QCM : Ensembles de nombres et arithmétique — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle notation convient pour exprimer que le nombre −3-3 appartient à l’ensemble des entiers relatifs ?

−3∈Z-3\in\mathbb{Z}
Z⊂−3\mathbb{Z}\subset-3
Z∈−3\mathbb{Z}\in-3
−3⊂Z-3\subset\mathbb{Z}

$$-3\in\mathbb{Z}$$

Explication

Le symbole ∈\in relie un élément à l’ensemble auquel il appartient, donc on écrit −3∈Z-3\in\mathbb{Z}. Le symbole ⊂\subset sert à exprimer l’inclusion entre deux ensembles, et non l’appartenance d’un nombre.

2. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}
N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Explication

Les ensembles sont emboîtés selon N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. Cette relation concerne des ensembles, tandis qu’un nombre qui appartient à un ensemble se note avec le symbole ∈\in.

3. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N} ?

00
1,31,3
−4-4
23\frac{2}{3}

$$0$$

Explication

L’ensemble N\mathbb{N} contient les nombres entiers positifs ou nuls, donc 00 en fait partie. En revanche, −4-4 est négatif, tandis que 1,31,3 et 23\frac{2}{3} ne sont pas des entiers naturels.

4. Quelle écriture caractérise un nombre décimal ?

a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}
Un nombre dont le développement comporte une infinité de chiffres
Une racine carrée qui n’est pas entière
ab\frac{a}{b} avec a,b∈Za,b\in\mathbb{Z} et b≠0b\neq0

$$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Un nombre décimal s’écrit sous la forme a10n\frac{a}{10^n}, où aa est un entier relatif et nn un entier naturel. La forme ab\frac{a}{b} décrit plus largement les nombres rationnels et ne garantit pas une écriture décimale finie.

5. Pour deux entiers naturels A et B, quelle condition montre qu'A est un multiple de B et que B est un diviseur de A ?

Il existe un entier k tel que B=k×AB=k\times A.
Il existe un entier k tel que A=k+BA=k+B.
Il existe un entier k tel que A=B−kA=B-k.
Il existe un entier k tel que A=k×BA=k\times B.

Il existe un entier k tel que $$A=k\times B$$.

Explication

La relation A=k×BA=k\times B signifie qu'A s’obtient en multipliant B par un entier, donc A est un multiple de B et B est un diviseur de A. La relation inverse proposée ne donne pas la définition demandée, car elle placerait les rôles de A et B dans l’autre sens.

6. Quelle caractéristique distingue un entier relatif d’un entier naturel ?

Il peut être positif, négatif ou nul.
Il s’écrit comme un quotient de deux entiers.
Il possède nécessairement une écriture décimale.
Il est toujours supérieur ou égal à zéro.

Il peut être positif, négatif ou nul.

Explication

Un entier relatif peut prendre une valeur positive, négative ou nulle, et l’ensemble correspondant est noté Z\mathbb{Z}. Un entier naturel est, lui, positif ou nul, tandis qu’une écriture en quotient caractérise les rationnels.

7. Quel nombre est rationnel d’après sa forme d’écriture ?

π\pi
−75\frac{-7}{5}
Un nombre sans quotient d’entiers possible
2\sqrt{2}

$$\frac{-7}{5}$$

Explication

Un rationnel peut s’écrire comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul, ce qui est le cas de −75\frac{-7}{5}. Les nombres π\pi et 2\sqrt{2} sont des réels irrationnels et ne peuvent pas être écrits sous cette forme.

8. Quelle affirmation classe correctement ces nombres dans les réels rationnels ou irrationnels ?

π\pi et 2\sqrt{2} sont rationnels, tandis que 13\frac{1}{3} est irrationnel.
π\pi et 2\sqrt{2} sont irrationnels, tandis que 13\frac{1}{3} est rationnel.
Les trois nombres sont des décimaux ayant une écriture finie.
Les trois nombres sont des entiers relatifs appartenant à Z\mathbb{Z}.

$$\pi$$ et $$\sqrt{2}$$ sont irrationnels, tandis que $$\frac{1}{3}$$ est rationnel.

Explication

π\pi et 2\sqrt{2} sont des nombres réels irrationnels, car ils n’appartiennent pas à Q\mathbb{Q}, tandis que 13\frac{1}{3} est rationnel. Le fait d’être réel ne signifie donc pas qu’un nombre est rationnel ou décimal.

9. Quelle opération permet de rendre la fraction 1824\frac{18}{24} irréductible ?

Soustraire 6 au dénominateur tout en laissant le numérateur inchangé.
Multiplier le numérateur et le dénominateur par 6 afin de supprimer leurs facteurs communs.
Ajouter 6 au numérateur et au dénominateur pour conserver la même fraction.
Diviser le numérateur et le dénominateur par leur diviseur commun non nul, ici 6.

Diviser le numérateur et le dénominateur par leur diviseur commun non nul, ici 6.

Explication

Pour obtenir une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun non nul ; ici, 18÷6=318\div6=3 et 24÷6=424\div6=4. Multiplier les deux termes conserve la fraction, mais ne supprime pas leur diviseur commun.

10. Pourquoi le nombre 35 est-il impair ?

Parce qu’il peut s’écrire 2×182\times18.
Parce qu’il peut s’écrire 2×17+12\times17+1.
Parce qu’il est le produit de 5×75\times7.
Parce qu’il est supérieur à 2×162\times16.

Parce qu’il peut s’écrire $$2\times17+1$$.

Explication

Comme 35=2×17+135=2\times17+1, ce nombre possède la forme 2k+12k+1 qui caractérise les nombres impairs. L’écriture 2×182\times18 correspondrait à 36, qui est pair, tandis que les deux autres propriétés ne déterminent pas la parité.

11. Laquelle de ces écritures caractérise un nombre pair ?

2k+12k+1 avec k appartenant à N\mathbb{N}.
k−2k-2 avec k appartenant à N\mathbb{N}.
2k2k avec k appartenant à N\mathbb{N}.
3k+13k+1 avec k appartenant à N\mathbb{N}.

$$2k$$ avec k appartenant à $$\mathbb{N}$$.

Explication

Un nombre pair est un multiple de 2 et s’écrit donc sous la forme 2k2k avec k naturel. L’écriture 2k+12k+1 caractérise au contraire un nombre impair.

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Qu'est-ce qu'un entier naturel ?

Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul.

Comment note-t-on l'ensemble des entiers naturels ?

L'ensemble des entiers naturels est noté N.

Quels nombres appartiennent à l'ensemble N des entiers naturels ?

Les nombres 0 et 2026 appartiennent à N.

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