Flashcards : Ensembles, applications et structures (96 cartes)

Qu’est-ce qu’une proposition logique ?

Quand l’implication $P\Rightarrow Q$ est-elle fausse ?

Quelle est la réciproque de $P\Rightarrow Q$ ?

Que signifie le quantificateur $\forall$ ?

Que peut-on dire de l’ordre de deux quantificateurs successifs de même type ?

Qu’est-ce qu’un axiome ?

Qu’est-ce qu’un théorème ?

Comment démontre-t-on une proposition universelle $\forall x,P(x)$ ?

Comment démontre-t-on une existence $\exists x,P(x)$ ?

Comment fonctionne le raisonnement direct ?

Comment conclut-on un raisonnement par l’absurde ?

Quelles deux étapes une récurrence démontre-t-elle avant de conclure ?

Que signifie $d\mid n$ pour des entiers $d$ et $n$ ?

Quels sont les diviseurs positifs d’un nombre premier ?

Quelle forme prend la division euclidienne de $a$ par $b\ne0$ ?

Quelle identité garantit le théorème de Bézout pour $a$ et $b$ premiers entre eux ?

Quand deux entiers sont-ils congrus modulo un entier non nul $n$ ?

Comment définir la classe de congruence de $a$ modulo $n$ ?

Quelles classes constituent $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ?

Qu’est-ce qu’un ensemble ?

Quels ensembles usuels représentent les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes ?

Quand deux ensembles $A$ et $B$ sont-ils égaux ?

Quelle démarche prouve que $A\subset B$ ?

Comment définir une application de E vers F ?

Comment définir l’image $f(A)$ d’une partie A de E ?

Comment définir l’image réciproque de B par f ?

Quand un ensemble non vide E est-il de cardinal fini n ?

Quel est le cardinal de l’ensemble vide ?

À quelle condition deux ensembles finis ont-ils le même cardinal ?

Combien d’éléments possède l’ensemble des parties d’un ensemble fini E de cardinal n ?

Quand un ensemble E est-il dénombrable ?

Quelle relation vérifie $i=(0,1)$, et sous quelle forme s’écrit tout complexe ?

Quel est le conjugué complexe de $z=x+iy$ ?

Comment s’écrit un complexe non nul en écriture polaire ?

Que garantit le théorème fondamental de l’algèbre pour un polynôme complexe non constant ?

En combien de facteurs linéaires se décompose un polynôme complexe de degré $n$ ?

Quelle formule donne les racines de $aX^2+bX+c$ lorsque $\delta^2=b^2-4ac$ ?

Quelle est l’écriture complexe de la translation de vecteur d’affixe $z_0$ ?

Quelle transformation est l’inverse de la translation de vecteur d’affixe $z_0$ ?

Quelle est l’écriture complexe de la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ ?

Quelles transformations figurent parmi les isométries du plan ?

Quelles conditions font de $(G, \ast)$ un groupe ?

Quelles propriétés caractérisent un sous-groupe $H$ de $(G, \ast)$ ?

Quand la conjonction $P\land Q$ est-elle vraie ?

Quand la disjonction $P\lor Q$ est-elle vraie ?

Quelle formule exprime le modus ponens comme tautologie ?

Quelle formule exprime la transitivité de l’implication comme tautologie ?

Comment exprimer l’équivalence logique $P\Leftrightarrow Q$ ?

Qu’est-ce qu’un prédicat en logique ?

Quelle est la négation de $\forall x, P(x)$ ?

Quelle est la propriété de successeur dans la définition axiomatique de $\mathbb N$ ?

Que garantit la propriété de bon ordre de $\mathbb N$ ?

Quelles implications faut-il démontrer pour établir $P\Leftrightarrow Q$ ?

Quelle implication démontre la contraposée de $P\Rightarrow Q$ ?

Comment démontre-t-on une propriété par disjonction de cas ?

Quels entiers divisent zéro, et que divise zéro ?

Quelle propriété relie $d\mid a$, $a\mid b$ et $d\mid b$ ?

Quels diviseurs communs deux entiers premiers entre eux peuvent-ils avoir ?

Qu’est-ce que le PGCD de deux entiers ?

Quelles propriétés possède la congruence modulo $n$ ?

Que deviennent les classes de congruence de deux entiers congrus modulo $n$ ?

De quels représentants les opérations sur les classes modulo $n$ sont-elles indépendantes ?

Dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, quelle implication le produit nul ne garantit-il pas ?

Que signifie $a\in E$ ?

Que contient l’ensemble vide $\varnothing$ ?

Comment un ensemble peut-il être défini explicitement ?

Que décrit une définition paramétrique d’un ensemble ?

Dans une application $f : E \to F$, quels sont les rôles de E, F, Γ et $f(x)$ ?

Quand deux applications sont-elles égales ?

Que fait l’application identité $\mathrm{id}_E$ à chaque élément de E ?

Quelles valeurs prend la fonction indicatrice de A dans E ?

Qu’est-ce qu’un antécédent de y par f ?

Quand un ensemble est-il infini ?

Quel est le statut de dénombrabilité de ℕ, ℤ, ℚ, des nombres pairs et des nombres premiers ?

Quelles bijections existent entre ℘(ℕ), ℝ et ℝ² ?

Comment définit-on l’addition et la multiplication dans le corps des nombres complexes ℂ ?

Dans $z=x+iy$, que représentent $x$ et $y$ ?

Pour $z=x+iy$, que vaut $z\overline z$ ?

Comment exprime-t-on l’inverse de $x+iy\ne0$ ?

Quel est le module de zéro, et zéro possède-t-il un argument ?

Qui a démontré l’absence de formule générale pour les racines à partir du degré 5 ?

Comment définit-on une racine carrée complexe de $\omega$ ?

Quelles sont les racines carrées de $\omega=re^{i\theta}$ ?

Quelles équations obtient-on en posant $z=x+iy$ pour calculer les racines carrées de $a+ib$ ?

Que devient la racine d’un polynôme du second degré lorsque son discriminant est nul ?

Quelle est l’écriture complexe de la rotation de centre $\Omega$ d’affixe $z_0$ et d’angle $\theta$ ?

Quel est l’angle de la rotation représentée par $\varphi(z)=az+b$, avec $|a|=1$ et $a\ne1$ ?

Quelle propriété caractérise une isométrie du plan ?

Comment se définit une loi de composition interne sur un ensemble $E$ ?

Quand un groupe est-il abélien ?

Quels groupes de référence sont cités dans la section ?

Quel élément de $(\mathbb{Z}, \ast)$ n’a pas d’inverse pour $n \ast m = n + m - nm$ ?

Comment s’exprime l’inverse d’un produit $xy$ dans un groupe ?

Que peut-on affirmer de l’intersection de deux sous-groupes de $G$ ?

Dans $\mathbb Z/14\mathbb Z$, quelle classe n’a pas d’inverse ?

Quelle est l’écriture complexe de la symétrie axiale d’axe $D_\theta$ ?