Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Intervalles réels
3. Intersection et réunion
4. Encadrement décimal
5. Valeur absolue

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : contient les entiers positifs ou nuls : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}
• Nombres entiers relatifs : contient les entiers positifs, les entiers négatifs et zéro : Z = {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
• Nombres décimaux : contient les nombres qui s’écrivent comme le quotient d’un entier par une puissance de 10, par exemple 3,21 = 321/100
• Nombres rationnels : contient les nombres qui s’écrivent comme le quotient de deux entiers, comme 4/7, 2/3 ou -2/3

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont inclus selon la relation $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Une partie continue de la droite numérique

★ À maîtriser

📌 L’intervalle [a ; b] est fermé car ses deux bornes sont incluses, tandis que l’intervalle ]a ; b[ est ouvert car ses deux bornes sont exclues.

• Les huit formes usuelles d’intervalles correspondent aux encadrements suivants:
  • [a ; b] : a ≤ x ≤ b
  • [a ; b[ : a ≤ x < b
  • ]a ; b] : a < x ≤ b
  • ]a ; b[ : a < x < b
  • [a ; +∞[ : x ≥ a
  • ]a ; +∞[ : x > a
  • ]-∞ ; a] : x ≤ a
  • ]-∞ ; a[ : x < a

Compléments

• L’ensemble des réels x vérifiant -1 < x ≤ 7 se décrit par l’intervalle ]-1 ; 7].

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 3. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’ensemble des réels appartenant à I et à J
• Réunion : L’ensemble des réels appartenant à I ou à J

📝 Points essentiels

• Pour I = [-3 ; 6] et J = [5 ; +∞[, on obtient I ∩ J = [5 ; 6] et I ∪ J = [-3 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Intersection = « et » ; réunion = « ou »

📖 4. Encadrement décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Trouver deux nombres décimaux a et b tels que a < x < b
• Amplitude : L’amplitude d’un encadrement de x entre a et b est la différence b - a.

★ À maîtriser

📌 Un encadrement est à 10^-n près lorsque son amplitude est égale à 10^-n, avec n ∈ N.

Compléments

• Un encadrement de π à 10^-2 près est 3,14 ≤ π ≤ 3,15, tandis qu’un encadrement de -π à 10^-1 près est -3,2 ≤ -π ≤ -3,1.

💡 Astuce mémo

Amplitude b − a → précision de l’encadrement

📖 5. Valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La distance entre x et 0

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$.

Compléments

• Les exemples |8| = 8 et |-4| = 4 montrent que la valeur absolue conserve un nombre positif et transforme un nombre négatif en son opposé.

• L’égalité |x - 6| = 5 signifie que la distance entre x - 6 et 0 vaut 5.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance entre un nombre et zéro

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’intervalles et encadrements