QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient les entiers positifs ou nuls, sans nombres négatifs ?

L’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}
L’ensemble des nombres naturels N\mathbb{N}
L’ensemble des nombres rationnels Q\mathbb{Q}
L’ensemble des nombres décimaux D\mathbb{D}

L’ensemble des nombres naturels $$\mathbb{N}$$

Explication

Les nombres naturels regroupent les entiers positifs ou nuls, comme 00, 11 et 22. Les entiers relatifs comprennent aussi les nombres négatifs, contrairement aux naturels.

2. Lequel de ces nombres appartient à Z\mathbb{Z} mais n’appartient pas à N\mathbb{N} ?

33
1212
−4-4
00

$$-4$$

Explication

L’ensemble Z\mathbb{Z} contient les entiers négatifs, tandis que N\mathbb{N} contient les entiers positifs ou nuls. Ainsi, −4-4 appartient à Z\mathbb{Z} mais pas à N\mathbb{N}.

3. Quelle écriture montre que 3,213,21 est un nombre décimal ?

3,21=32133,21 = \frac{321}{3}
3,21=3211003,21 = \frac{321}{100}
3,21=32173,21 = \frac{321}{7}
3,21=32103,21 = \frac{32}{10}

$$3,21 = \frac{321}{100}$$

Explication

Un nombre décimal s’écrit comme le quotient d’un entier par une puissance de 1010. Comme 100=102100=10^2, l’égalité 3,21=3211003,21=\frac{321}{100} convient.

4. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles de nombres est correcte ?

Q⊂D⊂Z⊂N⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{R}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂D⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, puis dans les rationnels et les réels. Cette relation s’écrit N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

5. Qu’est-ce qu’un intervalle de R\mathbb{R} ?

Une partie limitée aux nombres rationnels de la droite numérique
Un ensemble de points séparés sur la droite numérique
Une partie continue de la droite numérique
Une collection d’entiers positifs sur la droite numérique

Une partie continue de la droite numérique

Explication

Un intervalle correspond à une partie continue de la droite numérique. Un ensemble constitué de points séparés ne forme donc pas un intervalle.

6. Dans l’intervalle [a ;b][a\,;b], que peut-on dire des bornes aa et bb ?

Elles sont toutes deux incluses
La borne aa est incluse et bb est exclue
Elles sont toutes deux exclues
La borne aa est exclue et bb est incluse

Elles sont toutes deux incluses

Explication

Les crochets dans [a ;b][a\,;b] indiquent que les deux bornes appartiennent à l’intervalle. Dans ]a ;b[]a\,;b[, les deux bornes seraient exclues.

7. Quel intervalle décrit les réels xx vérifiant −1<x≤7-1 < x \leq 7 ?

]−1 ;7[]-1\,;7[
[−1 ;7][-1\,;7]
]−1 ;7]]-1\,;7]
[−1 ;7[[-1\,;7[

$$]-1\,;7]$$

Explication

L’inégalité exclut −1-1 et inclut 77, ce qui correspond à ]−1 ;7]]-1\,;7]. Le crochet fermé du côté de 77 traduit l’inclusion de cette borne.

8. Que représente l’intersection de deux intervalles II et JJ ?

Les réels qui n’appartiennent ni à II ni à JJ
Les réels communs à II et à JJ
Les réels situés entre les centres de II et de JJ
Les réels appartenant à II ou à JJ

Les réels communs à $$I$$ et à $$J$$

Explication

L’intersection I∩JI\cap J conserve les réels qui appartiennent simultanément aux deux intervalles. Les réels appartenant à l’un ou à l’autre intervalle relèvent de la réunion.

9. Que représente la réunion de deux intervalles II et JJ ?

Les réels extérieurs aux deux intervalles
Les réels compris entre les bornes communes
Les réels communs aux deux intervalles
Les réels appartenant à II ou à JJ

Les réels appartenant à $$I$$ ou à $$J$$

Explication

La réunion I∪JI\cup J rassemble les réels qui appartiennent à II, à JJ, ou aux deux. Les réels communs aux deux ensembles constituent leur intersection.

10. Pour I=[−3 ;6]I=[-3\,;6] et J=[5 ;+∞[J=[5\,;+\infty[, quelle paire décrit correctement leur intersection et leur réunion ?

I∩J=[5 ;6]I\cap J=[5\,;6] et I∪J=[−3 ;+∞[I\cup J=[-3\,;+\infty[
I∩J=[−3 ;6]I\cap J=[-3\,;6] et I∪J=[5 ;+∞[I\cup J=[5\,;+\infty[
I∩J=[−3 ;5]I\cap J=[-3\,;5] et I∪J=[6 ;+∞[I\cup J=[6\,;+\infty[
I∩J=]6 ;+∞[I\cap J=]6\,;+\infty[ et I∪J=]−∞ ;5]I\cup J=]-\infty\,;5]

$$I\cap J=[5\,;6]$$ et $$I\cup J=[-3\,;+\infty[$$

Explication

Les deux intervalles se recouvrent de 55 à 66, donc leur intersection est [5 ;6][5\,;6]. En les réunissant, on obtient tous les réels de −3-3 jusqu’à +∞+\infty, soit [−3 ;+∞[[-3\,;+\infty[.

11. Que signifie donner un encadrement décimal d’un réel xx ?

Calculer la différence entre deux valeurs approchées de xx
Trouver deux nombres décimaux aa et bb tels que a<x<ba < x < b
Trouver une seule valeur décimale proche de xx
Placer xx entre deux nombres entiers consécutifs

Trouver deux nombres décimaux $$a$$ et $$b$$ tels que $$a < x < b$$

Explication

Un encadrement décimal consiste à placer le réel xx entre deux bornes décimales aa et bb vérifiant a<x<ba < x < b. Une approximation peut donner une seule valeur, mais elle ne constitue pas nécessairement un encadrement.

12. Comment calcule-t-on l’amplitude d’un encadrement de xx entre aa et bb ?

En calculant b−ab-a
En calculant a+b2\frac{a+b}{2}
En calculant ∣a−b∣+1\left|a-b\right|+1
En calculant a+ba+b

En calculant $$b-a$$

Explication

L’amplitude est la largeur de l’intervalle délimité par les bornes, donc elle se calcule par b−ab-a. La moyenne a+b2\frac{a+b}{2} donne plutôt le centre de l’intervalle et ne mesure pas son amplitude.

13. Un encadrement dont l’amplitude vaut 0,0010,001 est-il à quelle précision ?

À 10−310^{-3} près
À 10−410^{-4} près
À 10−110^{-1} près
À 10−210^{-2} près

À $$10^{-3}$$ près

Explication

Par définition, un encadrement est à 10−n10^{-n} près lorsque son amplitude vaut 10−n10^{-n}. Comme 0,001=10−30,001=10^{-3}, cet encadrement est à 10−310^{-3} près.

14. Que représente la valeur absolue d’un nombre réel xx ?

Le signe associé à la position de xx
La distance entre xx et 11
La distance entre xx et 00
Le nombre opposé de xx dans tous les cas

La distance entre $$x$$ et $$0$$

Explication

La valeur absolue de xx mesure la distance entre xx et 00, elle est donc positive ou nulle. Le nombre opposé de xx n’est obtenu que lorsque xx est négatif.

15. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel xx selon son signe ?

∣x∣={xsi x≥0−xsi x<0|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\geq 0\\-x&\text{si }x<0\end{cases}
∣x∣={xsi x>0−xsi x≤0|x|=\begin{cases}x&\text{si }x>0\\-x&\text{si }x\leq 0\end{cases}
∣x∣={−xsi x≥0\xsi x<0|x|=\begin{cases}-x&\text{si }x\geq 0\x&\text{si }x<0\end{cases}
∣x∣={0si x≥0\xsi x<0|x|=\begin{cases}0&\text{si }x\geq 0\x&\text{si }x<0\end{cases}

$$|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\geq 0\\-x&\text{si }x<0\end{cases}$$

Explication

Pour un réel positif ou nul, la distance à zéro est sa valeur xx, tandis que pour un réel négatif elle est son opposé −x-x. La convention concernant x=0x=0 est incluse dans le cas x≥0x\geq0.

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Quels nombres contient l'ensemble des nombres naturels N ?

Les entiers positifs ou nuls.

Quels nombres contient l'ensemble des nombres entiers relatifs Z ?

Les entiers positifs, négatifs et zéro.

Comment s'écrit un nombre décimal dans l'ensemble D ?

Comme le quotient d'un entier par une puissance de 10.

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