QCM : Nombres complexes et module — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans le plan complexe, quel axe correspond à l’axe des imaginaires ?

La droite passant par les points d’affixes réelles
L’axe (O;u⃗)\left(O;\vec u\right)
La droite parallèle à l’axe des réels passant par l’origine
L’axe (O;v⃗)\left(O;\vec v\right)

L’axe $$\left(O;\vec v\right)$$

Explication

L’axe des imaginaires est l’axe vertical (O;v⃗)\left(O;\vec v\right), tandis que l’axe des réels est (O;u⃗)\left(O;\vec u\right). Les points situés sur l’axe des réels ont une partie imaginaire nulle.

2. Que vaut ∣−z∣|-z| pour un nombre complexe zz ?

∣−z∣=∣z∣2|-z|=|z|^2
∣−z∣=−∣z∣|-z|=-|z|
∣−z∣=∣z∣|-z|=|z|
∣−z∣=∣z∣+1|-z|=|z|+1

$$|-z|=|z|$$

Explication

L’opposé d’un nombre complexe possède le même module que ce nombre, car leurs images sont symétriques par rapport à l’origine. Cette égalité des modules ne signifie pas que −z=z-z=z, sauf lorsque z=0z=0.

3. Si z=2+3iz=2+3i et z′=5−iz'=5-i, quelle est la valeur de z′−zz'-z ?

3+4i3+4i
3−4i3-4i
−3+4i-3+4i
7+2i7+2i

$$3-4i$$

Explication

La soustraction se fait séparément sur les parties réelle et imaginaire : z′−z=(5−2)+(−1−3)i=3−4iz'-z=(5-2)+(-1-3)i=3-4i. Le résultat 3+4i3+4i provient d’une erreur de signe sur la partie imaginaire.

4. Pour z=4−3iz=4-3i, quelles sont sa partie réelle et sa partie imaginaire ?

Re⁡(z)=−3\operatorname{Re}(z)=-3 et Im⁡(z)=4\operatorname{Im}(z)=4
Re⁡(z)=4\operatorname{Re}(z)=4 et Im⁡(z)=3\operatorname{Im}(z)=3
Re⁡(z)=4\operatorname{Re}(z)=4 et Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z)=-3
Re⁡(z)=−4\operatorname{Re}(z)=-4 et Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z)=-3

$$\operatorname{Re}(z)=4$$ et $$\operatorname{Im}(z)=-3$$

Explication

Dans la forme z=x+iyz=x+iy, le coefficient réel de 11 est Re⁡(z)\operatorname{Re}(z) et le coefficient de ii est Im⁡(z)\operatorname{Im}(z). Ici, le coefficient de ii est négatif, donc l’imaginaire vaut −3-3 plutôt que 33.

5. Quelle écriture caractérise un nombre complexe de forme algébrique ?

z=x+iy2z=x+iy^2, avec x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1
z=x+iyz=x+iy, avec x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1
z=x+yz=x+y, avec x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1
z=xy+iz=xy+i, avec x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1

$$z=x+iy$$, avec $$x,y\in\mathbb{R}$$ et $$i^2=-1$$

Explication

Un nombre complexe s’écrit comme la somme d’une partie réelle xx et d’un multiple réel yy de l’unité imaginaire ii, qui vérifie i2=−1i^2=-1. L’écriture z=x+yz=x+y ne comporte pas de partie imaginaire explicite et décrit un réel lorsque xx et yy sont réels.

6. Quel point représente géométriquement le nombre complexe z=x+iyz=x+iy dans un repère orthonormé direct ?

Le point M(x,y)M(x,y)
Le point M(Re⁡(z),Im⁡(z))M(\operatorname{Re}(z),\operatorname{Im}(z)) uniquement lorsqu’il est réel
Le point M(y,x)M(y,x)
Le point M(z,0)M(z,0)

Le point $$M(x,y)$$

Explication

L’image de z=x+iyz=x+iy est le point de coordonnées M(x,y)M(x,y). Le nombre complexe zz est l’affixe de ce point, et non le nom de ses coordonnées géométriques.

7. Si z=3+4iz=3+4i, quelle expression donne correctement son module au carré ?

∣z∣=32+42=25|z|=\sqrt{3^2+4^2}=25
∣z∣2=3+4=7|z|^2=3+4=7
∣z∣=32+42=25|z|=3^2+4^2=25
∣z∣2=32+42=25|z|^2=3^2+4^2=25

$$|z|^2=3^2+4^2=25$$

Explication

Le carré du module d’un nombre x+iyx+iy vaut x2+y2x^2+y^2, donc ici ∣z∣2=32+42=25|z|^2=3^2+4^2=25. L’expression avec la racine donne le module lui-même, qui vaut 55, et non 2525.

8. Dans quel cas le module d’un nombre complexe zz est-il nul ?

Lorsque zz possède une partie réelle nulle
Lorsque zz est un imaginaire pur non nul
Lorsque zz est réel
Lorsque z=0z=0

Lorsque $$z=0$$

Explication

Le module est nul si et seulement si le nombre complexe lui-même est nul. Un nombre réel ou un imaginaire pur peut avoir un module non nul dès qu’il est différent de zéro.

9. Quelle est l’affixe du vecteur w⃗=xu⃗+yv⃗\vec w=x\vec u+y\vec v dans le plan complexe ?

Le nombre complexe z=x+iyz=x+iy
Le couple de coordonnées (y,x)\left(y,x\right)
Le point géométrique M(x,y)M(x,y)
La distance x2+y2\sqrt{x^2+y^2}

Le nombre complexe $$z=x+iy$$

Explication

L’affixe du vecteur w⃗=xu⃗+yv⃗\vec w=x\vec u+y\vec v est le nombre complexe z=x+iyz=x+iy. Le point M(x,y)M(x,y) est l’image géométrique associée à cette affixe, tandis que la racine représente son module.

10. Pour z=x+iyz=x+iy, que représente l’expression z+z‾z+\overline z ?

zz‾z\overline z
Re⁡(z)+Im⁡(z)\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Im}(z)
2Re⁡(z)2\operatorname{Re}(z)
2iIm⁡(z)2i\operatorname{Im}(z)

$$2\operatorname{Re}(z)$$

Explication

En additionnant un nombre complexe et son conjugué, les parties imaginaires s’annulent et l’on obtient 2Re⁡(z)2\operatorname{Re}(z). L’expression 2iIm⁡(z)2i\operatorname{Im}(z) est obtenue avec la différence des deux nombres.

11. Si M(z)M(z) est l’image de zz, quelle transformation géométrique associe le point P(z‾)P(\overline z) à M(z)M(z) ?

Une symétrie par rapport à l’axe des réels
Une symétrie par rapport à l’axe des imaginaires
Une symétrie centrale de centre l’origine
Une translation parallèle à l’axe des réels

Une symétrie par rapport à l’axe des réels

Explication

La conjugaison conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire, ce qui correspond à une symétrie par rapport à l’axe des réels. La symétrie centrale de centre l’origine correspond plutôt au nombre complexe −z-z.

12. Pour deux nombres complexes zz et z′≠0z'\ne0, quelle relation permet de calculer le module de leur quotient ?

∣zz′∣=∣z∣−∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right|=|z|-|z'|
∣zz′∣=∣z∣×∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right|=|z|\times|z'|
∣zz′∣=∣z∣∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}
∣zz′∣=∣z∣+∣z′∣\left|\frac{z}{z'}\right|=|z|+|z'|

$$\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$$

Explication

Le module d’un quotient est le quotient des modules lorsque le dénominateur est non nul. La multiplication des modules correspond au module d’un produit, et non à celui d’un quotient.

13. Si z=x+iyz=x+iy, quelle formule permet de retrouver sa partie imaginaire ?

Im⁡(z)=z−z‾2i\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}
Im⁡(z)=z+z‾2\operatorname{Im}(z)=\frac{z+\overline z}{2}
Im⁡(z)=z−z‾\operatorname{Im}(z)=z-\overline z
Im⁡(z)=z+z‾2i\operatorname{Im}(z)=\frac{z+\overline z}{2i}

$$\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}$$

Explication

La différence z−z‾z-\overline z vaut 2iIm⁡(z)2i\operatorname{Im}(z), d’où la division par 2i2i. La somme z+z‾z+\overline z permet de récupérer la partie réelle, et non la partie imaginaire.

14. Pour quel type de nombre complexe a-t-on z=z‾z=\overline z ?

Pour un imaginaire pur
Pour un nombre dont les parties sont opposées
Pour un nombre réel
Pour un nombre de module nul seulement

Pour un nombre réel

Explication

L’égalité entre un nombre complexe et son conjugué caractérise l’absence de partie imaginaire, donc les nombres réels. La relation z=−z‾z=-\overline z caractérise, elle, les imaginaires purs.

15. Quelles conditions permettent d’affirmer que deux nombres complexes sont égaux ?

Leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont respectivement égales
Leurs modules et leurs arguments sont respectivement égaux
La somme de leurs parties réelles égale la somme de leurs parties imaginaires
Leurs parties réelles sont opposées et leurs parties imaginaires égales

Leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont respectivement égales

Explication

Deux nombres complexes en forme algébrique sont égaux lorsque les coefficients de la partie réelle et de la partie imaginaire coïncident séparément. L’égalité des modules et des arguments décrit une représentation polaire, mais l’argument peut être choisi modulo 2π2\pi et ne constitue pas ici le critère demandé.

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Quelle formule donne le module d'un réel λ ?

Le module de λ est ∣λ∣=λ2|\lambda|=\sqrt{\lambda^2}.

Quelle relation lie le module de -z au module de z ?

On a ∣−z∣=∣z∣|-z|=|z|.

Comment exprime-t-on le module du produit λz\lambda z ?

On a ∣λz∣=∣λ∣×∣z∣|\lambda z|=|\lambda|\times|z|.

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