Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Notation et représentation des intervalles
3. Appartenance et écriture en intervalle
4. Distance et valeur absolue
5. Centre et rayon d’un intervalle
6. Intersection et réunion d’intervalles

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble ℕ des entiers naturels contient les entiers positifs ou nuls : ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Entiers relatifs : L’ensemble ℤ des entiers relatifs contient les entiers positifs ou nuls et les entiers négatifs.
• Nombres décimaux : L’ensemble 𝔻 des nombres décimaux contient les nombres qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec a entier relatif et n entier naturel ; leur partie décimale est finie.
• Nombres réels : L’ensemble ℝ des nombres réels est l’ensemble des nombres x tels que $x^2\geq 0$ ; tous les nombres étudiés en seconde sont réels.
• Nombres irrationnels : Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont irrationnels ; π et √2 sont des exemples de nombres irrationnels.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon l’inclusion $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

📖 2. Notation et représentation des intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle borné : Un intervalle borné est une partie de la droite réelle délimitée par deux bornes ; selon leur inclusion, il s’écrit [a ; b], ]a ; b[, [a ; b[ ou ]a ; b].
• Intervalle illimité : Un intervalle illimité s’écrit notamment [a ; +∞[, ]a ; +∞[, ]−∞ ; b] ou ]−∞ ; b[ selon les bornes et le sens de la demi-droite.

★ À maîtriser

📌 L’inégalité $a\leq x\leq b$ correspond à l’intervalle [a ; b], tandis que $a<x<b$ correspond à ]a ; b[.

Compléments

📌 Dans [a ; b], les deux bornes sont incluses, tandis que dans ]a ; b[, elles sont toutes deux exclues.

• Les symboles +∞ et −∞ ne sont pas des nombres et n’appartiennent jamais aux intervalles qu’ils délimitent.

📌 L’inégalité $a\leq x<b$ correspond à [a ; b[, tandis que $a<x\leq b$ correspond à ]a ; b].

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 3. Appartenance et écriture en intervalle

★ À maîtriser

📌 Pour vérifier si un nombre appartient à un intervalle, on détermine s’il respecte ses bornes et si celles-ci sont incluses ou exclues.

Compléments

• L’inégalité $x\geq -1$ s’écrit sous forme d’intervalle $x\in[-1 ; +\infty[$.

📖 4. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux réels : La distance entre deux réels a et b est le nombre $|a-b|$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\geq 0\\-x&\text{si }x<0\end{cases}$.

Compléments

📌 Si $a\geq b$, alors $|a-b|=a-b$.

• La distance entre 3 et $\frac{8}{3}$ s’écrit $\left|3-\frac{8}{3}\right|$.

📖 5. Centre et rayon d’un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre d’un intervalle : L’intervalle [a − r ; a + r] a pour centre a.
• Rayon d’un intervalle : L’intervalle [a − r ; a + r] a pour rayon r, avec r positif ou nul.

📝 Points essentiels

📌 Pour un réel a et un réel r positif ou nul, $x\in[a-r ; a+r]\Longleftrightarrow |x-a|\leq r$.

💡 Astuce mémo

Un intervalle centré en a forme une fenêtre de rayon r autour de a.

📖 6. Intersection et réunion d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection d’intervalles : L’intersection I ∩ J de deux intervalles est l’ensemble de leurs éléments communs.
• Réunion d’intervalles : La réunion I ∪ J de deux intervalles est l’ensemble obtenu en réunissant les éléments de I et ceux de J.

📝 Points essentiels

📌 Si deux intervalles n’ont aucun réel en commun, leur intersection est l’ensemble vide : $I\cap J=\varnothing$.

• Lorsque deux intervalles disjoints ne peuvent pas être réunis en un seul intervalle, leur réunion s’écrit comme l’union des deux intervalles.

💡 Astuce mémo

Intersection : éléments communs ; réunion : éléments de l’un ou l’autre.