QCM : Ensembles, applications et structures (42 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un énoncé dépendant d’une variable x, on rencontre ∀\forall, ∃\exists et ∃!\exists!. Quelles interprétations sont exactes ?

Le symbole ∀\forall indique que la propriété vaut pour tout élément considéré.
Le symbole ∃\exists affirme qu’il existe un élément satisfaisant la propriété.
Le symbole ∃!\exists! signifie qu’il existe au moins un élément répondant à la propriété.
Un prédicat est une proposition logique dont la valeur dépend d’une ou plusieurs variables.
L’ordre des quantificateurs successifs ∀\forall et ∃\exists peut être interverti.

Le symbole $$\forall$$ indique que la propriété vaut pour tout élément considéré. · Le symbole $$\exists$$ affirme qu’il existe un élément satisfaisant la propriété. · Un prédicat est une proposition logique dont la valeur dépend d’une ou plusieurs variables.

Explication

∀\forall signifie « pour tout » et ∃\exists signifie « il existe » ; un prédicat dépend d’une ou plusieurs variables. ∃!\exists! exige un élément unique, tandis que l’existence d’au moins un élément correspond à ∃\exists. L’ordre de quantificateurs successifs ∀\forall et ∃\exists est important et ne peut pas être interverti.

2. On examine des formules quantifiées portant sur une même propriété P(x). Quelles règles permettent de les interpréter correctement ?

La négation de ∀x,P(x)\forall x,P(x) équivaut à ∃x,¬P(x)\exists x,\neg P(x).
La négation de ∃x,P(x)\exists x,P(x) équivaut à ∀x,¬P(x)\forall x,\neg P(x).
L’ordre de ∀\forall puis ∃\exists peut changer le sens de la formule.
Deux quantificateurs successifs de types différents peuvent être intervertis sans changer le prédicat.
Deux quantificateurs successifs de même type ne peuvent pas être intervertis.

La négation de $$\forall x,P(x)$$ équivaut à $$\exists x,\neg P(x)$$. · La négation de $$\exists x,P(x)$$ équivaut à $$\forall x,\neg P(x)$$. · L’ordre de $$\forall$$ puis $$\exists$$ peut changer le sens de la formule.

Explication

L’ordre entre ∀\forall et ∃\exists est important, alors que deux quantificateurs successifs de même type peuvent être intervertis. La négation d’un universel devient un existentiel portant sur la propriété niée, et la négation d’un existentiel devient un universel portant sur cette négation.

3. Concernant les axiomes définissant N\mathbb N et la propriété de plus petit élément :

Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
Tout entier naturel possède un successeur dans l’ensemble des entiers naturels.
L’entier naturel zéro n’est le successeur d’aucun entier naturel.
Une partie de N\mathbb N contenant zéro et stable par successeur est égale à N\mathbb N.
Toute partie non vide de N\mathbb N possède un plus petit élément.

Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux. · Tout entier naturel possède un successeur dans l’ensemble des entiers naturels. · L’entier naturel zéro n’est le successeur d’aucun entier naturel. · Une partie de $$\mathbb N$$ contenant zéro et stable par successeur est égale à $$\mathbb N$$. · Toute partie non vide de $$\mathbb N$$ possède un plus petit élément.

Explication

Les axiomes stipulent l’existence d’un successeur pour chaque entier, l’égalité des entiers de même successeur et le statut particulier de zéro. Ils imposent aussi que toute partie contenant zéro et stable par successeur soit N\mathbb N, tandis que toute partie non vide de N\mathbb N possède un plus petit élément.

4. Pour prouver une propriété sur tous les réels en distinguant les cas x≥0x\geq 0 et x<0x<0, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Ces deux cas couvrent l’ensemble des réels, ce qui permet une conclusion générale.
La propriété doit être démontrée séparément lorsque x≥0x\geq 0 et lorsque x<0x<0.
Un raisonnement par l’absurde consiste à vérifier la propriété dans chaque cas d’un partage.
Un raisonnement par l’absurde suppose fausse la propriété à démontrer et recherche une contradiction.
Une disjonction de cas convient si chaque cas retenu est traité et si tous les cas sont couverts.

Ces deux cas couvrent l’ensemble des réels, ce qui permet une conclusion générale. · La propriété doit être démontrée séparément lorsque $$x\geq 0$$ et lorsque $$x<0$$. · Un raisonnement par l’absurde suppose fausse la propriété à démontrer et recherche une contradiction. · Une disjonction de cas convient si chaque cas retenu est traité et si tous les cas sont couverts.

Explication

Les cas x≥0x\geq 0 et x<0x<0 couvrent tous les réels, et la propriété doit être établie dans chacun d’eux. Le raisonnement par l’absurde suit une autre démarche : supposer fausse la propriété recherchée et en déduire une contradiction, plutôt que traiter un partage en cas.

5. Une démonstration par récurrence sur n∈Nn\in\mathbb N est envisagée ; quelles étapes sont requises ?

La rédaction doit relier les assertions par des connecteurs logiques en français.
Après ces deux étapes, on conclut que la propriété vaut pour tout entier naturel.
L’initialisation vérifie que la propriété est vraie au rang zéro.
Des termes comme « donc », « or », « si » et « alors » peuvent articuler la preuve.
L’hérédité établit que P(n)P(n) entraîne P(n+1)P(n+1) pour tout entier naturel nn.

La rédaction doit relier les assertions par des connecteurs logiques en français. · Après ces deux étapes, on conclut que la propriété vaut pour tout entier naturel. · L’initialisation vérifie que la propriété est vraie au rang zéro. · Des termes comme « donc », « or », « si » et « alors » peuvent articuler la preuve. · L’hérédité établit que $$P(n)$$ entraîne $$P(n+1)$$ pour tout entier naturel $$n$$.

Explication

La récurrence comporte l’initialisation en zéro et l’hérédité de P(n)P(n) vers P(n+1)P(n+1), puis permet de conclure pour tout entier naturel. Une démonstration doit être rédigée en français et relier ses assertions à l’aide de connecteurs logiques, notamment « donc », « or », « si » et « alors ».

6. À propos de la divisibilité, des nombres premiers et des entiers nuls :

Un entier naturel ayant exactement deux diviseurs positifs, lui-même et 11, est premier.
Comme 18=(−3)(−6)18=(-3)(-6), l’entier −3-3 divise 1818.
L’entier naturel 11 n’est pas un nombre premier.
Si 44 divise 2020 et 2020 divise 6060, alors 44 divise 6060.
L’entier 77 divise 00, puisque 0=7×00=7\times 0.

Un entier naturel ayant exactement deux diviseurs positifs, lui-même et $$1$$, est premier. · Comme $$18=(-3)(-6)$$, l’entier $$-3$$ divise $$18$$. · L’entier naturel $$1$$ n’est pas un nombre premier. · Si $$4$$ divise $$20$$ et $$20$$ divise $$60$$, alors $$4$$ divise $$60$$. · L’entier $$7$$ divise $$0$$, puisque $$0=7\times 0$$.

Explication

La divisibilité signifie qu’un entier est le produit du diviseur et d’un entier, ce qui donne ici 18=(−3)(−6)18=(-3)(-6). Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, et 11 n’est pas premier. Tout entier divise zéro, et la divisibilité est transitive, donc les deux relations données entraînent 4∣604\mid 60.

7. Pour la division euclidienne de 1717 par 55 et les propriétés liées aux entiers premiers entre eux, quelles propositions sont exactes ?

Pour tout diviseur non nul, la division euclidienne impose un reste strictement inférieur au diviseur signé.
Le quotient et le reste sont 33 et 22, avec 17=3×5+217=3\times5+2.
Deux entiers premiers entre eux n’ont aucun diviseur commun autre que 11 et −1-1.
Comme 77 et 1010 sont premiers entre eux, il existe u,v∈Zu,v\in\mathbb Z tels que 7u+10v=17u+10v=1.
Le reste de la division euclidienne est un entier naturel inférieur à la valeur absolue du diviseur.

Le quotient et le reste sont $$3$$ et $$2$$, avec $$17=3\times5+2$$. · Deux entiers premiers entre eux n’ont aucun diviseur commun autre que $$1$$ et $$-1$$. · Comme $$7$$ et $$10$$ sont premiers entre eux, il existe $$u,v\in\mathbb Z$$ tels que $$7u+10v=1$$. · Le reste de la division euclidienne est un entier naturel inférieur à la valeur absolue du diviseur.

Explication

La division de 1717 par 55 donne 17=3×5+217=3\times5+2, avec un reste naturel vérifiant 0≤2<∣5∣0\leq 2<|5|. Être premiers entre eux signifie n’avoir comme diviseurs communs que 11 et −1-1 ; le théorème de Bézout fournit alors une combinaison entière égale à 11. La borne du reste utilise la valeur absolue du diviseur, non le diviseur signé.

8. Soient p=5p=5, a=15a=15 et b=14b=14. Concernant la divisibilité et les nombres premiers, quelles propositions sont exactes ?

Le PGCD de 1515 et 1414 est 77, leur plus grand diviseur commun naturel.
Les entiers 1515 et 1414 sont premiers entre eux, car leur PGCD vaut 11.
Le PGCD de 1515 et 1414 est le plus petit entier naturel qui divise les deux.
Le lemme d’Euclide conclut que 55 divise simultanément 1515 et 1414.
Comme 55 divise 15×1415\times14, le lemme d’Euclide assure qu’il divise 1515 ou 1414.

Les entiers $$15$$ et $$14$$ sont premiers entre eux, car leur PGCD vaut $$1$$. · Comme $$5$$ divise $$15\times14$$, le lemme d’Euclide assure qu’il divise $$15$$ ou $$14$$.

Explication

Le lemme d’Euclide implique que le premier divise l’un des facteurs ; ici, il divise 1515. Le PGCD vaut 11, donc les entiers sont premiers entre eux ; 77 n’est pas un diviseur commun et le PGCD est le plus grand diviseur commun.

9. Pour n=7n=7, on considère les entiers 2323 et 22. Concernant les congruences et les classes modulo nn, quelles propositions sont exactes ?

La congruence modulo 77 est réflexive, symétrique et antisymétrique.
La congruence modulo 77 n’est pas symétrique lorsque deux entiers sont distincts.
La classe de congruence de 22 modulo 77 contient tous les entiers 2+7k2+7k, avec k∈Zk\in\mathbb Z.
Les entiers 2323 et 22 sont congrus modulo 77, car 77 divise leur différence.
Les entiers 2323 et 22 ne sont pas congrus modulo 77, car leur différence vaut 2121.

La classe de congruence de $$2$$ modulo $$7$$ contient tous les entiers $$2+7k$$, avec $$k\in\mathbb Z$$. · Les entiers $$23$$ et $$2$$ sont congrus modulo $$7$$, car $$7$$ divise leur différence.

Explication

La différence 23−2=2123-2=21 est divisible par 77, et la classe de 22 regroupe les entiers de la forme 2+7k2+7k. La congruence est réflexive, symétrique et transitive, mais elle n’est pas antisymétrique sur les entiers : par exemple, 2323 et 22 sont congrus sans être égaux. Une différence de 2020 n’est pas divisible par 77, tandis que 2121 l’est.

10. À propos des ensembles et de leurs notations, quelles propositions sont exactes ?

L’ensemble C\mathbb C désigne les nombres complexes et Z\mathbb Z les entiers relatifs.
La notation a∈Ea\in E signifie que l’objet aa appartient à l’ensemble EE.
Un ensemble est une collection d’éléments sans ordre, où chaque élément apparaît au plus une fois.
L’ensemble vide ∅\varnothing ne contient aucun élément.
L’ensemble Q\mathbb Q désigne les nombres rationnels, tandis que R\mathbb R désigne les réels.

L’ensemble $$\mathbb C$$ désigne les nombres complexes et $$\mathbb Z$$ les entiers relatifs. · La notation $$a\in E$$ signifie que l’objet $$a$$ appartient à l’ensemble $$E$$. · Un ensemble est une collection d’éléments sans ordre, où chaque élément apparaît au plus une fois. · L’ensemble vide $$\varnothing$$ ne contient aucun élément. · L’ensemble $$\mathbb Q$$ désigne les nombres rationnels, tandis que $$\mathbb R$$ désigne les réels.

Explication

Un ensemble ne tient compte ni de l’ordre des éléments ni des répétitions. Les notations indiquent bien que Q\mathbb Q est l’ensemble des rationnels, R\mathbb R celui des réels, C\mathbb C celui des complexes et Z\mathbb Z celui des entiers relatifs ; a∈Ea\in E exprime l’appartenance, et ∅\varnothing est vide.

11. Pour démontrer que l’ensemble AA est inclus dans BB, on choisit un élément arbitraire de AA. Concernant les méthodes de définition et de comparaison des ensembles, quelle proposition est exacte ?

Pour prouver A⊂BA\subset B, on choisit un élément arbitraire de BB et on montre qu’il appartient à AA.
Une liste explicite des éléments définit un ensemble à partir d’une propriété qu’ils vérifient.
On établit que l’élément choisi appartient à BB afin de conclure que A⊂BA\subset B.
Une définition paramétrique décrit un ensemble sans faire varier de paramètre.
Pour prouver A=BA=B, il suffit d’établir que tout élément de AA appartient à BB.

On établit que l’élément choisi appartient à $$B$$ afin de conclure que $$A\subset B$$.

Explication

Pour établir A⊂BA\subset B, on prend un élément arbitraire de AA puis on démontre son appartenance à BB. L’égalité requiert les mêmes éléments dans les deux ensembles, une liste explicite énumère les éléments, et une définition paramétrique fait varier un ou plusieurs paramètres.

12. Deux ensembles A et B sont définis par des descriptions différentes. Pour établir qu’ils sont égaux, quelles affirmations sont exactes ?

Il faut établir séparément que chaque élément de A appartient à B, puis que chaque élément de B appartient à A.
L’ensemble des parties de E rassemble tous les sous-ensembles de E.
L’ensemble vide appartient à tout ensemble A, plutôt que d’être inclus dans A.
Il suffit de démontrer qu'A est inclus dans B pour conclure que les deux ensembles sont égaux.
L’ensemble des parties de E rassemble tous les éléments de E, même ceux qui ne sont pas des sous-ensembles.

Il faut établir séparément que chaque élément de A appartient à B, puis que chaque élément de B appartient à A. · L’ensemble des parties de E rassemble tous les sous-ensembles de E.

Explication

L’égalité se démontre par double inclusion : établir A ⊂ B puis B ⊂ A. L’ensemble des parties contient précisément les sous-ensembles de E ; l’inclusion de l’ensemble vide ne signifie pas qu’il en est un élément, et la définition de 𝒫(E) n’inclut pas les objets qui ne sont pas des sous-ensembles.

13. On considère A = {1, 2}, B = {2, 3}, E = {1, 2} et F = {a, b}. Quelles propositions décrivent correctement ces opérations ensemblistes ?

Le produit cartésien E × F contient des couples dont la première composante appartient à F et la seconde à E.
L’intersection A ∩ B contient tous les éléments de A ou de B, ici {1, 2, 3}.
L’intersection A ∩ B contient les éléments communs aux deux ensembles, ici {2}.
L’union A ∪ B contient les éléments présents à la fois dans A et dans B, ici {2}.
Le produit cartésien E × F contient des couples dont la première composante appartient à E et la seconde à F.

L’intersection A ∩ B contient les éléments communs aux deux ensembles, ici {2}. · Le produit cartésien E × F contient des couples dont la première composante appartient à E et la seconde à F.

Explication

L’intersection retient les éléments communs, soit {2}, tandis que l’union réunit les éléments de A ou de B, soit {1, 2, 3}. Dans E × F, le premier terme vient de E et le second de F.

14. Une relation Γ ⊂ E × F associe à chaque élément de E exactement un élément de F. Parmi les propositions suivantes concernant f : E → F, lesquelles sont exactes ?

La relation Γ définit une application de E vers F puisque chaque élément de E possède une valeur associée unique.
Deux applications sont égales dès qu’elles ont les mêmes valeurs, même si leurs ensembles d’arrivée diffèrent.
Une relation définit une application de E vers F dès que chaque élément de E est associé à au moins un élément de F.
L’application identité de E associe à tout élément x de E l’élément x lui-même.
Dans cette application, E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.

La relation Γ définit une application de E vers F puisque chaque élément de E possède une valeur associée unique. · L’application identité de E associe à tout élément x de E l’élément x lui-même. · Dans cette application, E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.

Explication

Une application associe à chaque élément de son ensemble de départ une valeur unique dans l’ensemble d’arrivée ; E et F ont donc les rôles indiqués. L’égalité de deux applications exige aussi les mêmes ensembles de départ et d’arrivée, et l’unicité de la valeur associée est nécessaire. L’identité renvoie chaque élément à lui-même.

15. Soit f : E → F, avec A ⊂ E et B ⊂ F. Quelles propositions décrivent correctement les images et antécédents ?

La fonction indicatrice de A vaut 1 sur A et 0 sur les éléments de E hors de A.
L’image réciproque f⁻¹(B) est un sous-ensemble de F constitué des valeurs f(x) appartenant à B.
L’image f(A) est un sous-ensemble de F formé des valeurs f(x) lorsque x parcourt A.
L’image f(A) est un sous-ensemble de E constitué des éléments x tels que f(x) appartient à A.
Un antécédent de y ∈ F est un élément x ∈ E tel que f(x) = y.

La fonction indicatrice de A vaut 1 sur A et 0 sur les éléments de E hors de A. · L’image f(A) est un sous-ensemble de F formé des valeurs f(x) lorsque x parcourt A. · Un antécédent de y ∈ F est un élément x ∈ E tel que f(x) = y.

Explication

L’image de A rassemble les valeurs de f sur A et appartient donc à F. L’image réciproque de B rassemble les éléments de E dont l’image est dans B, et non des éléments de F. La fonction indicatrice prend les valeurs indiquées ; un antécédent de y vérifie bien f(x) = y.

16. Un ensemble E possède trois éléments et un ensemble F en possède aussi trois, mais leurs éléments ne sont pas les mêmes. Quelles propositions concernant leur cardinal sont exactes ?

E est de cardinal 3 s’il existe une bijection de {1, 2, 3} vers E.
E et F ont le même cardinal à condition qu’ils contiennent exactement les mêmes éléments.
E et F ont le même cardinal s’il existe une bijection entre eux.
L’ensemble vide a pour cardinal 0.
Un ensemble non vide est de cardinal n dès qu’il existe une application de {1, …, n} vers lui.

E est de cardinal 3 s’il existe une bijection de {1, 2, 3} vers E. · E et F ont le même cardinal s’il existe une bijection entre eux. · L’ensemble vide a pour cardinal 0.

Explication

Le cardinal fini n est caractérisé par l’existence d’une bijection depuis {1, …, n}, et l’ensemble vide a pour cardinal 0. Deux ensembles finis de même cardinal sont en bijection sans devoir avoir les mêmes éléments ; ici, E et F ont chacun trois éléments, bien qu’ils ne contiennent pas exactement les mêmes éléments. Une simple application ne suffit pas à définir un cardinal fini : il faut une bijection.

17. Pour z=3+4iz=3+4i, quelles propositions relatives au conjugué et à l’inverse sont exactes ?

La différence de z et de son conjugué vaut 88, soit deux fois la partie imaginaire de z.
L’inverse de z est 3+4i25\frac{3+4i}{25}, obtenu en conservant le signe imaginaire au numérateur.
La somme de z et de son conjugué vaut 6, soit deux fois la partie réelle de z.
Le produit de z par son conjugué vaut 25, un réel positif égal à la somme des carrés des coordonnées.
Le conjugué de z est 3−4i3-4i, obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire.

La somme de z et de son conjugué vaut 6, soit deux fois la partie réelle de z. · Le produit de z par son conjugué vaut 25, un réel positif égal à la somme des carrés des coordonnées. · Le conjugué de z est $$3-4i$$, obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire.

Explication

Le conjugué est 3−4i3-4i ; le produit vaut 32+42=253^2+4^2=25 et la somme vaut 2Re⁡(z)=62\operatorname{Re}(z)=6. L’inverse est 3−4i25\frac{3-4i}{25}, tandis que la différence vaut 8i8i, et non 8.

18. Un complexe non nul s’écrit sous forme polaire avec un module 5 et un argument π3\frac{\pi}{3}. Quelles propositions sont exactes ?

Ses coordonnées cartésiennes sont (52,532)\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right).
Le module de ce complexe est 5 et son argument est défini modulo π\pi.
Le module du complexe nul vaut 0, mais le complexe nul n’a pas d’argument.
Le même complexe possède un argument unique, égal à π3\frac{\pi}{3} sans ambiguïté modulo 2π2\pi.
Son écriture polaire est 5eiπ/35e^{i\pi/3}, et son module est bien 5.

Ses coordonnées cartésiennes sont $$\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$$. · Le module du complexe nul vaut 0, mais le complexe nul n’a pas d’argument. · Son écriture polaire est $$5e^{i\pi/3}$$, et son module est bien 5.

Explication

La forme polaire donnée a pour module 5, et les coordonnées sont x=5cos⁡(π/3)=5/2x=5\cos(\pi/3)=5/2 et y=5sin⁡(π/3)=53/2y=5\sin(\pi/3)=5\sqrt{3}/2. L’argument est défini modulo 2π2\pi, et le complexe nul a un module nul sans argument.

19. Soient z1=2eiπ/3z_1=2e^{i\pi/3} et z2=3eiπ/6z_2=3e^{i\pi/6}. Quelles propositions concernant leurs modules et arguments sont exactes ?

Le module de leur somme vaut nécessairement la somme de leurs modules, soit 5.
Le produit z1z2z_1z_2 a pour argument π6\frac{\pi}{6} modulo 2π2\pi.
Le complexe eiπ/3e^{i\pi/3} n’appartient pas au cercle unité, car son argument est non nul.
Le produit z1z2z_1z_2 a pour argument π2\frac{\pi}{2} modulo 2π2\pi.
Le module de leur produit vaut 6, puisqu’il est le produit de leurs modules.

Le produit $$z_1z_2$$ a pour argument $$\frac{\pi}{2}$$ modulo $$2\pi$$. · Le module de leur produit vaut 6, puisqu’il est le produit de leurs modules.

Explication

Le module du produit vaut ∣z1∣∣z2∣=2×3=6|z_1||z_2|=2\times3=6, et son argument est π/3+π/6=π/2\pi/3+\pi/6=\pi/2 modulo 2π2\pi. Le module d’une somme est borné par la somme des modules sans lui être nécessairement égal ; eiπ/3e^{i\pi/3} appartient au cercle unité car son module vaut 1.

20. Concernant les racines des polynômes complexes :

Tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine dans ℂ.
À partir du degré 5, une formule générale permet d’exprimer les racines.
Une racine carrée de ω est un complexe z vérifiant z² = ω.
Un polynôme complexe de degré n est produit de n facteurs de degré 1.
Tout polynôme complexe non constant possède exactement une racine complexe.

Tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine dans ℂ. · Une racine carrée de ω est un complexe z vérifiant z² = ω. · Un polynôme complexe de degré n est produit de n facteurs de degré 1.

Explication

Tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine et se factorise en facteurs linéaires selon son degré. La définition d’une racine carrée est bien z² = ω ; à partir du degré 5, il n’existe pas de méthode générale par formules, et le nombre de racines n’est pas nécessairement un.

21. Pour déterminer les racines cubiques de 8eiπ8e^{i\pi}, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une racine n-ième de ω est définie par zⁿ = nω, avec n ≥ 1.
Une racine cubique de ω est un complexe z tel que z³ = ω.
Les racines cubiques ont pour module 8 et pour arguments π/3+kπ\pi/3+k\pi.
La formule d’Euler donne cos⁡(x)=(eix−e−ix)/(2i)\cos(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i).
Les trois racines ont pour arguments π/3+2kπ/3\pi/3+2k\pi/3, pour k = 0, 1, 2.

Une racine cubique de ω est un complexe z tel que z³ = ω. · Les trois racines ont pour arguments $$\pi/3+2k\pi/3$$, pour k = 0, 1, 2.

Explication

Une racine cubique vérifie z3=ωz^3=\omega ; ici le module des racines est 83=2\sqrt[3]{8}=2 et leurs arguments sont π/3+2kπ/3\pi/3+2k\pi/3 pour k = 0, 1, 2. La formule indiquée est celle du sinus, tandis que celle du cosinus utilise une somme ; la définition ne comporte pas le facteur n devant ω.

22. Pour linéariser une expression trigonométrique comportant des puissances, quelle(s) proposition(s) est (sont) exacte(s) ?

La formule de Moivre transforme cos⁡(x)+isin⁡(x)\cos(x)+i\sin(x) élevé à la puissance n en cos⁡(nx)+isin⁡(nx)\cos(nx)+i\sin(nx).
Le développement de (x+y)n(x+y)^n comporte les coefficients binomiaux (nk)\binom{n}{k}.
Après développement, les exponentielles sont regroupées pour faire réapparaître sinus et cosinus.
La linéarisation consiste à conserver les puissances de sinus et cosinus après développement.
La méthode remplace sinus et cosinus par des exponentielles complexes avant développement.

La formule de Moivre transforme $$\cos(x)+i\sin(x)$$ élevé à la puissance n en $$\cos(nx)+i\sin(nx)$$. · Le développement de $$(x+y)^n$$ comporte les coefficients binomiaux $$\binom{n}{k}$$. · Après développement, les exponentielles sont regroupées pour faire réapparaître sinus et cosinus. · La méthode remplace sinus et cosinus par des exponentielles complexes avant développement.

Explication

La formule de Moivre relie la puissance complexe aux fonctions trigonométriques d’argument multiplié, et le binôme fournit les coefficients du développement. La linéarisation remplace d’abord sinus et cosinus par des exponentielles, développe, puis regroupe les termes ; elle vise à supprimer les puissances, non à les conserver.

23. Un point d’affixe z est soumis à une rotation de centre d’affixe z₀ et d’angle θ. Parmi les propositions suivantes concernant les transformations du plan complexe, laquelle ou lesquelles est ou sont exacte(s) ?

L’inverse de la translation de vecteur z₀ est celle de vecteur z₀.
La rotation autour de z₀ s’écrit z0+eiθ(z−z0)z₀+e^{i\theta}(z-z₀).
La rotation de centre O et d’angle θ envoie z sur eiθze^{i\theta}z.
L’inverse de la rotation de centre O et d’angle θ est celle d’angle −θ.
Une translation de vecteur d’affixe z₀ envoie z sur z + z₀.

La rotation autour de z₀ s’écrit $$z₀+e^{i\theta}(z-z₀)$$. · La rotation de centre O et d’angle θ envoie z sur $$e^{i\theta}z$$. · L’inverse de la rotation de centre O et d’angle θ est celle d’angle −θ. · Une translation de vecteur d’affixe z₀ envoie z sur z + z₀.

Explication

Une translation ajoute l’affixe de son vecteur, et une rotation de centre O multiplie l’affixe par eiθe^{i\theta}. Pour un centre d’affixe z0z₀, on applique la rotation au déplacement z−z0z-z₀ avant de revenir au centre. Les inverses sont la translation de vecteur opposé et la rotation d’angle opposé.

24. Une application du plan est donnée par φ(z)=iz+2\varphi(z)=iz+2. Quelle(s) proposition(s) est (sont) exacte(s) au sujet des transformations du plan complexe ?

L’angle de cette rotation est un argument de i, donc π/2\pi/2 modulo 2π2\pi.
Comme le coefficient i a pour module 1 et diffère de 1, φ est une rotation.
Une isométrie vérifie ∣f(z2)−f(z1)∣=∣z2−z1∣|f(z₂)-f(z₁)|=|z₂-z₁| pour tous z₁ et z₂.
Le centre de cette rotation est l’origine, puisque le terme constant vaut 2.
Une application est une isométrie dès qu’elle préserve les distances entre certains points.

L’angle de cette rotation est un argument de i, donc $$\pi/2$$ modulo $$2\pi$$. · Comme le coefficient i a pour module 1 et diffère de 1, φ est une rotation. · Une isométrie vérifie $$|f(z₂)-f(z₁)|=|z₂-z₁|$$ pour tous z₁ et z₂.

Explication

Le coefficient ii est de module 1 et différent de 1 : l’application est donc une rotation d’angle arg⁡(i)=π/2\arg(i)=\pi/2, et son centre est son point fixe. Une isométrie doit préserver la distance pour toute paire de points ; le terme constant ne suffit pas à établir que le centre est l’origine.

25. Dans le plan complexe, on considère une symétrie d’axe DθD_\theta et une homothétie de centre O et de rapport 3. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’homothétie de centre O et de rapport 3 s’écrit z↦z+3z\mapsto z+3.
Les symétries glissées sont des compositions de deux rotations du plan.
Les homothéties de centre O et de rapport 3 préservent toutes les distances.
La symétrie d’axe DθD_\theta s’écrit z↦e2iθz‾z\mapsto e^{2i\theta}\overline{z}.
Les isométries comprennent les translations et les rotations du plan.

La symétrie d’axe $$D_\theta$$ s’écrit $$z\mapsto e^{2i\theta}\overline{z}$$. · Les isométries comprennent les translations et les rotations du plan.

Explication

La symétrie d’axe DθD_\theta s’écrit z↦e2iθz‾z\mapsto e^{2i\theta}\overline{z}. Les symétries glissées sont les composées d’une symétrie et d’une translation, et non de deux rotations. Une homothétie de rapport 3 multiplie les distances par 3, elle ne les préserve donc pas ; son écriture complexe est z↦3zz\mapsto 3z. Les translations et les rotations font partie des isométries.

26. Dans un groupe, un sous-ensemble contient le neutre, est stable par la loi et par inversion ; quelles conclusions sont exactes ?

L’inverse d’un produit xy est x⁻¹y⁻¹, dans cet ordre.
Ces trois propriétés permettent de reconnaître un sous-groupe du groupe considéré.
L’intersection de deux sous-groupes de ce groupe forme encore un sous-groupe.
Pour la loi donnée sur les entiers, l’élément 1 possède un inverse.
L’union de deux sous-groupes forme généralement un sous-groupe.

Ces trois propriétés permettent de reconnaître un sous-groupe du groupe considéré. · L’intersection de deux sous-groupes de ce groupe forme encore un sous-groupe.

Explication

La stabilité, la présence du neutre et la stabilité par inversion caractérisent un sous-groupe, et l’intersection de deux sous-groupes en est un. Pour la loi entière citée, 1 n’a pas d’inverse ; l’inverse de xy est y⁻¹x⁻¹, et l’union n’est généralement pas un sous-groupe.

27. Parmi les propositions suivantes concernant les noyaux et les applications de groupes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le noyau d’un morphisme rassemble les éléments du départ envoyés sur le neutre d’arrivée.
La composée de deux morphismes de groupes est encore un morphisme.
Un isomorphisme de groupes est un morphisme qui n’est pas bijectif.
Un morphisme est injectif lorsque son noyau contient plusieurs éléments.
Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ.

Le noyau d’un morphisme rassemble les éléments du départ envoyés sur le neutre d’arrivée. · La composée de deux morphismes de groupes est encore un morphisme. · Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ.

Explication

Le noyau est l’ensemble des éléments envoyés sur le neutre d’arrivée et constitue un sous-groupe du groupe de départ. La composition de morphismes est encore un morphisme. Un isomorphisme est bijectif, et l’injectivité équivaut à un noyau réduit au neutre.

28. Un groupe fini possède 18 éléments et un élément y vérifie y⁶ = e, sans puissance positive antérieure égale à e ; quelles propositions sont exactes ?

L’ordre de y divise 18, conformément à la divisibilité des ordres d’éléments.
Le cardinal de tout sous-groupe de ce groupe divise 18.
L’ordre de y est le plus petit exposant positif ramenant y à l’élément neutre.
L’ordre de y est 18 puisque le groupe possède 18 éléments.
Tout sous-groupe de ce groupe possède un cardinal multiple de 18.

L’ordre de y divise 18, conformément à la divisibilité des ordres d’éléments. · Le cardinal de tout sous-groupe de ce groupe divise 18. · L’ordre de y est le plus petit exposant positif ramenant y à l’élément neutre.

Explication

Tout sous-groupe d’un groupe fini a un cardinal divisant celui du groupe, et tout ordre d’élément divise également 18. La condition donnée établit que y est d’ordre 6. Son ordre n’est donc pas nécessairement celui du groupe, et les cardinaux des sous-groupes divisent 18 plutôt que d’en être des multiples.

29. Dans un groupe fini de cardinal 8, un élément x est d’ordre 4 ; quelles propositions décrivent correctement sa situation ?

La huitième puissance de x est égale à l’élément neutre du groupe.
Le groupe est cyclique si l’un de ses éléments engendre le groupe entier.
Le sous-groupe engendré par x possède quatre éléments, correspondant à son ordre.
L’élément x engendre le groupe entier puisqu’il appartient à un groupe de cardinal 8.
Le sous-groupe engendré par x comporte huit éléments, malgré son ordre égal à 4.

La huitième puissance de x est égale à l’élément neutre du groupe. · Le groupe est cyclique si l’un de ses éléments engendre le groupe entier. · Le sous-groupe engendré par x possède quatre éléments, correspondant à son ordre.

Explication

Un groupe est cyclique lorsqu’un élément l’engendre, et un élément d’ordre 4 engendre un sous-groupe de quatre éléments. Dans tout groupe de cardinal 8, la huitième puissance de tout élément vaut le neutre. Ici, x n’engendre pas les huit éléments puisque son ordre est 4.

30. Dans Z/17Z\mathbb Z/17\mathbb Z, un étudiant cherche l’inverse de 6ˉ\bar 6 par calcul. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

La classe de 5 a pour inverse la classe de 8 dans le groupe multiplicatif modulo 17.
L’inverse de la classe de 6 se trouve en calculant l’identité de Bézout entre 6 et 19.
La classe de 5 engendre un sous-groupe de cardinal 7 dans le groupe multiplicatif modulo 17.
Une identité de Bézout obtenue par l’algorithme d’Euclide permet de déterminer cet inverse.
La classe de 5 est d’ordre 7 dans le groupe multiplicatif modulo 17.

Une identité de Bézout obtenue par l’algorithme d’Euclide permet de déterminer cet inverse.

Explication

Pour trouver l’inverse d’une classe non nulle modulo un nombre premier, on utilise une identité de Bézout entre son représentant et le module, obtenue par l’algorithme d’Euclide. La classe de 5 a pour inverse 7 et est d’ordre 8 modulo 17 ; le module pertinent pour l’inverse de 6 est 17, non 19.

31. On considère un nombre premier p=11p=11 et un entier a=3a=3. Quelles sont les réponses exactes au sujet de ces propriétés ?

Le groupe additif des classes modulo 11 est le groupe cyclique concerné par la propriété multiplicative.
Le petit théorème de Fermat donne 311≡1(mod11)3^{11}\equiv1\pmod{11}.
Le groupe multiplicatif des classes non nulles modulo 11 possède 11 éléments.
Le groupe multiplicatif des classes non nulles modulo 11 est cyclique.
Comme 3 est premier avec 11, on a 310≡1(mod11)3^{10}\equiv1\pmod{11}.

Le groupe multiplicatif des classes non nulles modulo 11 est cyclique. · Comme 3 est premier avec 11, on a $$3^{10}\equiv1\pmod{11}$$.

Explication

Le petit théorème de Fermat donne ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1\pmod p lorsque p est premier et a est premier avec p ; ici l’exposant vaut 10. Le groupe multiplicatif modulo un nombre premier est cyclique et comporte p − 1 éléments, soit 10 dans ce cas.

32. Dans une étude des permutations de {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}, quelles propositions caractérisent correctement S4S_4 et une transposition ?

Une permutation échangeant 2 et 4 laisse 1 et 3 invariants si elle est une transposition.
Une permutation échangeant 1 et 3 et fixant 2 et 4 est une transposition.
Le cardinal de S4S_4 est 42=164^2 = 16.
Le groupe S4S_4 est muni de la composition des bijections de cet ensemble.
Le cardinal de S4S_4 est 4!=244! = 24.

Une permutation échangeant 2 et 4 laisse 1 et 3 invariants si elle est une transposition. · Une permutation échangeant 1 et 3 et fixant 2 et 4 est une transposition. · Le groupe $$S_4$$ est muni de la composition des bijections de cet ensemble. · Le cardinal de $$S_4$$ est $$4! = 24$$.

Explication

S4S_4 est l’ensemble des bijections de l’ensemble considéré, muni de la composition, et son cardinal est 4!=244!=24. Une transposition échange deux éléments et fixe les deux autres ; le cardinal n’est donc pas 424^2.

33. Une structure AA possède deux lois internes, l’addition et la multiplication. Concernant les conditions pour que AA soit un anneau ou un anneau intègre :

La loi multiplicative doit être commutative pour que AA soit un anneau.
Dans un anneau intègre, chaque élément non nul possède un inverse multiplicatif.
La loi additive doit faire de AA un groupe commutatif, et la multiplication doit être associative.
Si xy=0xy=0 entraîne x=0x=0 ou y=0y=0, l’anneau est intègre.
Un anneau peut avoir une multiplication non commutative ou dépourvue d’élément neutre multiplicatif.

La loi additive doit faire de $$A$$ un groupe commutatif, et la multiplication doit être associative. · Si $$xy=0$$ entraîne $$x=0$$ ou $$y=0$$, l’anneau est intègre. · Un anneau peut avoir une multiplication non commutative ou dépourvue d’élément neutre multiplicatif.

Explication

Un anneau exige un groupe additif commutatif, une multiplication associative et sa distributivité par rapport à l’addition. L’intégrité correspond à l’absence de diviseurs de zéro, tandis que commutativité et élément neutre multiplicatif ne sont pas requis pour tout anneau ; l’existence d’inverses pour les éléments non nuls n’est pas non plus une condition d’intégrité.

34. Dans un anneau, soient deux éléments commutants et un entier naturel fixé. Concernant les identités qui leur sont applicables :

Le développement de leur somme à la puissance trois suit les coefficients binomiaux usuels.
Le développement de leur somme à la puissance trois exige que l’anneau soit commutatif.
La différence de leurs puissances se factorise par la différence des deux éléments.
Un polynôme de degré quatre sur tout anneau possède au plus quatre racines.
Un polynôme de degré quatre sur un anneau intègre possède au plus quatre racines.

Le développement de leur somme à la puissance trois suit les coefficients binomiaux usuels. · La différence de leurs puissances se factorise par la différence des deux éléments. · Un polynôme de degré quatre sur un anneau intègre possède au plus quatre racines.

Explication

La formule du binôme s’applique lorsque les deux éléments commutent, et un polynôme de degré quatre sur un anneau intègre a au plus quatre racines. La différence des puissances se factorise par la différence des éléments commutants ; le binôme n’exige pas que tout l’anneau soit commutatif, tandis que la borne sur les racines requiert l’intégrité.

35. Parmi les propositions suivantes concernant les corps, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

L’anneau des entiers modulo un nombre composé est un corps.
Tout corps est aussi un anneau intègre.
Dans un corps, chaque élément non nul possède un inverse multiplicatif.
Les nombres complexes forment un corps pour leurs opérations usuelles.
Un anneau unitaire commutatif est un corps même si certains éléments non nuls sont sans inverse.

Tout corps est aussi un anneau intègre. · Dans un corps, chaque élément non nul possède un inverse multiplicatif. · Les nombres complexes forment un corps pour leurs opérations usuelles.

Explication

La définition d’un corps exige un inverse multiplicatif pour chaque élément non nul, et tout corps est intègre. Les nombres complexes forment bien un corps ; un anneau unitaire commutatif doit aussi satisfaire la condition d’inversibilité, et l’anneau modulo un nombre composé n’est pas dans la liste des corps donnée.

36. Un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication externe par des scalaires est étudié. Quelles propositions décrivent les espaces vectoriels ?

L’action du scalaire unité doit laisser chaque vecteur inchangé.
L’ensemble des vecteurs de R3\mathbb R^3 est un espace vectoriel sur C\mathbb C avec les opérations usuelles.
La multiplication scalaire doit respecter la distributivité par rapport à l’addition des vecteurs.
Les fonctions réelles forment un espace vectoriel sur les réels avec les opérations usuelles.
L’addition de ses vecteurs doit former un groupe commutatif.

L’action du scalaire unité doit laisser chaque vecteur inchangé. · La multiplication scalaire doit respecter la distributivité par rapport à l’addition des vecteurs. · Les fonctions réelles forment un espace vectoriel sur les réels avec les opérations usuelles. · L’addition de ses vecteurs doit former un groupe commutatif.

Explication

Un espace vectoriel requiert une addition formant un groupe commutatif, les distributivités de la multiplication externe et l’action neutre du scalaire unité. Les fonctions réelles sont un espace vectoriel sur R\mathbb R ; les vecteurs de R3\mathbb R^3 sont donnés comme espace vectoriel sur R\mathbb R, pas sur C\mathbb C.

37. On multiplie une matrice de taille 2×32\times3 par une matrice de taille 3×43\times4. Concernant les matrices et leur produit :

Le coefficient en position i,ji,j s’obtient en sommant les produits aikbjka_{ik}b_{jk}.
La multiplication matricielle est associative, même si elle n’est pas commutative en général.
Le produit obtenu possède deux lignes et quatre colonnes.
Une matrice de trois lignes et deux colonnes appartient à M3,2(A)M_{3,2}(A).
La multiplication matricielle est commutative pour des matrices carrées de même taille.

La multiplication matricielle est associative, même si elle n’est pas commutative en général. · Le produit obtenu possède deux lignes et quatre colonnes. · Une matrice de trois lignes et deux colonnes appartient à $$M_{3,2}(A)$$.

Explication

Le produit d’une matrice 2×32\times3 par une matrice 3×43\times4 est de taille 2×42\times4, et les matrices de taille 3×23\times2 appartiennent à M3,2(A)M_{3,2}(A). Le produit matriciel est associatif mais généralement non commutatif ; son coefficient utilise bkjb_{kj}, non bjkb_{jk}.

38. Pour des matrices compatibles AA et CC, on examine la transposition et la matrice identité. Cochez les propositions exactes :

La transposée d’un produit ACAC est (tC)(tA)({}^tC)({}^tA).
La transposée de la transposée d’une matrice redonne la matrice initiale.
La transposée d’une matrice de taille 2×32\times3 est de taille 3×23\times2.
L’identité I3I_3 possède trois coefficients diagonaux égaux à un.
La transposée d’un produit ACAC est (tA)(tC)({}^tA)({}^tC).

La transposée d’un produit $$AC$$ est $$({}^tC)({}^tA)$$. · La transposée de la transposée d’une matrice redonne la matrice initiale. · La transposée d’une matrice de taille $$2\times3$$ est de taille $$3\times2$$. · L’identité $$I_3$$ possède trois coefficients diagonaux égaux à un.

Explication

La transposition échange lignes et colonnes, inverse l’ordre des facteurs dans un produit et s’annule lorsqu’elle est appliquée deux fois. La matrice I3I_3 a trois unités sur sa diagonale ; la formule du produit transposé place (tC)({}^tC) avant (tA)({}^tA).

39. Pour une matrice carrée MM, on constate que chaque système MX=YMX=Y admet une solution unique. Quelles conclusions sont exactes ?

La matrice MM est inversible, d’après le critère fondé sur les systèmes.
La réduction par opérations élémentaires s’effectue en modifiant seulement les lignes de MM.
Un inverse de MM est défini par l’égalité MN=InMN=I_n sans condition supplémentaire.
La matrice MM est inversible dès qu’un système MX=YMX=Y possède une solution.
Un inverse de MM doit satisfaire simultanément MN=InMN=I_n et NM=InNM=I_n.

La matrice $$M$$ est inversible, d’après le critère fondé sur les systèmes. · Un inverse de $$M$$ doit satisfaire simultanément $$MN=I_n$$ et $$NM=I_n$$.

Explication

L’unicité et l’existence d’une solution pour tout second membre caractérisent l’inversibilité d’une matrice carrée. Un inverse doit être à la fois inverse à gauche et à droite ; la méthode de réduction applique les mêmes opérations aux lignes de la matrice identité, et une solution pour un seul système ne suffit pas.

40. Un système linéaire possède quatre équations et trois inconnues. Concernant son écriture matricielle et les systèmes carrés :

Sa matrice des coefficients appartient à M4,3(R)M_{4,3}(\mathbb R) dans l’écriture AX=YAX=Y.
Le vecteur des inconnues comporte trois coordonnées et celui des seconds membres quatre.
Si la matrice d’un système carré n’est pas inversible, le système admet zéro ou une infinité de solutions.
Pour un système carré de matrice inversible, la solution est X=A−1YX=A^{-1}Y.
Une application linéaire de R3\mathbb R^3 vers R4\mathbb R^4 s’écrit φ(X)=AX\varphi(X)=AX.

Sa matrice des coefficients appartient à $$M_{4,3}(\mathbb R)$$ dans l’écriture $$AX=Y$$. · Le vecteur des inconnues comporte trois coordonnées et celui des seconds membres quatre. · Si la matrice d’un système carré n’est pas inversible, le système admet zéro ou une infinité de solutions. · Pour un système carré de matrice inversible, la solution est $$X=A^{-1}Y$$. · Une application linéaire de $$\mathbb R^3$$ vers $$\mathbb R^4$$ s’écrit $$\varphi(X)=AX$$.

Explication

Avec quatre équations et trois inconnues, A∈M4,3(R)A\in M_{4,3}(\mathbb R), le vecteur des inconnues a trois coordonnées et le second membre en a quatre. Une application linéaire de ces espaces est représentée par une matrice de cette taille; pour un système carré inversible, X=A−1YX=A^{-1}Y, tandis qu’une matrice carrée non inversible conduit à aucune solution ou à une infinité de solutions.

41. Dans le jeu de pile ou face décrit, le premier joueur commence avec 2 euros et la matrice de transition est élevée à la puissance 15. Quelles propositions sont exactes ?

Les puissances de la matrice de transition décrivent des probabilités après plusieurs étapes du jeu.
Une matrice de transition peut contenir les probabilités de passage entre les états d’un graphe.
Après quinze manches, la probabilité d’être ruiné pour le premier joueur est d’environ 38 %38\ \%.
Après quinze manches, la probabilité d’être ruiné pour le premier joueur est d’environ 57 %57\ \%.
Après quinze manches, la probabilité de gagner pour le premier joueur est d’environ 38 %38\ \%.

Les puissances de la matrice de transition décrivent des probabilités après plusieurs étapes du jeu. · Une matrice de transition peut contenir les probabilités de passage entre les états d’un graphe. · Après quinze manches, la probabilité d’être ruiné pour le premier joueur est d’environ $$57\ \%$$. · Après quinze manches, la probabilité de gagner pour le premier joueur est d’environ $$38\ \%$$.

Explication

La matrice de transition encode les probabilités entre états, et ses puissances décrivent l’évolution sur plusieurs manches. Pour le joueur qui commence avec 2 euros, après quinze manches, les probabilités indiquées sont d’environ 57 %57\ \% d’être ruiné et 38 %38\ \% de gagner; la valeur de 38 %38\ \% ne correspond donc pas à la ruine.

42. Une rotation plane de centre OO est représentée par RθR_\theta. Parmi les propositions suivantes concernant sa matrice, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La matrice inverse de RθR_\theta est R−θR_{-\theta}.
La matrice RθR_\theta a pour seconde ligne (−sin⁡θ,cos⁡θ)\bigl(-\sin\theta,\cos\theta\bigr).
La composée RθRθ′R_\theta R_{\theta'} représente une rotation d’angle θθ′\theta\theta'.
La matrice RθR_\theta a pour première ligne (cos⁡θ,−sin⁡θ)\bigl(\cos\theta,-\sin\theta\bigr).
Pour composer les rotations d’angles θ\theta et θ′\theta', leurs matrices vérifient RθRθ′=Rθ−θ′R_\theta R_{\theta'}=R_{\theta-\theta'}.

La matrice inverse de $$R_\theta$$ est $$R_{-\theta}$$. · La matrice $$R_\theta$$ a pour première ligne $$\bigl(\cos\theta,-\sin\theta\bigr)$$.

Explication

La matrice d’une rotation a pour première ligne (cos⁡θ,−sin⁡θ)\bigl(\cos\theta,-\sin\theta\bigr) et pour seconde ligne (sin⁡θ,cos⁡θ)\bigl(\sin\theta,\cos\theta\bigr); son inverse est R−θR_{-\theta}. La composition additionne les angles, et non leur différence ou leur produit.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 96 flashcards sur Ensembles, applications et structures.

Qu’est-ce qu’une proposition logique ?

Un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse.

Quand l’implication P⇒QP\Rightarrow Q est-elle fausse ?

Uniquement lorsque PP est vraie et QQ est fausse.

Quelle est la réciproque de P⇒QP\Rightarrow Q ?

Q⇒PQ\Rightarrow P.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Ensembles, applications et structures.

Voir la fiche →

Cours similaires

Molécules organiques et nutrition

SVT

Psychologie cognitive et méthode scientifique

Charpentes traditionnelles en bois

Socialisation et comportements sociaux

Structure sociale française actuelle

Acido-basicité en chimie organique

Chimie

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM