Fiche de révision : Énergie mécanique et énergie cinétique

📋 Plan du Cours

1. Chute libre et énergie cinétique
2. Énergie cinétique de rotation
3. Moment d’inertie des solides
4. Travail et énergie cinétique
5. Résoudre un problème mécanique
6. Énergie cinétique en rotation
7. Théorème de l’énergie cinétique
8. Méthode d’application du théorème
9. Exercices d’application

📖 1. Chute libre et énergie cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : Énergie que possède un corps du fait de sa vitesse.
• Énergie potentielle de pesanteur : Énergie qu’un solide possède du fait de sa position par rapport à la Terre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un mouvement de translation, l’énergie cinétique vaut $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, où m est la masse en kilogrammes et v la vitesse en mètres par seconde.

Compléments

• Pour un solide de masse 0,1 kg en chute libre sans vitesse initiale, le rapport $v^2/h$ est constant et vaut environ 19,6 m·s⁻².

📐 Formule - Dans cette chute libre, $v^2 = 2gh$, où h est la hauteur de chute et g l’intensité de la pesanteur.

📐 Formule - Pour la chute libre étudiée, le travail du poids vérifie $W(P) = \frac{1}{2}mv^2$ et correspond à l’énergie cinétique acquise par le solide.

💡 Astuce mémo

La chute augmente la vitesse → l’énergie cinétique augmente.

📖 2. Énergie cinétique de rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique de rotation : L’énergie cinétique de rotation d’un solide autour d’un axe fixe Δ vaut $E_c = \frac{1}{2}J_\Delta\omega^2$, où $J_\Delta$ est son moment d’inertie et ω sa vitesse angulaire.

📝 Points essentiels

• Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe, chaque constituant possède une énergie cinétique liée à sa vitesse tangentielle, et l’énergie du solide est la somme des énergies de ses constituants.

📐 Formule - Pour un constituant de masse $m_i$ situé à la distance $r_i$ de l’axe et tournant à la vitesse angulaire $\omega$, son énergie cinétique vaut $E_{ci} = \frac{1}{2}m_i r_i^2\omega^2$.

📐 Formule - L’énergie cinétique d’un solide qui tourne tout en se déplaçant vaut $E_c = \frac{1}{2}J_\Delta\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$.

💡 Astuce mémo

Vitesse angulaire commune → somme des contributions → moment d’inertie.

📖 3. Moment d’inertie des solides

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe fixe Δ est la somme $J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2$, où $m_i$ est la masse de chaque constituant et $r_i$ sa distance à l’axe.
• Moment d’inertie : Le moment d’inertie d’un système physique caractérise son inertie vis-à-vis des mouvements de rotation, comme sa masse caractérise son inertie vis-à-vis des mouvements de translation; il dépend de la valeur et de la répartition des masses.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment d’inertie d’un solide composé de constituants est $J_{\Delta}=\sum_{i=1}^{n}m_i r_i^2.$

Compléments

• Le moment d’inertie dépend du solide considéré et de l’axe de rotation choisi.

📐 Formule - Le moment d’inertie d’un disque plein ou d’un cylindre plein autour de l’axe considéré vaut $J_\Delta = \frac{1}{2}mr^2$.

📐 Formule - Le moment d’inertie d’une sphère pleine vaut $J_\Delta = \frac{2}{5}mr^2$.

📐 Formule - Le moment d’inertie d’une tige de longueur L vaut $J_\Delta = \frac{1}{12}mL^2$ pour l’axe associé à cette formule.

• Le moment d’inertie s’exprime en kg·m² dans le Système international.

📐 Formule - Par rapport à leur axe de symétrie, une jante de rayon $r$ et de masse $m$ a pour moment d’inertie $J_{\Delta}=mr^2$, un disque homogène $J_{\Delta}=\frac12mr^2$, un cylindre homogène $J_{\Delta}=\frac12mr^2$, une sphère homogène $J_{\Delta}=\frac25mr^2$ et une tige homogène de longueur $L$ $J_{\Delta}=\frac1{12}mL^2$.

📖 4. Travail et énergie cinétique

★ À maîtriser

📐 Formule - La variation d’énergie cinétique entre deux états vaut $\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = \frac{1}{2}m(V_f^2 - V_i^2)$.

📌 Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un solide entre deux instants est égale à la somme algébrique des travaux des forces extérieures qui lui sont appliquées pendant le trajet.

📐 Formule - Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit $\Delta E_c = E_{c,\text{final}} - E_{c,\text{initial}} = \sum W_{\text{ext}}$.

Compléments

📐 Formule - Le travail du poids entre les hauteurs initiale et finale vaut $W(P)=mg(h_i-h_f)$.

📖 5. Résoudre un problème mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel on peut appliquer le principe d’inertie.

📝 Points essentiels

• La résolution d’un problème de mécanique consiste à définir le système, préciser le référentiel, inventorier les forces extérieures, représenter ces forces par un schéma, puis appliquer le théorème de l’énergie cinétique.

• Le référentiel terrestre est un exemple de référentiel galiléen utilisé comme référentiel d’étude.

💡 Astuce mémo

Système → référentiel → forces → schéma → théorème.

📖 6. Énergie cinétique en rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique de rotation : L’énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est $E_c=\frac12 J_{\Delta}\omega^2$, où $J_{\Delta}$ est son moment d’inertie et $\omega$ sa vitesse angulaire.

★ À maîtriser

• Pour un solide composé de constituants tournant à la même vitesse angulaire autour d’un axe fixe, l’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques des constituants, soit $E_c=\frac12\left(\sum_{i=1}^{n}m_i r_i^2\right)\omega^2.$

Compléments

• Le moment d’inertie $J_{\Delta}$ s’exprime en kg·m², la vitesse angulaire $\omega$ en rad/s et l’énergie cinétique en joules.

📐 Formule - Pour un solide en mouvement simultané de rotation et de translation, $E_c=\frac12 J_{\Delta}\omega^2+\frac12 mv^2.$

📖 7. Théorème de l’énergie cinétique

★ À maîtriser

📌 Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un solide est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées pendant cette variation : $\Delta E_c=\sum W(\vec F_{\mathrm{ext}}).$

Compléments

• Dans l’exemple du ressort sans frottement, entre l’équilibre et l’élongation maximale, le travail de la tension et la variation d’énergie cinétique valent chacun −0,4 J.

• Dans l’exemple du poids entre A et B, le travail du poids et la variation d’énergie cinétique sont tous deux arrondis à 0,04 J.

💡 Astuce mémo

Les travaux des forces extérieures produisent la variation d’énergie cinétique.

📖 8. Méthode d’application du théorème

📝 Points essentiels

• Pour appliquer le théorème en translation, il faut définir le système, préciser le référentiel terrestre supposé galiléen, définir les états initial et final, établir le bilan des forces extérieures, sommer leurs travaux, calculer $\Delta E_c=\frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2$, puis appliquer $\Delta E_c=\sum W(\vec F_{\mathrm{ext}}).$

• Pour appliquer le théorème en rotation, il faut définir le système, préciser le référentiel terrestre supposé galiléen, définir les états initial et final, sommer les travaux des forces extérieures, calculer $\Delta E_c=\frac12I\omega_f^2-\frac12I\omega_i^2$, puis appliquer $\Delta E_c=\sum W(\vec F_{\mathrm{ext}}).$

💡 Astuce mémo

Système → référentiel → états → travaux → variation d’énergie → théorème.

📖 9. Exercices d’application

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice du volant, la vitesse finale est de 10 tours par seconde et le moteur l’atteint en 1 min à partir du repos.