est additive, tandis qu’une grandeur intensive ne dépend pas de la quantité de matière.

• Deux systèmes à des températures différentes ne sont pas en équilibre thermique et un transfert thermique net peut se produire entre eux.

• Une transformation réversible se distingue d’une transformation irréversible par l’absence d’irréversibilités telles que les frottements, une différence finie de température ou une détente libre.

Compléments

• L’équation d’état du gaz parfait est donnée sous la forme $PV=nRT$, et son domaine de validité ainsi que son application hors équilibre doivent être examinés séparément.

• Un cycle réversible de gaz parfait peut enchaîner une détente isobare, une détente isochore et une compression isotherme.

💡 Astuce mémo

Une différence finie de température entraîne un transfert ; la détente libre part d’un compartiment vers le vide.

📖 15. Travail chaleur et énergie interne

📝 Points essentiels

📐 Formule - La relation de Mayer est $C_p-C_v=nR$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, la capacité thermique à volume constant se déduit du rapport des capacités thermiques par $C_v=\frac{R}{\gamma-1}$.

• Le travail associé à une transformation isochore est nul puisque le volume ne varie pas.

📐 Formule - Pour une détente ou une compression isotherme d’un gaz parfait selon la convention donnée, le travail s’écrit $W=-nRT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$.

• Le chauffage d’une glace sous sa température de fusion, sa fusion à température constante, puis le chauffage de l’eau liquide constituent les trois étapes du passage de glace froide à eau chaude.

📐 Formule - La chaleur nécessaire au chauffage d’un corps est calculée par $Q=mc\Delta T$.

📐 Formule - La chaleur nécessaire à un changement d’état est calculée par $Q=mL_f$ pour une fusion.

💡 Astuce mémo

Pour le chauffage et la fusion : chauffer la glace, la faire fondre, puis chauffer l’eau.

📊 Tableaux de synthèse

Échanges des systèmes thermodynamiques

Grandeurs extensives et intensives