Fiche de révision : Ensembles de nombres et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Décimaux rationnels et réels
3. Inclusions et appartenance
4. Multiples diviseurs et fractions
5. Nombres pairs et impairs

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble des entiers naturels est noté N.
• Entier relatif : Nombre entier positif, négatif ou nul, et l’ensemble des entiers relatifs est noté Z.

📝 Points essentiels

• Les nombres 0 et 2026 appartiennent à l’ensemble N des entiers naturels, tandis que 1,3 n’y appartient pas.

💡 Astuce mémo

Naturels : positifs ou nuls ; relatifs : positifs, négatifs ou nuls

📖 2. Décimaux rationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel, et l’ensemble des décimaux est noté D.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers et b est non nul, et l’ensemble des rationnels est noté Q.

📝 Points essentiels

📌 Les nombres π et √2 sont des réels irrationnels, car ils n’appartiennent pas à l’ensemble Q des rationnels.

💡 Astuce mémo

Décimal → fraction décimale → rationnel → réel

📖 3. Inclusions et appartenance

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient l’inclusion $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

📌 Le symbole ⊂ signifie « est inclus » et s’utilise entre ensembles, tandis que le symbole ∈ signifie « appartient » et s’utilise entre un nombre et un ensemble.

Compléments

• Le nombre 10/3 est rationnel mais non décimal, tandis que 4,2567 est décimal et que √2 et π sont irrationnels.

• Pour déterminer le plus petit ensemble auquel appartient un nombre, on calcule ou transforme son écriture puis on le classe dans l’ensemble emboîté le plus précis.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 4. Multiples diviseurs et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers naturels A et B, A est un multiple de B et B est un diviseur de A s’il existe un entier k tel que $A=k\times B$.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour simplifier une fraction, on: cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, divise le numérateur par ce diviseur, divise le dénominateur par ce diviseur

Compléments

• Tout multiple d’un entier A s’écrit sous la forme $kA$, où k est un entier.

• 10 est un multiple de 5 car $10=2\times5$, et 6 est un diviseur de 48 car $48=6\times8$.

💡 Astuce mémo

Diviseur commun → simplification de la fraction

📖 5. Nombres pairs et impairs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un nombre pair est un multiple de 2 et peut s’écrire sous la forme $2k$, avec k appartenant à N.
• Nombre impair : Un nombre impair n’est pas pair et peut s’écrire sous la forme $2k+1$, avec k appartenant à N.

📝 Points essentiels

• 26 est pair car $26=2\times13$, tandis que 7 est impair car $7=2\times3+1$.

📐 Formule — Si k appartient à Z, alors $A=6k=2\times3k$ et A est pair.

💡 Astuce mémo

Pair : 2k ; impair : 2k+1

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres