QCM : Ensembles de nombres (20 questions)

Question 1

1. Pour écrire $0,0062$ sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ naturel, quelle écriture convient ?

\frac{62}{10^4}

\frac{62}{10^3}

\frac{6,2}{10^3}

\frac{620}{10^4}

Explication

Il faut quatre chiffres après la virgule dans l’écriture en fraction de dénominateur puissance de 10 : $0,0062=\frac{62}{10^4}$ . Avec $10^3$ on obtient $0,062$ , $\frac{620}{10^4}=0,062$ , et $6,2$ n’est pas un entier.

Answer

$$\frac{62}{10^4}$$

Question 2

2. Pour vérifier si −18 est un multiple de 6, quelle égalité avec un entier $k$ convient ?

6 = -18 \times (-3)

-18 = 6 \times 2,5

-18 = 6 \times (-3)

-18 = 6 \times 3

Explication

Un nombre est multiple de 6 s’il s’écrit comme 6 fois un entier ; ici, $-18 = 6 \times (-3)$ . L’égalité qui vaut 6 inverse le rôle du multiple et du diviseur, tandis que les deux autres produits ne donnent pas −18 avec un coefficient entier.

Answer

$$-18 = 6 \times (-3)$$

Question 3

3. Un nombre $x$ possède une écriture décimale finie. Dans quel ensemble est-il nécessairement inclus parmi les choix proposés ?

Dans

\mathbb{Q}

Dans

\mathbb{Z}

Dans

\mathbb{N}

Dans

\mathbb{D}

mais pas nécessairement dans

\mathbb{Q}

Explication

Tout nombre décimal est rationnel, donc $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ . Un décimal n’est pas forcément entier, et tout entier n’est pas forcément naturel.

Answer

Dans $$\mathbb{Q}$$

Question 4

4. Une élève affirme que chaque nombre de $\mathbb{N}$ appartient aussi à $\mathbb{Z}$ . Quelle relation entre ces ensembles exprime correctement son affirmation ?

\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

\mathbb{N} = \mathbb{Z}

Explication

Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ . L’inclusion inverse exclurait à tort les entiers négatifs de $\mathbb{Z}$ , et les deux ensembles ne sont pas égaux.

Answer

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$

Question 5

5. On suppose que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ avec une fraction irréductible et $b\ne 0$ . La relation $a^2=2b^2$ conduit à quelle contradiction ?

Elle impose que

a

et

b

soient pairs, donc que la fraction puisse être simplifiée par 2

Elle impose que

a

et

b

soient premiers, donc qu’ils n’aient aucun diviseur commun

Elle impose que

a

soit pair et

b

impair, ce qui rend la fraction irréductible

Elle impose que

a

et

b

soient impairs, ce qui contredit la relation initiale

Explication

De $a^2=2b^2$ , on déduit que $a$ est pair, puis en substituant que $b$ est pair aussi. La fraction serait alors simplifiable par 2, contrairement à l’hypothèse d’irréductibilité; le raisonnement ne rend pas les termes impairs ni premiers.

Answer

Elle impose que $$a$$ et $$b$$ soient pairs, donc que la fraction puisse être simplifiée par 2

Question 6

6. Quel ensemble est formé par la réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels ?

L’ensemble des nombres entiers relatifs, noté

\mathbb{Z}

L’ensemble des nombres décimaux, noté

\mathbb{D}

L’ensemble des nombres réels, noté

\mathbb{R}

L’ensemble des nombres rationnels, noté

\mathbb{Q}

Explication

Les nombres rationnels et irrationnels forment ensemble les nombres réels, notés $\mathbb{R}$ . $\mathbb{Q}$ ne désigne que les rationnels, tandis que $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Z}$ sont des ensembles plus restreints.

Answer

L’ensemble des nombres réels, noté $$\mathbb{R}$$

Question 7

7. Un nombre s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Comment le classe-t-on ?

Comme un nombre irrationnel, élément de

\mathbb{R}

Comme un nombre décimal, élément de

\mathbb{D}

Comme un nombre périodique, élément de

\mathbb{Q}

Comme un nombre entier, élément de

\mathbb{Z}

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule et appartient à $\mathbb{D}$ . Une écriture périodique n’est pas le critère de définition, un nombre décimal n’est pas nécessairement entier, et les nombres décimaux sont rationnels plutôt qu’irrationnels.

Answer

Comme un nombre décimal, élément de $$\mathbb{D}$$

Question 8

8. Un nombre ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction. Dans quelle catégorie le classe-t-on ?

Nombre entier relatif

Nombre irrationnel

Nombre décimal

Nombre rationnel

Explication

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Un rationnel, au contraire, possède une telle écriture; le fait de ne pas être entier ne suffit pas à être irrationnel.

Answer

Nombre irrationnel

Question 9

9. Un ascenseur se trouve au niveau −3, représenté par un entier négatif. À quel ensemble de nombres ce niveau appartient-il ?

À l’ensemble

\mathbb{Z}

À l’ensemble des nombres décimaux non entiers

À l’ensemble

\mathbb{N}

À aucun ensemble d’entiers

Explication

L’ensemble $\mathbb{Z}$ comprend les entiers positifs, négatifs et zéro ; le niveau −3 y appartient. $\mathbb{N}$ exclut les entiers négatifs, et −3 est bien un entier.

Answer

À l’ensemble $$\mathbb{Z}$$

Question 10

10. Une fraction représente un nombre rationnel. Quelle propriété doit avoir une écriture de cette fraction pour être irréductible ?

Son numérateur et son dénominateur doivent être égaux ou consécutifs

Son numérateur doit être premier et son dénominateur doit être supérieur à 1

Son numérateur et son dénominateur n’ont pour seul diviseur positif commun que 1

Son dénominateur doit être positif et son numérateur peut partager un diviseur avec lui

Explication

Une fraction irréductible a pour seuls diviseurs positifs communs à son numérateur et à son dénominateur le nombre 1. Le signe du dénominateur ou le caractère premier du numérateur ne définit pas l’irréductibilité.

Answer

Son numérateur et son dénominateur n’ont pour seul diviseur positif commun que 1

Question 11

11. Une élève vérifie la chaîne d’inclusions des ensembles numériques, des naturels jusqu’aux réels. Quelle chaîne est correcte ?

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}

\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels puis les réels. La chaîne proposée dans la première réponse respecte cet ordre; les autres inversent ou omettent une inclusion.

Answer

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Question 12

12. Quel critère caractérise un entier impair dans l’écriture $2k+1$ ?

Il existe un entier

k

tel que

n=2k

Il existe un entier

k

tel que

n=2k+1

Il existe un entier

k

tel que

n=2k+2

Il existe un nombre réel

k

tel que

n=2k+1

Explication

Un entier impair s’écrit $2k+1$ avec $k$ entier, et n’est pas pair. L’écriture $2k$ définit un pair, un réel quelconque ne respecte pas la condition sur k, et $2k+2$ est un multiple de 2.

Answer

Il existe un entier $$k$$ tel que $$n=2k+1$$

Question 13

13. Un nombre est réel. Quelle classification couvre les possibilités pour ce nombre ?

Il est décimal ou irrationnel

Il est rationnel ou irrationnel

Il est naturel ou rationnel

Il est entier relatif ou irrationnel

Explication

Tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel. Les nombres décimaux, entiers relatifs et naturels ne couvrent pas à eux seuls tous les rationnels, et ne constituent donc pas cette classification.

Answer

Il est rationnel ou irrationnel

Question 14

14. Un nombre s’écrit sous la forme $\frac{-7}{4}$ . Que peut-on conclure de cette écriture ?

Il appartient à

\mathbb{Q}

, car son numérateur et son dénominateur sont des entiers et le dénominateur est non nul

Il n’appartient pas à

\mathbb{Q}

, car un numérateur négatif est exclu

Il n’appartient pas à

\mathbb{Q}

, car son dénominateur n’est pas égal à 1

Il appartient à

\mathbb{D}

, car toute fraction d’entiers a une écriture décimale finie

Explication

Un rationnel s’écrit comme une fraction d’entiers avec un dénominateur non nul, ce qui est le cas ici. L’appartenance à $\mathbb{D}$ ne découle pas de toute fraction, et le signe du numérateur ou la valeur du dénominateur n’empêchent pas d’être rationnel.

Answer

Il appartient à $$\mathbb{Q}$$, car son numérateur et son dénominateur sont des entiers et le dénominateur est non nul

Question 15

15. Une équipe élève un entier impair $m$ au carré. Quelle propriété peut-elle conclure sur $m^2$ ?

m^2

est un multiple de 4

m^2

est pair

m^2

est impair

m^2

n’est ni pair ni impair

Explication

Le carré d’un nombre impair est impair : si $m=2k+1$ , alors son carré s’écrit $2(2k^2+2k)+1$ . La conclusion « pair » inverse la propriété ; être un multiple de 4 correspond au carré d’un pair, et un entier est pair ou impair.

Answer

$$m^2$$ est impair

Question 16

16. Parmi les nombres suivants, lequel appartient à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

0

2,5

−1

−4

Explication

Les entiers naturels sont les entiers positifs ou nuls, donc zéro en fait partie. −4 et −1 sont négatifs, tandis que 2,5 n’est pas un entier.

Answer

−16 est un multiple de 8

Answer

$$-14=2\times(-7)$$, avec $$-7$$ entier

Answer

42 est un multiple de 7

Answer

Dans $$\mathbb{Z}$$ et dans $$\mathbb{D}$$

Question 17

17. Deux multiples de 8, 24 et −40, sont additionnés. Quelle conclusion s’applique à leur somme ?

−16 est un multiple de 8

−16 est un multiple de 7

−16 n’est pas un multiple de 8

−16 est un diviseur de 8

Explication

La somme de deux multiples d’un même entier est encore un multiple de cet entier ; ici, $24 + (-40) = -16$ , et $-16 = 8 \times (-2)$ . −16 n’est pas un diviseur de 8, et son signe négatif ne l’empêche pas d’être un multiple de 8.

Question 18

18. Un entier relatif vaut $-14$ . Quelle écriture permet de vérifier directement qu’il est pair ?

-14=2\times(-7)

, avec

-7

entier

-14=2\times(-7,5)

, avec

-7,5

entier

-14=2\times(-7)+1

, avec

-7

entier

-14=4\times(-3)+2

, avec

-3

entier

Explication

Un entier est pair s’il existe un entier $k$ tel qu’il s’écrive $2k$ ; ici, $k=-7$ . La forme $2k+1$ correspond à un impair, la forme en multiple de 4 ne vérifie pas le critère demandé et $-7,5$ n’est pas entier.

Question 19

19. Une division entière montre que 42 est divisible par 7. Quelle autre formulation exprime la même relation ?

42 est un diviseur de 7

42 est la somme de 7 et d’un entier

42 est un multiple de 7

7 est un multiple de 42

Explication

Dire que 42 est divisible par 7 équivaut à dire que 42 est un multiple de 7, ou que 7 est un diviseur de 42. « 7 est un multiple de 42 » inverse ces rôles, et « 42 est un diviseur de 7 » inverse également la relation.

Question 20

20. Un registre contient l’entier relatif $-12$ . Dans quel ensemble doit-on le classer parmi $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{D}$ ?

Dans

\mathbb{D}

, mais pas dans

\mathbb{Z}

Dans

\mathbb{Z}

, mais pas dans

\mathbb{D}

Dans

\mathbb{Z}

et dans

\mathbb{D}

Ni dans

\mathbb{Z}

ni dans

\mathbb{D}

Explication

Tout entier est un nombre décimal, donc $\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$ ; ainsi, $-12$ appartient aux deux ensembles. L’inclusion inverse est fausse, les entiers négatifs sont bien des entiers décimaux, et $-12$ est clairement un entier.

QCM : Ensembles de nombres (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour écrire $0,0062$ sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ naturel, quelle écriture convient ?

2. Pour vérifier si −18 est un multiple de 6, quelle égalité avec un entier $k$ convient ?

3. Un nombre $x$ possède une écriture décimale finie. Dans quel ensemble est-il nécessairement inclus parmi les choix proposés ?

4. Une élève affirme que chaque nombre de $\mathbb{N}$ appartient aussi à $\mathbb{Z}$ . Quelle relation entre ces ensembles exprime correctement son affirmation ?

5. On suppose que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ avec une fraction irréductible et $b\ne 0$ . La relation $a^2=2b^2$ conduit à quelle contradiction ?

6. Quel ensemble est formé par la réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels ?

7. Un nombre s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Comment le classe-t-on ?

8. Un nombre ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction. Dans quelle catégorie le classe-t-on ?

9. Un ascenseur se trouve au niveau −3, représenté par un entier négatif. À quel ensemble de nombres ce niveau appartient-il ?

10. Une fraction représente un nombre rationnel. Quelle propriété doit avoir une écriture de cette fraction pour être irréductible ?

11. Une élève vérifie la chaîne d’inclusions des ensembles numériques, des naturels jusqu’aux réels. Quelle chaîne est correcte ?

12. Quel critère caractérise un entier impair dans l’écriture $2k+1$ ?

13. Un nombre est réel. Quelle classification couvre les possibilités pour ce nombre ?

14. Un nombre s’écrit sous la forme $\frac{-7}{4}$ . Que peut-on conclure de cette écriture ?

15. Une équipe élève un entier impair $m$ au carré. Quelle propriété peut-elle conclure sur $m^2$ ?

16. Parmi les nombres suivants, lequel appartient à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

17. Deux multiples de 8, 24 et −40, sont additionnés. Quelle conclusion s’applique à leur somme ?

18. Un entier relatif vaut $-14$ . Quelle écriture permet de vérifier directement qu’il est pair ?

19. Une division entière montre que 42 est divisible par 7. Quelle autre formulation exprime la même relation ?

20. Un registre contient l’entier relatif $-12$ . Dans quel ensemble doit-on le classer parmi $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{D}$ ?

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QCM : Ensembles de nombres (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour écrire 0,00620,00620,0062 sous la forme a10n\frac{a}{10^n}10na​ avec aaa entier et nnn naturel, quelle écriture convient ?

2. Pour vérifier si −18 est un multiple de 6, quelle égalité avec un entier kkk convient ?

3. Un nombre xxx possède une écriture décimale finie. Dans quel ensemble est-il nécessairement inclus parmi les choix proposés ?

4. Une élève affirme que chaque nombre de N\mathbb{N}N appartient aussi à Z\mathbb{Z}Z. Quelle relation entre ces ensembles exprime correctement son affirmation ?

5. On suppose que 2=ab\sqrt{2}=\frac{a}{b}2​=ba​ avec une fraction irréductible et b≠0b\ne 0b=0. La relation a2=2b2a^2=2b^2a2=2b2 conduit à quelle contradiction ?

6. Quel ensemble est formé par la réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels ?

7. Un nombre s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Comment le classe-t-on ?

8. Un nombre ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction. Dans quelle catégorie le classe-t-on ?

9. Un ascenseur se trouve au niveau −3, représenté par un entier négatif. À quel ensemble de nombres ce niveau appartient-il ?

10. Une fraction représente un nombre rationnel. Quelle propriété doit avoir une écriture de cette fraction pour être irréductible ?

11. Une élève vérifie la chaîne d’inclusions des ensembles numériques, des naturels jusqu’aux réels. Quelle chaîne est correcte ?

12. Quel critère caractérise un entier impair dans l’écriture 2k+12k+12k+1 ?

13. Un nombre est réel. Quelle classification couvre les possibilités pour ce nombre ?

14. Un nombre s’écrit sous la forme −74\frac{-7}{4}4−7​. Que peut-on conclure de cette écriture ?

15. Une équipe élève un entier impair mmm au carré. Quelle propriété peut-elle conclure sur m2m^2m2 ?

16. Parmi les nombres suivants, lequel appartient à l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}N ?

17. Deux multiples de 8, 24 et −40, sont additionnés. Quelle conclusion s’applique à leur somme ?

18. Un entier relatif vaut −14-14−14. Quelle écriture permet de vérifier directement qu’il est pair ?

19. Une division entière montre que 42 est divisible par 7. Quelle autre formulation exprime la même relation ?

20. Un registre contient l’entier relatif −12-12−12. Dans quel ensemble doit-on le classer parmi Z\mathbb{Z}Z et D\mathbb{D}D ?

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1. Pour écrire $0,0062$ sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ naturel, quelle écriture convient ?

2. Pour vérifier si −18 est un multiple de 6, quelle égalité avec un entier $k$ convient ?

3. Un nombre $x$ possède une écriture décimale finie. Dans quel ensemble est-il nécessairement inclus parmi les choix proposés ?

4. Une élève affirme que chaque nombre de $\mathbb{N}$ appartient aussi à $\mathbb{Z}$ . Quelle relation entre ces ensembles exprime correctement son affirmation ?

5. On suppose que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ avec une fraction irréductible et $b\ne 0$ . La relation $a^2=2b^2$ conduit à quelle contradiction ?

12. Quel critère caractérise un entier impair dans l’écriture $2k+1$ ?

14. Un nombre s’écrit sous la forme $\frac{-7}{4}$ . Que peut-on conclure de cette écriture ?

15. Une équipe élève un entier impair $m$ au carré. Quelle propriété peut-elle conclure sur $m^2$ ?

16. Parmi les nombres suivants, lequel appartient à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

18. Un entier relatif vaut $-14$ . Quelle écriture permet de vérifier directement qu’il est pair ?

20. Un registre contient l’entier relatif $-12$ . Dans quel ensemble doit-on le classer parmi $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{D}$ ?