Fiche de révision : Ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Nombres entiers naturels et relatifs
2. Multiples diviseurs et fractions
3. Nombres pairs et impairs
4. Nombres rationnels
5. Nombres décimaux
6. Nombres réels et irrationnels

📖 1. Nombres entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Ensemble des entiers positifs, noté N, qui s’écrit N = {0, 1, 2, 3, …}.
• Nombres relatifs : Ensemble des entiers négatifs et positifs, noté Z, qui s’écrit Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

📝 Points essentiels

• Tout nombre naturel est un entier relatif, ce qui se note N ⊂ Z.

💡 Astuce mémo

N s’élargit en Z : positifs, puis négatifs.

📖 2. Multiples diviseurs et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers relatifs a et b avec b ≠ 0, s’il existe un entier relatif q tel que $a=bq$, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
• Nombre premier : Un entier naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même, et 1 n’est pas un nombre premier.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier relatif non nul b est encore un multiple de b.

Compléments

📌 Pour comparer deux fractions, on peut calculer leur différence, ou calculer leur quotient lorsque les deux fractions sont positives.

💡 Astuce mémo

Le multiple est obtenu, le diviseur permet d’obtenir.

📖 3. Nombres pairs et impairs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un entier relatif a est pair s’il existe un entier relatif q tel que $a=2q$, c’est-à-dire si 2 est un diviseur de a.
• Nombre impair : Un entier relatif a est impair s’il existe un entier relatif q tel que $a=2q+1$, c’est-à-dire si 2 n’est pas un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 Le carré d’un nombre impair est impair.

Compléments

• Si $n=2p+1$ est impair, alors $n^2=2(2p^2+2p)+1$, donc n² est impair.

💡 Astuce mémo

Pair = divisible par 2 ; impair = reste 1.

📖 4. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction $\frac{a}{b}$, avec a et b entiers relatifs et b ≠ 0.

★ À maîtriser

• Tout entier relatif est un nombre rationnel, car tout entier a s’écrit $\frac{a}{1}$.

Compléments

• L’inclusion des ensembles de nombres naturels, relatifs et rationnels s’écrit N ⊂ Z ⊂ Q.

📖 5. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec a ∈ Z et n ∈ N.

★ À maîtriser

• Le nombre $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal, car aucune puissance de 10 n’est un multiple de 3.

• Les inclusions entre les ensembles naturels, relatifs, décimaux et rationnels s’écrivent N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.

Compléments

📌 Un nombre décimal admet un développement décimal comportant un nombre fini de chiffres.

• Tout entier relatif est un nombre décimal, car tout entier a s’écrit $\frac{a}{10^0}=a$.

💡 Astuce mémo

Décimal : écriture finie ; rationnel : fraction quelconque.

📖 6. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée, noté R, cette droite étant appelée droite numérique.
• Nombre irrationnel : Un nombre réel qui n’est pas rationnel est appelé un nombre irrationnel, comme √2 et π.

📝 Points essentiels

• Les nombres réels permettent de mesurer toute grandeur ; par exemple, √2 ≈ 1,414 est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 et π ≈ 3,14 est la longueur d’un cercle de diamètre 1.

• La démonstration par l’absurde de l’irrationalité de √2 suppose d’abord que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ est une fraction irréductible, puis établit que p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit l’irréductibilité de la fraction.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres