Pour démontrer une propriété Pₙ pour tout entier n ≥ n₀, on vérifie successivement l’initialisation en n₀, l’hérédité de Pₖ vers Pₖ₊₁, puis la conclusion.
Les méthodes d’étude des variations sont:
Initialisation → hérédité → conclusion
1. Pour quelles valeurs entières de n l’inégalité est-elle vérifiée ?
2. Quelle méthode convient pour comparer les termes consécutifs d’une suite dont les termes sont strictement positifs ?
3. Comment caractériser une propriété dépendant d’un entier n ?
Qu'est-ce qu'une propriété dépendant d'un entier n?
C'est une propriété vraie pour certains entiers et fausse pour d'autres.
Pour quelles valeurs de n l'inégalité n² − 4 > 0 est-elle vraie?
Elle est vraie pour n supérieur ou égal à 3.
Quelles étapes vérifie-t-on pour démontrer une propriété Pₙ par récurrence ?
On vérifie l'initialisation en n₀, l'hérédité de Pₖ vers Pₖ₊₁, puis la conclusion.
Comment peut-on étudier le sens de variation d'une suite ?
On peut étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ, comparer uₙ₊₁/uₙ à 1, étudier f si uₙ = f(n), ou utiliser une récurrence.
Propriété dépendant de n
Vraie ou fausse selon n
Suite monotone
Croissante ou décroissante
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