Fiche de révision : Nombres complexes et module

📋 Plan du Cours

1. Propriétés du module
2. Conjugué complexe
3. Représentation géométrique
4. Définitions et opérations complexes

📖 1. Propriétés du module

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre complexe z, $|-z|=|z|$, $|\lambda z|=|\lambda|\times|z|$ et $|\overline z|=|z|$.

📐 Formule — Si $z=x+iy$, alors $|z|^2=x^2+y^2=z\overline z$.

📐 Formule — Pour tous nombres complexes z et z', $|zz'|=|z|\times|z'|$ et, si $z'\ne0$, $\left|\frac z{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, $|z^n|=|z|^n$, avec notamment $|z^0|=|1|=1$ et $|z|^0=1$.

📌 Le module d’un nombre complexe est nul si et seulement si le nombre complexe est nul : $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout réel λ, son module vérifie $|\lambda|=\sqrt{\lambda^2}$.

📐 Formule — Les inégalités triangulaires donnent $|z|-|z'|\le\big||z|-|z'|\big|\le|z+z'|\le|z|+|z'|$ et $|z|-|z'|\le|z-z'|\le|z|+|z'|$.

📖 2. Conjugué complexe

★ À maîtriser

📌 Pour $z=x+iy$, on a $z=\overline z$ si et seulement si z est réel, et $z=-\overline z$ si et seulement si z est un imaginaire pur.

📐 Formule — Pour $z=x+iy$, $z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)$ et $z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z)$.

📐 Formule — Les parties réelle et imaginaire se récupèrent par $\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}{2}$ et $\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}$.

Compléments

📐 Formule — Le conjugué du conjugué d’un nombre complexe est le nombre initial : $\overline{\overline z}=z$.

📐 Formule — Le conjugué respecte l’addition avec un réel λ et la multiplication : $\overline{z+\lambda z'}=\overline z+\lambda\overline{z'}$ et $\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$.

📐 Formule — Si $z'\ne0$, le conjugué d’un quotient vérifie $\overline{\left(\frac z{z'}\right)}=\frac{\overline z}{\overline{z'}}$.

💡 Astuce mémo

Réel : z = z̄ ; imaginaire pur : z = −z̄.

📖 3. Représentation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre complexe : Le point M(x,y) dans un repère orthonormé direct.
• Affixe : L’affixe du point M et du vecteur $\vec w=x\vec u+y\vec v$ est le nombre complexe z, noté M(z) ou $\vec w(z)$.

★ À maîtriser

• Dans le plan complexe, l’axe des réels est l’axe (O; x⃗) et l’axe des imaginaires est l’axe (O; y⃗).

📐 Formule — Si $z=x+iy$, son module est la distance de son image à l’origine et vérifie $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

• Le point P( z̄ ) est le symétrique de M(z) par rapport à l’axe des réels, tandis que Q(−z) est le symétrique de M(z) par rapport à l’origine O.

Compléments

• Pour M(z) et M'(z'), l’affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est $z'-z$, le point S(z+z') est associé à la somme et le point A((z+z')/2) est le milieu de [MM'].

💡 Astuce mémo

Visualiser z comme le point M(x,y) dans le plan complexe.

📖 4. Définitions et opérations complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : S’écrit $z=x+iy$ avec x et y réels, où i est une solution de $x^2+1=0$.

★ À maîtriser

📌 Pour $z=x+iy$, x=Re(z) est la partie réelle et y=Im(z) est la partie imaginaire ; Im(z)=0 caractérise un réel et Re(z)=0 caractérise un imaginaire pur.

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

📐 Formule — Pour $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, $z+z'=(x+x')+(y+y')i$ et $z'-z=(x'-x)+(y'-y)i$.

📐 Formule — Le produit de deux nombres complexes vérifie $zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$.

📐 Formule — Si $z\ne0$, alors $\frac1z=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i$, et $\frac{z'}z=\frac1z\times z'$.

Compléments

📌 Le produit d’un nombre complexe par son conjugué est réel, et $zz'=0$ si et seulement si $z=0$ ou $z'=0$.