Nombres complexes et module

📋 Plan du Cours

1. Propriétés du module
2. Conjugué complexe
3. Représentation géométrique
4. Définitions et opérations complexes

📖 1. Propriétés du module

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre complexe z, $|-z|=|z|$, $|\lambda z|=|\lambda|\times|z|$ et $|\overline z|=|z|$.

📐 Formule — Si $z=x+iy$, alors $|z|^2=x^2+y^2=z\overline z$.

📐 Formule — Pour tous nombres complexes z et z', $|zz'|=|z|\times|z'|$ et, si $z'\ne0$, $\left|\frac z{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, $|z^n|=|z|^n$, avec notamment $|z^0|=|1|=1$ et $|z|^0=1$.

📌 Le module d’un nombre complexe est nul si et seulement si le nombre complexe est nul : $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout réel λ, son module vérifie $|\lambda|=\sqrt{\lambda^2}$.

📐 Formule — Les inégalités triangulaires donnent $|z|-|z'|\le\big||z|-|z'|\big|\le|z+z'|\le|z|+|z'|$ et $|z|-|z'|\le|z-z'|\le|z|+|z'|$.

📖 2. Conjugué complexe

📌 Pour $z=x+iy$, on a $z=\overline z$ si et seulement si z est réel, et $z=-\overline z$ si et seulement si z est un imaginaire pur.

📐 Formule — Pour $z=x+iy$, $z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)$ et $z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z)$.