Fiche de révision : Récurrence et limites des suites

📋 Plan du Cours

1. Propriétés dépendant d’un entier
2. Récurrence et variations des suites
3. Suites bornées et monotonicité
4. Les quatre comportements limites
5. Opérations et comparaison des limites
6. Suites géométriques et monotones

📖 1. Propriétés dépendant d’un entier

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété dépendant de n : Peut être vraie pour certains entiers et fausse pour d’autres.

📝 Points essentiels

• L’inégalité n² − 4 > 0 est vraie pour n ≥ 3, mais fausse pour n ∈ {0, 1, 2}.

📖 2. Récurrence et variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Une suite croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• Pour démontrer une propriété Pₙ pour tout entier n ≥ n₀, on vérifie successivement l’initialisation en n₀, l’hérédité de Pₖ vers Pₖ₊₁, puis la conclusion.

• Les méthodes d’étude des variations sont:

  • Étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ
  • Étudier la fonction f lorsque uₙ = f(n)
  • Comparer uₙ₊₁/uₙ à 1 si les termes sont strictement positifs
  • Utiliser un raisonnement par récurrence

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 3. Suites bornées et monotonicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : S’il existe un réel M tel que uₙ ≤ M pour tout n ∈ N.
• Suite minorée : S’il existe un réel m tel que uₙ ≥ m pour tout n ∈ N.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée.

💡 Astuce mémo

Majorée : plafond ; minorée : plancher

📖 4. Les quatre comportements limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence vers un réel : Si, pour tout ε > 0, tous ses termes sont dans ]ℓ − ε ; ℓ + ε[ à partir d’un certain rang.
• Divergence vers +∞ : Si, pour tout réel A, il existe un rang N tel que uₙ ≥ A pour tout n ≥ N.

📝 Points essentiels

• La suite définie par uₙ = (−1)ⁿ n’a pas de limite car elle prend alternativement les valeurs −1 et 1.

💡 Astuce mémo

Converger vers un réel ≠ diverger vers ±∞

📖 5. Opérations et comparaison des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une opération sur les limites qui ne permet pas de conclure directement et qui nécessite une autre méthode.

📝 Points essentiels

• Les limites de référence sont $\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}n^k=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}e^n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^k}=0$ pour k ∈ N*.

📌 Les opérations sur les limites permettent de calculer les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient lorsque la combinaison n’est pas une forme indéterminée.

• Pour appliquer le théorème des gendarmes, on encadre vₙ entre uₙ et wₙ à partir d’un certain rang, puis on vérifie que uₙ et wₙ convergent vers la même limite ℓ.

💡 Astuce mémo

Encadrement par deux limites égales → même limite

📖 6. Suites géométriques et monotones

★ À maîtriser

• Pour une suite géométrique (qⁿ), si q > 1 elle est croissante non majorée et tend vers +∞, si q = 1 elle est constante et tend vers 1, et si −1 < q < 1 elle tend vers 0.

📌 Une suite croissante et majorée converge, une suite croissante non majorée diverge vers +∞, une suite décroissante et minorée converge, et une suite décroissante non minorée diverge vers −∞.

Compléments

• Si 0 < q < 1, la suite géométrique (qⁿ) est décroissante et minorée par 0.

• Si q ≤ −1, la suite géométrique (qⁿ) n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

Croissante majorée : convergence ; non majorée : +∞

📊 Tableaux de synthèse

Comportement des suites géométriques