Fiche de révision : Ensembles, applications et structures

📋 Plan du Cours

1. Connecteurs logiques et équivalences
2. Quantificateurs et axiomes
3. Méthodes de démonstration
4. Divisibilité et nombres premiers
5. Congruences et calcul modulo n
6. Définir et représenter les ensembles
7. Applications et bijections
8. Cardinal et dénombrabilité
9. Nombres complexes et représentations
10. Racines et calculs complexes
11. Transformations du plan complexe
12. Groupes et sous-groupes
13. Morphismes de groupes et noyaux
14. Groupes modulo n
15. Permutations et transpositions
16. Anneaux, corps et espaces vectoriels
17. Matrices et inversion
18. Applications des matrices

📖 1. Connecteurs logiques et équivalences

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition logique : Énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse.
• Implication : L’implication $P\Rightarrow Q$ est la proposition $\neg P\lor Q$ ; elle est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse.
• Conjonction : La conjonction $P\land Q$ est vraie si et seulement si P et Q sont toutes deux vraies.
• Disjonction : La disjonction $P\lor Q$ est vraie si au moins l’une des propositions P et Q est vraie.
• Équivalence logique : L’équivalence $P\Leftrightarrow Q$ est la conjonction des implications $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$.

★ À maîtriser

📌 La réciproque de $P\Rightarrow Q$ est $Q\Rightarrow P$, et sa valeur de vérité est en général indépendante de celle de l’implication initiale.

📌 La contraposée de $P\Rightarrow Q$ est $\neg Q\Rightarrow\neg P$ et possède la même valeur de vérité que l’implication initiale.

Compléments

• Le modus ponens affirme que $[P\land(P\Rightarrow Q)]\Rightarrow Q$ est une tautologie.

• La transitivité de l’implication affirme que $[(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow R)]\Rightarrow(P\Rightarrow R)$ est une tautologie.

📌 Les lois de De Morgan donnent $\neg(P\lor Q)\equiv(\neg P\land\neg Q)$ et $\neg(P\land Q)\equiv(\neg P\lor\neg Q)$.

📌 La négation d’une implication vérifie $\neg(P\Rightarrow Q)\equiv(P\land\neg Q)$.

💡 Astuce mémo

La contraposée inverse les deux termes et les nie ; la réciproque les échange seulement.

📖 2. Quantificateurs et axiomes

🔑 Notions clés & Définitions

• Axiome : Proposition logique à laquelle on attribue la valeur de vérité vraie.
• Théorème : Proposition logique dont la valeur de vérité vraie a été déduite des axiomes.
• Prédicat : Proposition logique dépendant d’une ou plusieurs variables.

★ À maîtriser

• Le quantificateur $\forall$ signifie « pour tout », $\exists$ signifie « il existe » et $\exists!$ signifie « il existe un unique ».

📌 L’ordre de quantificateurs successifs $\forall$ et $\exists$ est important, tandis que deux quantificateurs successifs de même type peuvent être intervertis.

Compléments

📌 Les négations des quantificateurs vérifient $\neg(\forall x,P(x))\equiv\exists x,\neg P(x)$ et $\neg(\exists x,P(x))\equiv\forall x,\neg P(x)$.

• La définition axiomatique de $\mathbb N$ pose que $\mathbb N$ est non vide, que tout entier n a un successeur s(n), que deux entiers de même successeur sont égaux, qu’un entier 0 n’est le successeur d’aucun entier et que toute partie contenant 0 et stable par successeur est égale à $\mathbb N$.

• Toute partie non vide de $\mathbb N$ possède un plus petit élément.

📖 3. Méthodes de démonstration

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement direct : Raisonnement qui part des hypothèses et enchaîne des implications jusqu’au résultat recherché.

★ À maîtriser

• Pour démontrer une proposition universelle $\forall x,P(x)$, on choisit un x quelconque, on démontre P(x), puis on conclut que la propriété vaut pour tout x.

• Pour démontrer une existence $\exists x,P(x)$, on peut déterminer un candidat puis vérifier qu’il satisfait P(x) ; pour démontrer une existence unique, on établit aussi que deux solutions quelconques sont égales.

• Un raisonnement par l’absurde suppose fausse la proposition à démontrer, en déduit une contradiction, puis conclut que la proposition est vraie.

• Une récurrence démontre l’initialisation $P(0)$ et l’hérédité $\forall n\in\mathbb N, P(n)\Rightarrow P(n+1)$ avant de conclure que P(n) est vraie pour tout n.

Compléments

• Pour démontrer une équivalence $P\Leftrightarrow Q$, on démontre séparément $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$.

• Un raisonnement par contraposée démontre $\neg Q\Rightarrow\neg P$ pour établir $P\Rightarrow Q$.

• Une disjonction de cas démontre une propriété séparément dans chaque cas couvrant l’ensemble des possibilités.

• Une démonstration mathématique doit être rédigée en français et relier les assertions par des connecteurs logiques tels que « donc », « or », « si » et « alors ».

📖 4. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour des entiers d et n, d divise n s’il existe un entier k tel que n = dk.
• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel ayant exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même ; 1 n’est pas premier.
• Division euclidienne : Pour des entiers a et b avec $b\ne0$, il existe un unique couple $(q,r)\in\mathbb Z\times\mathbb N$ tel que $a=qb+r$ et $0\le r<|b|$.
• Entiers premiers entre eux : Deux entiers qui n’ont aucun diviseur commun autre que 1 et −1.
• PGCD : Plus grand entier naturel qui divise à la fois deux entiers.

★ À maîtriser

📌 Le théorème de Bézout affirme que si a et b sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que $au+bv=1$.

📌 Le lemme d’Euclide affirme que si un nombre premier p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b.

• Tout entier naturel non nul se décompose de manière unique, à l’ordre des facteurs près, en produit de nombres premiers.

Compléments

• Tout entier divise 0, et 0 ne divise aucun entier non nul.

📌 La divisibilité est transitive : si $d\mid a$ et $a\mid b$, alors $d\mid b$.

• Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.

📌 Le lemme de Gauss affirme que si α et β sont premiers entre eux et si α divise βγ, alors α divise γ.

• L’ensemble des nombres premiers est infini.

📖 5. Congruences et calcul modulo n

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo n : Pour un entier non nul n, deux entiers a et b sont congrus modulo n, noté $a\equiv b\pmod n$, si n divise a − b.
• Classe de congruence : La classe de congruence de a modulo n est l’ensemble $\bar a=\{a+kn\mid k\in\mathbb Z\}$ des entiers congrus à a modulo n.
• Ensemble quotient : L’ensemble $\mathbb Z/n\mathbb Z$ des classes modulo n est constitué des classes $\bar0,\bar1,\ldots,\overline{n-1}$.

📝 Points essentiels

• La congruence modulo n est réflexive, symétrique et transitive, donc c’est une relation d’équivalence.

• Deux entiers congrus modulo n définissent la même classe de congruence.

• L’addition et la multiplication des classes modulo n sont définies à partir des représentants par $\bar a+\bar b=\overline{a+b}$ et $\bar a\times\bar b=\overline{ab}$ ; ces opérations ne dépendent pas du choix des représentants.

📌 Dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, une classe non nulle n’est pas nécessairement inversible et un produit nul n’implique pas qu’un facteur soit nul.

• Dans $\mathbb Z/14\mathbb Z$, la classe de 6 n’a pas d’inverse, car aucune des 14 classes ne vérifie $\bar6\bar x=\bar1$.

• Le calcul des puissances modulo 14 montre que $3^6\equiv1\pmod{14}$ et que $3^{1234}\equiv11\pmod{14}$.

💡 Astuce mémo

Les entiers se rangent en classes périodiques, séparées d’un multiple de n.

📖 6. Définir et représenter les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés éléments, sans ordre et dans laquelle chaque élément ne peut apparaître qu’une fois.
• Ensemble des parties : L’ensemble de tous les sous-ensembles de E.
• Union : L’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
• Intersection : L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Produit cartésien : L’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
• Ensemble vide : L’ensemble vide, noté $\varnothing$, ne contient aucun élément.
• Ensembles disjoints : Deux ensembles qui n’ont aucun élément en commun, ce qui équivaut à A ∩ B = ∅.

★ À maîtriser

• Les ensembles usuels sont $\mathbb N$ pour les entiers naturels, $\mathbb Z$ pour les entiers relatifs, $\mathbb Q$ pour les rationnels, $\mathbb R$ pour les réels et $\mathbb C$ pour les complexes.

📌 Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si tout élément appartient à A exactement lorsque cet élément appartient à B.

📌 Pour démontrer A ⊂ B, on prend un élément arbitraire x de A et on établit que x appartient à B.

• Pour démontrer A = B par double inclusion, on établit séparément A ⊂ B et B ⊂ A.

Compléments

• La notation $a\in E$ signifie que a est un élément de E.

📌 Un ensemble peut être défini explicitement par la liste de ses éléments ou implicitement par une propriété que ses éléments vérifient.

• Une définition paramétrique décrit un ensemble comme l’ensemble des éléments obtenus en faisant varier un ou plusieurs paramètres.

• Pour tout ensemble A, l’ensemble vide est inclus dans A, et les inclusions usuelles sont ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

• Si E = {a, b, c}, alors 𝒫(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} et contient huit éléments.

💡 Astuce mémo

Disjoints : aucun élément commun ; différents : pas les mêmes éléments.

📖 7. Applications et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application f de E vers F est une partie Γ de E × F telle que chaque x ∈ E soit associé à un unique y ∈ F.
• Image d’un ensemble : Pour A ⊂ E, son image par f est f(A) = {f(x) | x ∈ A}, et l’image de f est f(E).
• Image réciproque : Pour B ⊂ F, l’image réciproque de B par f est f⁻¹(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}.
• Composition : Pour f : E → F et g : F → G, la composée g ◦ f : E → G est définie par (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
• Injection : Une application f est injective si f(x) = f(x′) implique x = x′ pour tous x, x′ ∈ E.
• Surjection : Une application f : E → F est surjective si tout y ∈ F possède au moins un antécédent dans E.
• Bijection : Une application f : E → F est bijective si tout élément de F possède exactement un antécédent dans E.
• Application identité : L’application identité de E, notée idE, associe à chaque x ∈ E l’élément x.
• Fonction indicatrice : Pour une partie A de E, la fonction indicatrice 1A : E → ℝ vaut 1 si x ∈ A et 0 si x ∉ A.
• Antécédent : Un antécédent de y ∈ F par f est un élément x ∈ E tel que f(x) = y.
• Restriction : La restriction de f à A ⊂ E est l’application f|A : A → F qui associe f(x) à chaque x ∈ A.
• Prolongement : Une application f prolonge g : A → F si la restriction de f à A est égale à g.
• Bijection réciproque : La bijection réciproque f⁻¹ d’une bijection f : E → F associe à chaque élément de F son unique antécédent et vérifie f⁻¹ ◦ f = idE et f ◦ f⁻¹ = idF.

📝 Points essentiels

• Dans une application f : E → F, E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée, Γ le graphe, et y = f(x) est l’image de x.

📌 Deux applications sont égales si elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d’arrivée et les mêmes valeurs en tout élément de leur domaine.

• La composition des applications est associative : (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).

📖 8. Cardinal et dénombrabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal fini : Un ensemble non vide E est de cardinal fini n ∈ ℕ* s’il existe une bijection de {1, …, n} vers E ; l’ensemble vide a pour cardinal 0.
• Ensemble dénombrable : Un ensemble E est dénombrable s’il existe une bijection de ℕ vers E.
• Ensemble infini : Un ensemble est infini s’il n’est pas de cardinal fini.

★ À maîtriser

📌 Deux ensembles finis ont le même cardinal si et seulement s’il existe une bijection entre eux.

📐 Formule - Pour des ensembles finis E et F de cardinaux n et m, $\operatorname{Card}(\mathcal{P}(E))=2^n$, $\operatorname{Card}(E\times F)=nm$, $\operatorname{Card}(F^E)=m^n$ et $\operatorname{Card}(\operatorname{Bij}(E))=n!$.

Compléments

• Les exemples cités sont : ℕ, ℤ et ℚ, qui sont dénombrables, l’ensemble des nombres pairs, qui est dénombrable, l’ensemble des nombres premiers, qui est dénombrable, ℝ, qui n’est pas dénombrable

• Il existe une bijection entre ℘(ℕ) et ℝ, ainsi qu’entre ℝ² et ℝ.

💡 Astuce mémo

Dénombrable comme ℕ : ℚ ; non dénombrable comme ℝ : ℂ.

📖 9. Nombres complexes et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué complexe : Le conjugué de z = x + iy est z̄ = x − iy.
• Écriture polaire : Tout complexe non nul s’écrit z = r e^{iθ}, où r > 0 est son module et θ est un argument défini modulo 2π.
• Corps des nombres complexes : Le corps des nombres complexes ℂ est l’ensemble ℝ² muni des opérations d’addition et de multiplication définies par (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) et (x, y)(x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + x′y).
• Cercle unité complexe : L’ensemble U = {z ∈ ℂ | |z| = 1} est le cercle unité et s’écrit aussi {e^{iθ} | θ ∈ ℝ}.

★ À maîtriser

• En posant i = (0, 1) et en identifiant x ∈ ℝ à (x, 0), on obtient i² = −1 et tout complexe s’écrit x + iy.

📐 Formule - Si z = x + iy = r e^{iθ}, alors $x=r\cos(\theta)$, $y=r\sin(\theta)$ et $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Compléments

• Dans l’écriture algébrique z = x + iy, x est la partie réelle et y la partie imaginaire de z.

• Pour z = x + iy, on a z z̄ = x² + y² ∈ ℝ₊, z + z̄ = 2 Re(z) et z − z̄ = 2i Im(z).

📐 Formule - Pour x + iy ≠ 0, $\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$.

• Le module de 0 vaut 0, mais 0 n’a pas d’argument.

• Pour z₁, z₂ ∈ ℂ, |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| et arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) modulo 2π.

💡 Astuce mémo

Dans le plan, le conjugué reflète le point par rapport à l’axe réel.

📖 10. Racines et calculs complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée complexe : Un complexe z tel que z² = ω.
• Racine n-ième : Une racine n-ième de ω est un complexe z tel que zⁿ = ω, avec n ≥ 1.

★ À maîtriser

• Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.

• Tout polynôme complexe de degré n est un produit de n polynômes de degré 1 et possède au plus n racines complexes.

📐 Formule - Pour P = aX² + bX + c avec a ≠ 0, si Δ = b² − 4ac et δ² = Δ, ses racines sont $\frac{-b+\delta}{2a}$ et $\frac{-b-\delta}{2a}$.

📐 Formule - Les formules d’Euler donnent $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ et $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$.

Compléments

• À partir du degré 5, il n’existe pas de méthode générale pour exprimer les racines des polynômes par des formules, résultat démontré par Évariste Galois.

• Si ω = r e^{iθ}, ses deux racines carrées sont √r e^{iθ/2} et −√r e^{iθ/2}.

• Pour chercher les racines carrées de ω = a + ib, on pose z = x + iy, on identifie x² − y² = a et 2xy = b, puis on utilise x² + y² = |ω| pour déterminer x et y.

• Si le discriminant d’un polynôme du second degré est nul, ses deux racines coïncident et la racine est dite double.

📐 Formule - Si ω = r e^{iθ} et n ≥ 1, ses n racines n-ièmes sont $z_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta/n+2k\pi/n)}$ pour k = 0, …, n − 1.

📐 Formule - La formule de Moivre donne $(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$ pour n ∈ ℕ.

📐 Formule - Le binôme de Newton s’écrit $(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k}$ pour x, y ∈ ℂ et n ∈ ℕ.

• Pour linéariser une expression trigonométrique, on remplace sinus et cosinus par des exponentielles complexes, on développe, puis on regroupe les exponentielles pour retrouver sinus et cosinus.

📖 11. Transformations du plan complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Isométrie du plan : Une isométrie du plan est une application f : ℂ → ℂ qui préserve les distances, c’est-à-dire |f(z₂) − f(z₁)| = |z₂ − z₁| pour tous z₁, z₂ ∈ ℂ.

★ À maîtriser

• La translation de vecteur d’affixe z₀ s’écrit en complexe T(z) = z + z₀ et son inverse est la translation de vecteur opposé.

• La rotation de centre O et d’angle θ s’écrit Rθ(z) = e^{iθ}z, et son inverse est R−θ.

• Les isométries du plan sont :

  • les translations
  • les rotations
  • les symétries axiales
  • les symétries glissées

Compléments

• La rotation de centre Ω d’affixe z₀ et d’angle θ s’écrit z ↦ z₀ + e^{iθ}(z − z₀).

• Une application φ(z) = az + b avec |a| = 1 et a ≠ 1 est une rotation, d’angle arg(a), dont le centre est son unique point fixe.

• La symétrie axiale d’axe Dθ s’écrit $z\mapsto e^{2i\theta}\overline{z}$ et l’homothétie de centre O et de rapport 3 s’écrit $z\mapsto 3z$.

📖 12. Groupes et sous-groupes

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe : Un couple (G, ∗) est un groupe si sa loi est associative, si G possède un élément neutre et si chaque élément de G possède un inverse.
• Sous-groupe : Une partie H d’un groupe (G, ∗) est un sous-groupe si elle est stable par la loi, contient l’élément neutre et contient l’inverse de chacun de ses éléments.
• Sous-groupe engendré : Le sous-groupe engendré par A ⊂ G, noté ⟨A⟩, est le plus petit sous-groupe de G contenant A.
• Loi de composition interne : Une application de E × E vers E.
• Groupe abélien : Un groupe est abélien si sa loi est commutative.

📝 Points essentiels

• Les groupes de référence sont :

  • (ℤ, +)
  • (ℚ, +)
  • (ℝ, +)
  • (ℂ, +)
  • (ℝ², +)
  • (ℚ*, ×)
  • (ℝ*, ×)
  • (ℂ*, ×)
  • (Bij(E), ◦)

• La loi n ∗ m = n + m − nm sur ℤ est associative et commutative, possède 0 comme élément neutre, mais ℤ muni de cette loi n’est pas un groupe car 1 n’a pas d’inverse.

• Dans un groupe, l’élément neutre et l’inverse de chaque élément sont uniques, l’inverse de e est e, l’inverse de xy est y⁻¹x⁻¹, et la simplification à gauche ou à droite est valide.

• G et {e} sont les sous-groupes triviaux, et l’intersection de deux sous-groupes de G est un sous-groupe, alors que leur union ne l’est généralement pas.

• Dans (ℤ, +), ⟨{2}⟩ est l’ensemble des nombres pairs et ⟨{2, 3}⟩ = ℤ.

• Dans (ℝ², +), le sous-groupe engendré par (2, 0) et (1, 1) est {(a, b) ∈ ℤ² | a − b est pair}.

• Toute translation du plan peut être obtenue comme composée de deux rotations, et les rotations engendrent le groupe des isométries directes, formé des rotations et des translations.

💡 Astuce mémo

Pour tester un sous-groupe : stabilité, neutre, inverses.

📖 13. Morphismes de groupes et noyaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Morphisme de groupes : Une application $f:G\to F$ entre groupes est un morphisme si, pour tous $x,y\in G$, $f(x\ast y)=f(x)\,\circledast\,f(y)$.
• Noyau : Le noyau d’un morphisme $f:G\to F$ est l’ensemble $\operatorname{Ker}(f)=\{x\in G\mid f(x)=e_F\}$.
• Ordre d’un élément : L’ordre d’un élément $x$ d’un groupe est le plus petit entier positif non nul $d$ tel que $x^d=e$.
• Endomorphisme : Un morphisme d’un groupe dans lui-même.
• Isomorphisme de groupes : Un morphisme de groupes bijectif.
• Groupe cyclique : Un groupe fini est cyclique s’il existe un élément qui l’engendre ; si le groupe a cardinal $n$, cela équivaut à l’existence d’un élément d’ordre $n$.

★ À maîtriser

• Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ, son image est un sous-groupe du groupe d’arrivée, et le morphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’élément neutre.

• Dans un groupe fini $G$, le cardinal de tout sous-groupe $H$ divise le cardinal de $G$.

• Dans un groupe fini, l’ordre de tout élément divise le cardinal du groupe.

Compléments

• Pour vérifier qu’une application entre groupes est un morphisme, il suffit de vérifier qu’elle préserve la loi, car cette condition implique la préservation des éléments neutres et des inverses.

• L’application $f:(\mathbb C^*,\times)\to(\mathbb R,+)$ définie par $f(z)=\ln(|z|)$ est un morphisme de groupes.

• La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes.

• Si $x$ est d’ordre $d$, le sous-groupe qu’il engendre est $\langle x\rangle=\{x,x^2,\ldots,x^d=e\}$ et possède $d$ éléments.

• Dans tout groupe de cardinal $n$, pour tout élément $x$, on a $x^n=e$.

📖 14. Groupes modulo n

★ À maîtriser

• Pour tout entier non nul $n$, $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$ est un groupe commutatif cyclique engendré par $\bar 1$.

• Pour tout entier $p\ge 2$, le groupe multiplicatif $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ est un groupe si et seulement si $p$ est premier, et son cardinal vaut $p-1$.

• Si $p$ est premier et si $a$ est un entier premier avec $p$, alors $a^{p-1}\equiv1\pmod p$.

Compléments

• Dans $(\mathbb Z/20\mathbb Z,+)$, l’élément $\bar{15}$ est d’ordre $4$ et son opposé est $\bar 5$.

• L’inverse d’une classe non nulle modulo un nombre premier se détermine à partir d’une identité de Bézout obtenue par l’algorithme d’Euclide.

• Dans $\mathbb Z/17\mathbb Z$, l’inverse de $\bar 5$ est $\bar 7$ car $5\cdot7-17\cdot2=1$.

• Dans $(\mathbb Z/17\mathbb Z)^*$, $\bar 5$ est d’ordre $8$ et engendre $\{\bar5,\bar8,\bar6,\overline{13},\bar3,\overline{15},\bar7,\bar1\}$.

• Pour tout nombre premier $p$, le groupe multiplicatif $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ est cyclique.

📖 15. Permutations et transpositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe symétrique : Le groupe symétrique $S_n$ est l’ensemble des bijections de $\{1,\ldots,n\}$ muni de la composition ; il est fini et son cardinal est $n!$.
• Transposition : Une permutation qui échange deux éléments et laisse tous les autres invariants.

★ À maîtriser

• Toute transposition est d’ordre $2$, et l’ensemble des transpositions de $S_n$ engendre $S_n$.

Compléments

• La permutation $\sigma=(1\mapsto4{,}2\mapsto2{,}3\mapsto5{,}4\mapsto1{,}5\mapsto3)$ de $S_5$ est d’ordre $2$ et s’écrit $\sigma=\tau_{14}\tau_{35}$.

• Une configuration du Rubik’s cube peut être représentée par une permutation des $20$ petits cubes mobiles accompagnée de leurs orientations, et les configurations réalisables forment le sous-groupe engendré par les six rotations élémentaires des faces.

• Le nombre de configurations du Rubik’s cube est $43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000$ ; toute configuration peut être résolue en au plus $20$ rotations de faces, et certaines nécessitent au moins $18$ rotations.

📖 16. Anneaux, corps et espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau : Un anneau est un ensemble muni de deux lois internes $+$ et $\ast$ tel que $(A,+)$ est un groupe commutatif, que $\ast$ est associative et qu’elle est distributive par rapport à $+$.
• Anneau intègre : Un anneau est intègre si $xy=0$ implique $x=0$ ou $y=0$.
• Corps : Un corps est un anneau unitaire commutatif dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif.
• Espace vectoriel : Un $K$-espace vectoriel est un ensemble dont l’addition forme un groupe commutatif et dont la multiplication externe par les scalaires de $K$ satisfait les distributivités, l’associativité des multiplications et $1_K\cdot x=x$.

📝 Points essentiels

📌 Un anneau n’exige pas que la multiplication soit commutative, qu’elle possède un élément neutre ni que ses éléments aient un inverse ; un anneau unitaire possède un élément neutre multiplicatif noté souvent $1$.

• Dans un anneau intègre, un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines.

📐 Formule - Si $x$ et $y$ commutent dans un anneau et si $n\in\mathbb N$, alors $(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$.

📐 Formule - Si $x$ et $y$ commutent, alors $x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}y^kx^{n-1-k}$ ; dans un anneau unitaire, $1-x^{n+1}=(1-x)\sum_{k=0}^{n}x^k$.

• Tout corps est un anneau intègre ; $\mathbb Q$, $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des corps, de même que $\mathbb Z/p\mathbb Z$ lorsque $p$ est premier.

• $\mathbb R^3$ et l’ensemble des fonctions réelles $F(\mathbb R,\mathbb R)$ sont des espaces vectoriels sur $\mathbb R$ pour leurs opérations usuelles.

📖 17. Matrices et inversion

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $A$ est un élément de $A^{np}$, noté $M_{n,p}(A)$.
• Produit matriciel : Pour $A\in M_{n,p}(A)$ et $B\in M_{p,q}(A)$, le produit $AB\in M_{n,q}(A)$ a pour coefficients $c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$.
• Matrice inversible : Une matrice carrée $M$ est inversible s’il existe une matrice $N$ telle que $MN=NM=I_n$ ; cette matrice $N$ est son inverse.
• Matrice transposée : La transposée d’une matrice $M=(m_{ij})$ est la matrice ${}^tM$ définie par $({}^tM)_{ij}=m_{ji}$.
• Matrice identité : La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée de taille $n$ dont les coefficients diagonaux valent $1$ et les autres $0$ ; elle est l’élément unité de l’anneau des matrices carrées.

★ À maîtriser

• La multiplication matricielle est associative et distributive par rapport à l’addition, mais elle n’est pas commutative et n’est pas intègre en général.

• Pour inverser une matrice, on effectue sur ses lignes des multiplications par un scalaire non nul, des combinaisons linéaires et des échanges de lignes, en appliquant simultanément les mêmes opérations à la matrice identité jusqu’à obtenir l’identité à gauche ; la matrice obtenue à droite est l’inverse.

Compléments

• La transposée vérifie ${}^t({}^tA)=A$, ${}^t(A+B)={}^tA+{}^tB$, ${}^t(AC)={}^tC\,{}^tA$ et ${}^t(aA)=a\,{}^tA$.

• Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si, pour tout vecteur $Y$, l’équation $AX=Y$ possède une unique solution $X$.

• Si la méthode d’inversion fait apparaître une ligne de zéros, la matrice n’est pas inversible.

• Si $A=PDP^{-1}$ avec $P$ inversible, alors pour tout entier $n$, $A^n=PD^nP^{-1}$.

📖 18. Applications des matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une application linéaire de $\mathbb R^n$ vers $\mathbb R^p$ est un morphisme de groupes pour l’addition et s’écrit $\varphi(X)=AX$ pour une matrice $A\in M_{p,n}(\mathbb R)$.
• Matrice d’adjacence : Pour un graphe de sommets $s_1,\ldots,s_n$, la matrice d’adjacence $M=(m_{ij})$ vaut $1$ si une arête va de $s_i$ à $s_j$ et $0$ sinon.

★ À maîtriser

• Un système linéaire à $p$ équations et $n$ inconnues s’écrit sous forme matricielle $AX=Y$, avec $A\in M_{p,n}(\mathbb R)$.

• Si un système carré $AX=Y$ a une matrice $A$ inversible, il possède l’unique solution $X=A^{-1}Y$ ; si $A$ n’est pas inversible, il a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

Compléments

• Si $\varphi$ et $\psi$ sont représentées par les matrices $M$ et $N$, la composée $\psi\circ\varphi$ est représentée par le produit $NM$.

• La rotation plane de centre $O$ et d’angle $\theta$ est représentée par $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$, avec $R_\theta R_{\theta'}=R_{\theta+\theta'}$ et $R_\theta^{-1}=R_{-\theta}$.

• Pour une matrice d’adjacence $M$, le coefficient $m_{ij}^{(k)}$ de $M^k$ donne le nombre de chemins reliant $s_i$ à $s_j$ par $k$ arêtes.

• Dans un graphe pondéré ou probabiliste, la matrice peut contenir les poids ou probabilités des arêtes, et ses puissances décrivent alors des propriétés du graphe en plusieurs étapes.

• Dans le jeu de pile ou face décrit, la matrice de transition élevée à la puissance $15$ indique qu’en partant avec $2$ euros, le premier joueur a environ $57\ \%$ de chances d’être ruiné et $38\ \%$ de chances de gagner après 15 manches.