Fiche de révision : Ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples et diviseurs entiers
3. Parité des entiers
4. Nombres décimaux
5. Nombres rationnels et fractions
6. Nombres irrationnels et réels

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier naturel : Un nombre entier naturel est un entier positif ou nul, et l’ensemble correspondant est noté ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Nombre entier relatif : Un nombre entier relatif est un entier positif, négatif ou nul, et l’ensemble correspondant est noté ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.

📝 Points essentiels

📌 Tout nombre entier naturel est un nombre entier relatif, ce qui se note ℕ ⊂ ℤ.

📖 2. Multiples et diviseurs entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Pour des entiers relatifs a et b avec b ≠ 0, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = b × k.

★ À maîtriser

📌 Dire que a est un multiple de b équivaut à dire que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.

📌 Pour tout entier a, la somme de deux multiples de a est un multiple de a.

Compléments

• 15 = 3 × 5, donc 3 et 5 sont des diviseurs de 15 et 15 est un multiple de 3 et de 5.

• 70 et 35 sont des multiples de 7, donc leur somme 105 est aussi un multiple de 7.

📖 3. Parité des entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier pair : Un entier n est pair s’il existe un entier k tel que n = 2k.
• Entier impair : Un entier n est impair s’il n’est pas pair et peut s’écrire sous la forme 2k + 1 avec k entier.

📝 Points essentiels

📌 Le carré d’un nombre impair est impair.

📖 4. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule ; l’ensemble des nombres décimaux est noté 𝔻.

★ À maîtriser

📌 Tout entier est un nombre décimal, ce qui se note ℤ ⊂ 𝔻.

📐 Formule - Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a ∈ ℤ et n ∈ ℕ.

Compléments

📌 1/3 n’est pas un nombre décimal, car supposer 1/3 = a/10ⁿ conduirait à ce que 10ⁿ soit multiple de 3, alors que la somme de ses chiffres vaut 1.

• 9,46 = 946/10² et 0,0037 = 37/10⁴ sont des écritures d’un nombre décimal sous la forme d’une fraction de dénominateur puissance de 10.

📖 5. Nombres rationnels et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers relatifs et b ≠ 0 ; l’ensemble correspondant est noté ℚ.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre décimal est rationnel, ce qui se note 𝔻 ⊂ ℚ.

📌 Tout nombre rationnel peut s’écrire sous forme d’une fraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur n’ont pour seul diviseur positif commun que 1.

• √2 n’est pas rationnel : si √2 = a/b sous forme irréductible, alors a² = 2b² impose que a et b soient tous deux pairs, ce qui contredit l’irréductibilité de a/b.

Compléments

• 4/3 et 5 sont rationnels, tandis que √2 ne l’est pas.

📖 6. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction.
• Nombre réel : L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels forme l’ensemble des nombres réels, noté ℝ.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel.

📌 Les ensembles sont inclus les uns dans les autres selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée.

• √2, √3 et π sont des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

Un réel est rationnel (fraction) ou irrationnel (pas de fraction).