Fiche de révision : Ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples et divisibilité
3. Parité et nombres premiers
4. Rationnels et nombres décimaux
5. Nombres réels et irrationnels
6. Encadrements et intervalles

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les nombres 0, 1, 2, 3, … et leur ensemble est noté N.
• Entiers relatifs : Formés des entiers naturels et de leurs opposés, et leur ensemble est noté Z.

📝 Points essentiels

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note $N \subset Z$.

💡 Astuce mémo

N s’élargit en Z en ajoutant les opposés

📖 2. Multiples et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier naturel a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que $a=b\times k$.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un même entier a est encore un multiple de a.

📌 Un entier relatif est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5, par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 9 lorsque cette somme est divisible par 9.

Compléments

• 12 est un multiple de 3 car $12=4\times3$.

💡 Astuce mémo

a = b × k implique que b divise a

📖 3. Parité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un entier multiple de 2 qui s’écrit sous la forme $2\times n$, avec n entier.
• Nombre impair : Un entier non multiple de 2 qui s’écrit sous la forme $2\times n+1$, avec n entier.
• Nombre premier : Un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

📌 Le carré d’un nombre pair est pair et le carré d’un nombre impair est impair.

📌 Tout entier naturel au moins égal à 2 est premier ou se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.

💡 Astuce mémo

Pair = 2n ; impair = 2n + 1

📖 4. Rationnels et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, avec a et b entiers relatifs et $b\ne0$; son ensemble est noté Q.
• Nombre décimal : Un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec a entier relatif et n entier naturel; son ensemble est noté D.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre rationnel non nul possède une unique écriture fractionnaire irréductible $\frac{p}{q}$, avec p entier relatif, q entier naturel non nul et 1 seul diviseur commun à p et q.

📌 Les inclusions entre les ensembles entiers, décimaux et rationnels sont $Z\subset D\subset Q$.

Compléments

• Le nombre $\frac{1}{3}$ est rationnel mais n’est pas décimal.

💡 Astuce mémo

Z ⊂ D ⊂ Q

📖 5. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Les abscisses des points d’une droite graduée appelée droite numérique, et leur ensemble est noté R.
• Nombre irrationnel : Un nombre réel qui n’est pas rationnel.

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les ensembles de nombres sont $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R$.

Compléments

• π et √2 sont des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 6. Encadrements et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Encadrer un nombre réel x consiste à trouver deux nombres a et b tels que $a\le x\le b$; la différence $b-a$ est l’amplitude de l’encadrement.
• Intervalle : L’intervalle [a;b] contient les nombres réels x tels que $a\le x\le b$, avec les deux bornes incluses.

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre réel x, il existe un nombre décimal d et un entier naturel n tels que $d\le x<d+10^{-n}$; c’est un encadrement décimal de x à $10^{-n}$ près.

Compléments

• Un encadrement décimal de √2 à 10^-3 près est $1{,}414\le\sqrt2<1{,}415$.

• Les intervalles ]a;b], [a;b[, ]a;b[, [a;+∞[, ]a;+∞[, ]-∞;b] et ]-∞;b[ correspondent respectivement à a < x ≤ b, a ≤ x < b, a < x < b, a ≤ x, a < x, x ≤ b et x < b.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres