QCM : Ensembles de nombres et intervalles (14 questions)

Question 1

1. Quel ensemble contient zéro ainsi que tous les entiers positifs ?

L’ensemble

\mathbb{Z}

L’ensemble

\mathbb{Q}

L’ensemble

\mathbb{D}

L’ensemble

\mathbb{N}

Explication

Les entiers naturels comprennent zéro et les entiers positifs. $\mathbb{Z}$ inclut aussi les entiers négatifs, tandis que $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ désignent des ensembles plus larges.

Answer

L’ensemble $$\mathbb{N}$$

Question 2

2. Le nombre $-0{,}375$ a une écriture décimale finie. Dans quel ensemble appartient-il, d’après la définition des nombres décimaux ?

À l’ensemble

\mathbb{Z}

À l’ensemble

\mathbb{D}

Aux nombres irrationnels

À l’ensemble

\mathbb{N}

Explication

Un nombre à partie décimale finie s’écrit sous la forme $\frac{a}{10^n}$ et appartient donc à $\mathbb{D}$ . $-0{,}375$ n’est pas un entier relatif ni un naturel, et il est rationnel.

Answer

À l’ensemble $$\mathbb{D}$$

Question 3

3. Quelle écriture exprime correctement que chaque entier naturel est aussi un entier relatif ?

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}

\mathbb{N}\in\mathbb{Z}

\mathbb{N}\subset\mathbb{D}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}

Explication

L’inclusion $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ signifie que tous les éléments de $\mathbb{N}$ appartiennent à $\mathbb{Z}$ . Le symbole $\in$ exprime l’appartenance d’un élément, et l’inclusion inverse est fausse car $\mathbb{Z}$ contient des négatifs.

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$$

Question 4

4. Une longueur est égale à $\sqrt{2}$ . Comment classer ce nombre parmi les nombres réels ?

Ce n’est pas un nombre réel

C’est un réel rationnel

C’est un nombre décimal

C’est un réel irrationnel

Explication

$\sqrt{2}$ est un exemple de nombre réel irrationnel, c’est-à-dire réel mais non rationnel. Un irrationnel n’est donc ni un rationnel ni un nombre extérieur à $\mathbb{R}$ .

Answer

C’est un réel irrationnel

Question 5

5. Un nombre réel $x$ vérifie $-3\leq x<4$ . Quelle notation représente l’ensemble de ses valeurs possibles ?

]-3;4[

]-3;4]

[-3;4]

[-3;4[

Explication

Dans $-3\leq x<4$ , la borne $-3$ est incluse et la borne $4$ est exclue, d’où $[-3;4[$ . Le crochet fermé en $4$ inclurait une valeur interdite, tandis qu’un crochet ouvert en $-3$ exclurait une valeur autorisée.

Answer

$$[-3;4[$$

Question 6

6. Un capteur enregistre toutes les valeurs réelles strictement supérieures à $2$ . Quel intervalle décrit ces valeurs ?

]-\infty;2[

]2;+\infty[

[2;+\infty[

]2;+\infty]

Explication

Les valeurs strictement supérieures à $2$ forment la demi-droite ouverte en $2$ , notée $]2;+\infty[$ . Le crochet fermé en $2$ inclurait cette borne, et une demi-droite vers la gauche correspondrait à des valeurs inférieures.

Answer

$$]2;+\infty[$$

Question 7

7. Quel intervalle correspond à l’inégalité $-1<x\leq 5$ ?

]-1;5]

[-1;5[

[-1;5]

]-1;5[

Explication

L’inégalité exclut $-1$ et inclut $5$ : l’intervalle correspondant est $]-1;5]$ . Un crochet fermé en $-1$ l’inclurait, tandis qu’un crochet ouvert en $5$ exclurait une valeur admise.

Answer

$$]-1;5]$$

Question 8

8. Le nombre $-2$ appartient-il à l’intervalle $]-2;4]$ ?

Non, car la borne inférieure est exclue.

Non, car l’intervalle contient seulement des nombres positifs.

Oui, car

-2

est compris entre les bornes.

Oui, car la borne supérieure est incluse.

Explication

Pour appartenir à un intervalle, le nombre doit respecter ses bornes et leur statut d’inclusion : ici, $-2$ est précisément la borne inférieure exclue. L’inclusion d’une borne concerne cette borne-là, tandis que la borne supérieure n’intervient pas dans ce cas.

Answer

Non, car la borne inférieure est exclue.

Question 9

9. Un calculateur doit simplifier $\sqrt{(-6)^2}$ . Quel résultat doit-il obtenir ?

-6

6

36

\sqrt{-36}

Explication

Pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^2}=|x|$ ; ainsi $\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$ . Le signe négatif de $x$ ne subsiste pas après la prise de la valeur absolue, et le résultat n’est pas le carré initial.

Answer

$$\sqrt{5}$$

Answer

$$|x-4|\leq1,5$$

Answer

Les réels de $$[1;2]$$

Answer

Les réels de $$[-4;3]$$

Question 10

10. Pour simplifier $|-\sqrt{5}|$ , quelle expression faut-il retenir ?

-\sqrt{5}

5

\sqrt{5}

-5

Explication

Comme $-\sqrt{5}<0$ , la définition impose $|x|=-x$ , donc $|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$ . Garder le signe négatif revient à ne pas appliquer la branche des nombres négatifs, tandis que le carré donnerait une autre opération.

Question 11

11. Pour $a=4$ et $r=1,5$ , quelle condition équivalente à $x\in[2,5;5,5]$ exprime l’appartenance de $x$ à cet intervalle ?

|x-2,5|\leq1,5

|x-4|<1,5

|x-4|\leq1,5

|x|\leq1,5

Explication

Un intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ correspond à la condition $|x-a|\leq r$ . Prendre $2,5$ comme centre confond le centre avec la borne inférieure, tandis que $|x|\leq1,5$ oublie le décalage et que l’inégalité stricte exclut les bornes.

Question 12

12. Quel est le centre de l’intervalle $[a-r;a+r]$ , avec $r\geq0$ ?

a-r

r

a+r

a

Explication

Le centre de $[a-r;a+r]$ est $a$ , situé à égale distance des deux bornes. $r$ désigne le rayon, tandis que $a+r$ et $a-r$ sont les bornes de l’intervalle.

Question 13

13. On considère $I=[-3;2]$ et $J=[1;5]$ . Quels réels appartiennent à $I\cap J$ ?

Les réels de

[-3;5]

Les réels de

[-3;2]

Les réels de

[1;5]

Les réels de

[1;2]

Explication

L’intersection rassemble les éléments communs aux deux intervalles : ici, ils vont de $1$ à $2$ , bornes comprises. L’intervalle $[-3;5]$ correspond à la réunion, tandis que les deux autres choix reprennent chacun un seul intervalle.

Question 14

14. Pour $I=[-4;1]$ et $J=[0;3]$ , que désigne $I\cup J$ ?

Les réels de

[-4;1]

Les réels de

[0;1]

Les réels de

[0;3]

Les réels de

[-4;3]

Explication

La réunion regroupe les éléments de $I$ et ceux de $J$ ; comme les intervalles se chevauchent, elle couvre ici $[-4;3]$ . $[0;1]$ ne contient que les éléments communs, et les deux autres choix omettent une partie d’un intervalle.

QCM : Ensembles de nombres et intervalles (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient zéro ainsi que tous les entiers positifs ?

2. Le nombre $-0{,}375$ a une écriture décimale finie. Dans quel ensemble appartient-il, d’après la définition des nombres décimaux ?

3. Quelle écriture exprime correctement que chaque entier naturel est aussi un entier relatif ?

4. Une longueur est égale à $\sqrt{2}$ . Comment classer ce nombre parmi les nombres réels ?

5. Un nombre réel $x$ vérifie $-3\leq x<4$ . Quelle notation représente l’ensemble de ses valeurs possibles ?

6. Un capteur enregistre toutes les valeurs réelles strictement supérieures à $2$ . Quel intervalle décrit ces valeurs ?

7. Quel intervalle correspond à l’inégalité $-1<x\leq 5$ ?

8. Le nombre $-2$ appartient-il à l’intervalle $]-2;4]$ ?

9. Un calculateur doit simplifier $\sqrt{(-6)^2}$ . Quel résultat doit-il obtenir ?

10. Pour simplifier $|-\sqrt{5}|$ , quelle expression faut-il retenir ?

11. Pour $a=4$ et $r=1,5$ , quelle condition équivalente à $x\in[2,5;5,5]$ exprime l’appartenance de $x$ à cet intervalle ?

12. Quel est le centre de l’intervalle $[a-r;a+r]$ , avec $r\geq0$ ?

13. On considère $I=[-3;2]$ et $J=[1;5]$ . Quels réels appartiennent à $I\cap J$ ?

14. Pour $I=[-4;1]$ et $J=[0;3]$ , que désigne $I\cup J$ ?

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QCM : Ensembles de nombres et intervalles (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient zéro ainsi que tous les entiers positifs ?

2. Le nombre −0,375-0{,}375−0,375 a une écriture décimale finie. Dans quel ensemble appartient-il, d’après la définition des nombres décimaux ?

3. Quelle écriture exprime correctement que chaque entier naturel est aussi un entier relatif ?

4. Une longueur est égale à 2\sqrt{2}2​. Comment classer ce nombre parmi les nombres réels ?

5. Un nombre réel xxx vérifie −3≤x<4-3\leq x<4−3≤x<4. Quelle notation représente l’ensemble de ses valeurs possibles ?

6. Un capteur enregistre toutes les valeurs réelles strictement supérieures à 222. Quel intervalle décrit ces valeurs ?

7. Quel intervalle correspond à l’inégalité −1<x≤5-1<x\leq 5−1<x≤5 ?

8. Le nombre −2-2−2 appartient-il à l’intervalle ]−2;4]]-2;4]]−2;4] ?

9. Un calculateur doit simplifier (−6)2\sqrt{(-6)^2}(−6)2​. Quel résultat doit-il obtenir ?

10. Pour simplifier ∣−5∣|-\sqrt{5}|∣−5​∣, quelle expression faut-il retenir ?

11. Pour a=4a=4a=4 et r=1,5r=1,5r=1,5, quelle condition équivalente à x∈[2,5;5,5]x\in[2,5;5,5]x∈[2,5;5,5] exprime l’appartenance de xxx à cet intervalle ?

12. Quel est le centre de l’intervalle [a−r;a+r][a-r;a+r][a−r;a+r], avec r≥0r\geq0r≥0 ?

13. On considère I=[−3;2]I=[-3;2]I=[−3;2] et J=[1;5]J=[1;5]J=[1;5]. Quels réels appartiennent à I∩JI\cap JI∩J ?

14. Pour I=[−4;1]I=[-4;1]I=[−4;1] et J=[0;3]J=[0;3]J=[0;3], que désigne I∪JI\cup JI∪J ?

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4. Une longueur est égale à $\sqrt{2}$ . Comment classer ce nombre parmi les nombres réels ?

5. Un nombre réel $x$ vérifie $-3\leq x<4$ . Quelle notation représente l’ensemble de ses valeurs possibles ?

6. Un capteur enregistre toutes les valeurs réelles strictement supérieures à $2$ . Quel intervalle décrit ces valeurs ?

7. Quel intervalle correspond à l’inégalité $-1<x\leq 5$ ?

8. Le nombre $-2$ appartient-il à l’intervalle $]-2;4]$ ?

9. Un calculateur doit simplifier $\sqrt{(-6)^2}$ . Quel résultat doit-il obtenir ?

10. Pour simplifier $|-\sqrt{5}|$ , quelle expression faut-il retenir ?

11. Pour $a=4$ et $r=1,5$ , quelle condition équivalente à $x\in[2,5;5,5]$ exprime l’appartenance de $x$ à cet intervalle ?

12. Quel est le centre de l’intervalle $[a-r;a+r]$ , avec $r\geq0$ ?

13. On considère $I=[-3;2]$ et $J=[1;5]$ . Quels réels appartiennent à $I\cap J$ ?

14. Pour $I=[-4;1]$ et $J=[0;3]$ , que désigne $I\cup J$ ?