Fiche de révision : Ensembles et intervalles réels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Inégalités et intervalles
3. Distance et valeur absolue
4. Centre et rayon d’un intervalle
5. Intersection et réunion d’intervalles

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls.
• Nombres décimaux : Les nombres décimaux forment l’ensemble 𝔻 des nombres qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec a entier relatif et n entier naturel ; leur partie décimale est finie.
• Nombres réels : Ensemble ℝ contenant tous les nombres connus en seconde.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs, négatifs ou nuls.

★ À maîtriser

📌 L’inclusion entre ensembles se note ⊂, tandis que l’appartenance d’un nombre à un ensemble se note ∈.

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Compléments

• π et √2 sont des nombres irrationnels : π ∉ ℚ et √2 ∉ ℚ.

• Chaque nombre réel est l’abscisse d’un point de la droite graduée appelée droite réelle.

📖 2. Inégalités et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle borné : Un intervalle borné délimite un ensemble de réels compris entre deux bornes finies, incluses ou non selon les crochets.
• Intervalle illimité : Un intervalle illimité est un intervalle non borné à gauche, à droite ou des deux côtés.

★ À maîtriser

• Les notations [a ; b], ]a ; b[, [a ; b[ et ]a ; b] correspondent respectivement à a ≤ x ≤ b, a < x < b, a ≤ x < b et a < x ≤ b.

• Les conditions a ≤ x, a < x, x ≤ b et x < b correspondent respectivement aux intervalles [a ; +∞[, ]a ; +∞[, ]−∞ ; b] et ]−∞ ; b[.

Compléments

• Les symboles +∞ et −∞ ne sont pas des nombres et n’appartiennent pas aux intervalles qu’ils délimitent.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 3. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux réels : La distance entre deux réels a et b est le nombre $|a-b|$.
• Valeur absolue : Pour un réel x, la valeur absolue vérifie |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$.

Compléments

• Si a ≥ b, alors $|a-b|=a-b$.

• La distance entre 3 et 2/5 est $|3-\frac{2}{5}|=\frac{13}{5}$.

📖 4. Centre et rayon d’un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre d’un intervalle : Réel a de l’intervalle [a − r ; a + r].
• Rayon d’un intervalle : Réel r, positif ou nul, de l’intervalle [a − r ; a + r].

📝 Points essentiels

📌 Pour a réel et r positif ou nul, $x \in [a-r\,;\,a+r] \iff |x-a| \le r$.

💡 Astuce mémo

Imagine un centre a entouré d’un rayon r, de a − r à a + r.

📖 5. Intersection et réunion d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection d’intervalles : Ensemble des éléments communs à I et à J.
• Réunion d’intervalles : Ensemble obtenu en réunissant les éléments de I et ceux de J.

📝 Points essentiels

• Si aucun réel n’appartient à la fois à I et J, alors $I \cap J=\varnothing$.

• Lorsque deux intervalles n’ont aucun réel commun, leur réunion peut parfois s’écrire comme un seul intervalle, par exemple [0 ; 1[ ∪ [1 ; 2] = [0 ; 2].

💡 Astuce mémo

Intersection : éléments communs ; réunion : éléments de l’un ou l’autre.