QCM : Ensembles de nombres — 20 questions

Explication

Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls, notés $0, 1, 2, 3, \ldots$, et leur ensemble est $\mathbb{N}$. L’ensemble $\mathbb{Z}$ contient aussi les entiers négatifs, ce qui le distingue de $\mathbb{N}$.

Explication

Les entiers relatifs regroupent les entiers naturels et leurs opposés, comme $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$, et sont notés $\mathbb{Z}$. L’ensemble $\mathbb{N}$ ne contient pas les entiers négatifs.

Explication

Tout entier naturel est aussi un entier relatif, donc $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. La relation inverse est fausse, car $\mathbb{Z}$ contient des entiers négatifs qui n’appartiennent pas à $\mathbb{N}$.

Explication

Par définition, $a$ est un multiple de $b$ lorsqu’il existe un entier $k$ tel que $a=b\times k$. La relation $b=a\times k$ correspondrait à une autre situation et ne définit pas que $a$ est multiple de $b$.

Explication

La somme de deux multiples de $a$ reste un multiple de $a$ : si ces nombres valent $a\times m$ et $a\times n$, leur somme vaut $a\times(m+n)$. Le fait d’être des multiples communs ne permet pas de conclure que la somme est première ou inférieure aux termes.

Explication

Un entier est divisible par $3$ lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $3$. Le chiffre des unités égal à $0$ ou $5$ est le critère de divisibilité par $5$, et non par $3$.

Explication

Un nombre pair est un multiple de $2$ et peut donc s’écrire $2\times n$ avec $n$ entier. La forme $2\times n+1$ caractérise un nombre impair, tandis que deux diviseurs définissent un nombre premier.

Explication

Tout nombre impair s’écrit $2\times n+1$ avec $n$ entier et n’est pas un multiple de $2$. L’expression $2\times n$ représente au contraire un nombre pair.

Explication

Si un entier pair vaut $2n$, son carré vaut $4n^2$ et reste pair ; si un entier impair vaut $2n+1$, son carré reste impair. La parité est donc conservée par l’élévation au carré.

Explication

Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même. Un entier ayant au moins trois diviseurs est composé et peut se décomposer en produit de nombres premiers.

Explication

Un nombre rationnel est représenté par le quotient de deux entiers relatifs dont le dénominateur est non nul. Une écriture décimale finie caractérise un nombre décimal, qui constitue une catégorie plus restreinte.

Explication

Une fraction irréductible possède un seul diviseur commun à son numérateur et à son dénominateur, à savoir 1. Le dénominateur n’est pas obligatoirement une puissance de 10 et la comparaison des deux termes dépend du nombre représenté.

Explication

$\frac{1}{3}$ est le quotient de deux entiers, donc il est rationnel, mais il ne peut pas s’écrire avec un dénominateur égal à une puissance de 10. Les autres fractions sont des nombres décimaux.

Explication

Tout entier est un nombre décimal, et tout nombre décimal est rationnel, d’où $\mathbb{Z}\subset D\subset\mathbb{Q}$. L’inclusion inverse entre les nombres rationnels et décimaux est fausse, car $\frac{1}{3}$ est rationnel sans être décimal.

Explication

Les nombres réels correspondent aux abscisses des points d’une droite graduée appelée droite numérique. Les écritures fractionnaires irréductibles concernent les rationnels, tandis que l’écriture décimale finie caractérise les décimaux.

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers, puis dans les décimaux, les rationnels et enfin les réels. Les réels contiennent également les nombres irrationnels, ce qui exclut l’inclusion de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{Q}$.

Explication

Un nombre irrationnel appartient à $\mathbb{R}$ sans appartenir à $\mathbb{Q}$; $\sqrt{2}$ en est un exemple. Un nombre qui s’écrit comme le quotient de deux entiers est rationnel, quelle que soit la valeur de son dénominateur.

Explication

L’amplitude mesure la largeur de l’encadrement et vaut $b-a$. Les nombres $a$ et $b$ sont les bornes, tandis que $x$ est le nombre situé entre elles.

Explication

Un encadrement décimal à $10^{-n}$ près place $x$ entre $d$ et $d+10^{-n}$, avec la forme $d\le x<d+10^{-n}$. L’expression utilisant $10^n$ donne une amplitude différente et les autres inégalités inversent la position de la borne.

Explication

L’intervalle $[a;b]$ contient tous les réels compris entre $a$ et $b$, bornes incluses, ce qui s’écrit $a\le x\le b$. Les inégalités strictes correspondent à des intervalles dont une ou deux bornes sont ouvertes.